2.5 直线与圆的位置关系（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.5 直线与圆的位置关系（2） 第2课时　圆的切线的判定 学习目标 1．探索直线与圆相切的条件，能判断一条直线是否为圆的切线； 2．会用三角尺画过圆上一点的切线. 2 问题导学 直线与圆的位置关系有几种？ 如何判断？ 知识回顾 直线与圆的 位置关系 图形 相 交 相 切 相 离 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离 d与半径r的关系 d＜r d＝r d＞r 有哪些方法可以判定直线与圆相切？ 4 操作与思考 如图，经过⊙O的半径OD的外端点D，作直线l⊥OD. O D l ┛ 5 操作与思考 直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ O D l ┛ 直线l与⊙O相切. 因为圆心O到直线l的距离OD等于⊙O的半径r，所以直线l与⊙O相切. 由此你有什么发现？ 6 新知归纳 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 条件1 条件2 注意：1.两个条件必须同时具备，缺一不可； 2.这两个条件与“d＝r”的条件在本质上是相同的，仅是说法不同而已. 新知归纳 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 条件1 条件2 O D l ∵OD为⊙O的半径， OD ⊥直线l于点D， ∴直线l为⊙O的切线. 符号语言： 新知归纳 回忆对切线的认识，判定直线与圆相切有哪些方法？ (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)距离法：与圆心的距离等于半径的直线(即d＝r)是圆的切线； (3)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 本质相同 9 新知巩固 1.下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A (1) O. A B (2) A O (3) (1)不是，因为没有垂直. (2)、(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 10 新知巩固 2．下列说法正确的是 ( ) A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线 B 11 3．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是 ( ) A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 新知巩固 A O P B A 12 例题讲解 例1 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由. D O A C B 解：直线AD与☉O相切. ∵AB为☉O的直径， ∴ ∠ACB＝90 °. ∴ ∠ABC＋∠BAC＝90 °. 又∵ ∠CAD＝∠ABC， ∴ ∠CAD＋∠BAC＝90°， 即AD⊥AB. ∴直线AD与☉O相切(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线). 13 变式 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由. 例题讲解 D O A C B E 解：直线AD与⊙O相切. 连接AO并延长交☉O于E，连接CE，则AE为☉O的直径. ∴ ∠ACE＝90 °， ∴ ∠AEC＋∠EAC＝90 °. 又∵ ∠ABC与∠AEC是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC＝∠AEC . ∵ ∠CAD＝∠ABC， ∴∠CAD＝∠AEC ， ∴ ∠CAD＋∠EAC＝90°. ∴ ∠DAE＝90 °， ∴直线AD与⊙O相切. 14 ┛ 例题讲解 例2 如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC，垂足为D. AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？ B C D P A E ┛ 证明：过点P 作PE ⊥AB，垂足为E. ∵AP是∠BAC的平分线，PD ⊥AC ，PE⊥AB， ∴PE＝PD， ∵PD是⊙P 半径， ∴AB与以点P为圆心、PD为半径的圆相切． 15 ┛ 例题讲解 变式 如图，已知Rt△ABC (∠C＝90°). 作一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切 (不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由). B C A ┛ O 过点O作OD⊥AB，垂足为D，由BO 平分∠ABC，得OD＝OC，从而⊙O与AB所在直线相切.又由作图可知⊙O与BC所在直线相切，⊙O为满足条件的圆. 解：作∠ABC的平分线，交AC于点O；以点O为圆心，OC为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆. D 16 归纳总结 证切线时常用的添加辅助线方法： ①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； ②如果已知条件中未指出直线与圆是否有公共点，先过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径，简称“作垂直，证半径(d＝r)”. 17 新知巩固 1. 如图，点P在⊙O上，过点P画⊙O的切线. ● O P E 解：如图，直线PE即为所作. 18 新知巩固 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC. 直线AC与以AB为直径的⊙O有怎样的位置关系？为什么？ B A C ● O 解：直线AC与⊙O相切. 在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴ ∠C＝∠ABC＝45 °， ∴ ∠BAC＝90 °. 即 AC⊥OA. ∴直线AC与⊙O相切. 19 新知巩固 3. 如图，直线AB经过⊙O上一点C，且OA＝OB，CA＝CB. 直线AB与⊙O相切吗？为什么？ O B A C 解：连接OC. ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC⊥AB. 又∵点C在⊙O上， ∴直线AB与⊙O相切. 20 新知巩固 4.如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B， 求证：直线CD与⊙O相切．   O B A C D 证明：如图，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 直线与相切． 21 新知巩固 5. 如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB为厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆. 求证：小圆与直线AB相切. ● B A O ┛ P 证明：过O点作OP⊥AB于P，连接OA. ∵AB是大圆的弦， OP⊥AB, ∴ PA=PB=cm. ∵OA是大圆的半径， ∴ OA=8cm， 在△OAP中， OP==4cm. ∵4cm为半径作小圆, ∴小圆与直线AB相切. 22 新知巩固 6.如图，在中，．   (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） B C A ┛ D 解：(1) 如图1，即为所作； 23 新知巩固 (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作． 求证：与相切． B C A ┛ D ┛ E （2）证明：如图2，作于，   ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 24 直线与圆相切的判定定理 直线与圆相切的判定方法： 1.定义法；2.距离法；3.判定定理. 证切线时常用的添加辅助线方法： 1. 连半径，证垂直； 2. 作垂直，证半径. 课堂总结 当堂检测 基础过关 1．下列说法中，正确的是（      ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． B 26 当堂检测 基础过关 2．如图，点A在上，下列条件不能说明是切线的是（     ） A． B． C． D． D 27 当堂检测 基础过关 3．如图，将直角三角板的直角顶点放在上，直角边经过圆心，则另一直角边与的位置关系为（     ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 B 28 当堂检测 基础过关 4．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是________． 相切 29 当堂检测 基础过关 30° 5．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当________时，直线是的切线． 30 当堂检测 基础过关 6．如图，内接于，过A点作直线，当_____时，直线与相切． 31 当堂检测 基础过关 7. 已知：△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，以A点为圆心，5为半径画⊙A，试说明⊙A与BC相切. A B C D ┛ 证明：过点A 作AD ⊥BC，垂足为D. ∵AB＝AC＝13， ∴BD＝BC＝×24＝12. 在Rt△ADB中， 由勾股定理，得AD＝＝＝5， ∵⊙A的半径为5， ∴⊙A与BC相切. 32 当堂检测 基础过关 8.（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB=90°，判断与⊙O的位置关系，并说明理由． 解：与相切． 证明：连接． ∵， ∴． ∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上， ∴． ∴． ∴． ∴由，得，即． ∴与相切． 33 当堂检测 综合提升 1．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公共点为C，且C是中点，则直线与小圆的位置关系是（      ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 B 34 当堂检测 综合提升 2．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（     ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 A 35 当堂检测 综合提升 3．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是___________． ②③④① 36 当堂检测 综合提升 4. 如图，CD是☉O的直径，BD是弦，延长DC到点A，使∠ABD＝120°，连接BC.若添加一个条件，使AB是☉O的切线，现有下列条件： ① AC＝BC；② AC＝OC；③ OC＝BC；④ AB＝BD.其中，能使命题成立的是 　①②③④（填序号）.  ①②③④　 37 当堂检测 综合提升 5.（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． 求证：是的切线； 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点，∴， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴是的切线. 38 当堂检测 综合提升 6.（2024·广西·模拟预测）如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆．求证：是的切线； ┛ E 证明：过O点作，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为半径，∴为半径， 又∵，∴是的切线. 39 2021 Blues 4800.0 $$