第二十二章 二次函数（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．抛物线与轴的一个交点是(一1，0)，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是(       ) A．(0，0) B．(3，0) C．(-3，0) D．（0，-3) 2．将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ） A．5 B． C．5或1 D．或 4．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，那么抛物线的对称轴为直线（  ） A． B． C． D． 5．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 7．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 8．二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D．全体实数 10．如图，在直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于A（﹣3，0）和B两点，抛物线与x轴交于A、C两点，且C的横坐标在0到1之间（不含端点），下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．3a﹣b＞0 C．2a﹣b+m＜0 D．a﹣b＞2m﹣2 11．已知抛物线与轴交于，，该函数在时，下列说法正确的是（ ） A．有最小值，有最大值3 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值4 D．有最小值，有最大值4 12．已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ▲ ） A．最小值 －3 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2 13．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　) A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=1，有下列四个判断： ①关于x的一元二次方程的两个根分别是； ②； ③若抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），则y1＜y2＜y3； ④当OC=3时，点P为抛物线对称轴上的一个动点，则△PCA的周长的最小值是， 上述四个判断中正确的 有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 17．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降 米时，水面宽度为米．        18．平行于x轴的直线分别与一次函数y=-x+3和二次函数y= x2 -2x-3的图象交于A（x1，y1），B(x2，y2)，C（x3，y3）三点，且x1＜x2＜x3，设m= x1+x2+x3，则m的取值范围是 ． 19．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若B（﹣，y1），C（﹣，y2）为图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b＝0；④＜0，其中正确的结论是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）（1）解方程：3x（x﹣1）=2﹣2x； （2）已知二次函数的图像以A（﹣1，4）为顶点且过点B（2，﹣5），求该函数的解析式． 21．（6分）直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点，已知点A的横坐标为3． （1）求A、B两点的坐标及抛物线的解析式； （2）O为坐标原点，求△AOB的面积． 22．（7分）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2． (1)求S与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)． (2)如果要围成面积为45m2的花圃，那么AB的长是多少米？ (3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 23．（6分）已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M． （1）求直线l的函数解析式； （2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式． 24．（8分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（8分）企业的污水处理有两种方式：一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表： 　月份x（月） 　1 　2 3 　4 5 6 　输送的污水量y1（吨） 　12000 　6000 　4000 　3000 　2400 2000 7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c（a≠0）．其图像如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x﹣x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元． （1）请观察题中的表格和图像，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 26．（8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 27．（12分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），C（2，-3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式； (3)过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF=EG． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．抛物线与轴的一个交点是(一1，0)，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是(       ) A．(0，0) B．(3，0) C．(-3，0) D．（0，-3) 【答案】B 【分析】先令y=0，得到一元二次方程，解方程即可得到抛物线与轴的另一个交点坐标． 【详解】令y=0得到一元二次方程， 解得方程的根为： ，． 已知抛物线与轴的一个交点是(一1，0)， 所以抛物线与轴的另一个交点坐标是 ． 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，比较简单，令y=0列出方程并解方程是解决本题的关键． 2．将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 3．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ） A．5 B． C．5或1 D．或 【答案】C 【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解． 【详解】解：比较抛物线与抛物线， 发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式， ∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，， ∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1， 当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解． 4．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，那么抛物线的对称轴为直线（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴． 【详解】∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=-1，x2=2， ∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(-1，0)、(2，0)， ∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴是解答本题的关键． 5．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴为轴，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，等于，由解析式可知开口向上，则时，随的增大而减小，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：由二次函数可得，对称轴为轴， 即时的函数值与时的函数值相等，等于， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 【答案】C 【分析】根据二次函数的各项的系数即可判断二次函数的图象位置． 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∴二次函数的图象经过第三、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 7．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出销售量与x的关系，再根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的关系即可得到答案． 【详解】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 8．二次函数（、、是常数，且）的图像如图所示，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可． 【详解】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，故abc＞0，因此①错误， 对称轴为x= -= - 1，即b=2a，也就是 2a-b=0，所以②正确, 由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，即 a−b+c ＞0，所以③ 正确， 由图象可知,当x=-3时，y=9a-3b+c＜0，所以④ 正确， 所以正确的个数有3个， 故答案为：C 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围. 9．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 【详解】解：∵抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上， ∴当时，，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0， 解得：m＞， 又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方， ∴2m-1＜， 解得：m＜， 综上可得：， 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，正确理解题意是解题的关键；． 10．如图，在直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于A（﹣3，0）和B两点，抛物线与x轴交于A、C两点，且C的横坐标在0到1之间（不含端点），下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．3a﹣b＞0 C．2a﹣b+m＜0 D．a﹣b＞2m﹣2 【答案】D 【分析】据二次函数开口向下判断出a＜0，再利用对称轴判断出b＜0，利用与y轴的交点位置判断出c＞0，然后求出abc＞0；把点A坐标代入函数解析式整理即可得到3a﹣b＜0；根据对称轴求出2a﹣b＞0，一次函数图象判断出m＞0，从而得到2a﹣b+m＞0；根据x=﹣1时的函数值的大小列出不等式，再根据一次函数图象表示出m、n的关系，然后整理即可得到a﹣b＞2m﹣2． 【详解】解：A、由图可知，二次函数图象开口向下， 所以，a＜0， ∵C的横坐标在0到1之间（不含端点）， ∴﹣＜﹣1， ∴b＜2a， ∴b＜0， ∵与y轴的交点C在y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故本选项错误； B、∵A（﹣3，0）在二次函数图象上， ∴9a﹣3b+c=0， ∴3a﹣b=﹣c＜0， ∴3a﹣b＜0，故本选项错误； C、∵b＜2a， ∴2a﹣b＞0， ∵一次函数y=mx+n经过第一三象限， ∴m＞0， ∴2a﹣b+m＞0，故本选项错误； D、x=﹣1时，a﹣b+c＞﹣m+n， ∵一次函数经过点（﹣3，0）， ∴﹣3m+n=0， ∴n=3m， ∴a﹣b＞﹣m+3m﹣c=2m﹣c， 由图可知，c＜2， ∴2m﹣c＞2m﹣2， ∴a﹣b＞2m﹣2，故本选项正确． 故选D． 11．已知抛物线与轴交于，，该函数在时，下列说法正确的是（ ） A．有最小值，有最大值3 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值4 D．有最小值，有最大值4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质及最值等，将代入，解得，从而得到其解析式，由此知道其开口方向、对称轴、顶点坐标、与轴交点、值等，再结合函数的性质求得最值．二次函数的性质及最值是二次函数部分最基本的内容，也是必考内容，一定要深刻理解、牢固掌握、灵活运用． 【详解】解：将代入， 得，解得． 将代入， 得． 当时， 解得或． ∴． 又∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，与轴交点坐标为和． ∴当时，即当时，该二次函数的最小值为， 比远离对称轴，故当时，该二次函数的最大值为3， 故选：． 12．已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ▲ ） A．最小值 －3 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【详解】解：由抛物线开口向下，，当x=2时，函数有最大值. 故应选：B 本题考查的是二次函数在知道开口方向和顶点的最值问题，属于常见题型． 13．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的交点的横坐标，即令y=0所对应的一元二次方程的根． 【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根， ∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是1． 故选B． 【点睛】考查了二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的关系． 14．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　) A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【详解】）∵y=－x2＋4x=， ∴当x=2时，y有最大值4， ∴最大高度为4m． 故选A． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=1，有下列四个判断： ①关于x的一元二次方程的两个根分别是； ②； ③若抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），则y1＜y2＜y3； ④当OC=3时，点P为抛物线对称轴上的一个动点，则△PCA的周长的最小值是， 上述四个判断中正确的 有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线与对称轴的交点对①进行判断；由抛物线经过点（-1，0），代入解析式即可对②进行判断；利用抛物线的对称轴对③进行判断；利用抛物线的对称性得到PA=PB，当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC，此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小，根据勾股定理求得AC、BC即可对④进行判断． 【详解】∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）， ∴关于x的一元二次方程的两个根分别是,故①正确； ∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，抛物线上有三个点分别为 （-2，y1）、（1，y2）、（2，y3）， ∴|-2-1|＞|2-1|， ∴y1＜y3＜y2；，故③错误； ∵P为抛物线对称轴上的一个动点， ∴点A与点B为抛物线的对称点， ∴PA=PB， ∴PA+PC=PB+PC， 当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC， 此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小， ∵OA=1，OC=3，OB=3， ∴AC=，BC=， ∴△PCA的周长最小值为+．故④正确． 故选：C． 【点睛】考查的是二次函数的图像和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次函数与一元二次方程的根的判别式的关系结合二次函数的定义解答． 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，熟知抛物线与x轴有两个交点，则对应方程的判别式是解本题的关键． 17．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降 米时，水面宽度为米．        【答案】 【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令即可得到答案． 【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：    设抛物线的解析式为， 将代入解析式得到，解得， ， 根据题意，当时，， 此时，水面下降（米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键． 18．平行于x轴的直线分别与一次函数y=-x+3和二次函数y= x2 -2x-3的图象交于A（x1，y1），B(x2，y2)，C（x3，y3）三点，且x1＜x2＜x3，设m= x1+x2+x3，则m的取值范围是 ． 【答案】m<0 【分析】结合函数的图象，求出直线和抛物线的交点（-2，5）和（3，0），与这两个图形的交点坐标满足x1＜x2＜x3，根据根与系数关系可求得. 【详解】 ， 得：     ， 或， 所以直线与抛物线的交点是（-2，5）和（3，0），二次函数的对称轴为x=1 因为A（x1，y1），B(x2，y2)，C（x3，y3）三点，且x1＜x2＜x3 如图则l直线只能在直线l1上方，则x2+ x3=21=2 x1<-2,所以x1+x2+x3<0 即：m<0 故正确答案为：m<0 【点睛】本题考核知识点：一次函数和二次函数的综合运用.解题关键:数形结合，求出关键点的坐标，再根据已知条件，判断交点的位置，从而求出x的变化情况. 19．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若B（﹣，y1），C（﹣，y2）为图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b＝0；④＜0，其中正确的结论是 ． 【答案】①③ 【分析】①由抛物线交y轴于正半轴可得出c＞0，结论①正确；②由点B，C的横坐标可得出点C离对称轴远，结合抛物线开口向下，即可得出y1＞y2，结论②错误；③由抛物线的对称轴为直线x=-1，可得出b=2a，即2a-b=0，结论③正确；④由抛物线顶点的纵坐标大于0，可得出＞0，结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】①∵抛物线交y轴于正半轴， ∴c＞0，结论①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴-1-（-）＜--（-1）． 又∵抛物线的开口向下，B（-，y1），C（-，y2）为图象上的两点， ∴y1＞y2，结论②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴-=-1， ∴b=2a，即2a-b=0，结论③正确； ④∵抛物线的顶点纵坐标在x轴上方， ∴＞0，结论④错误． 故答案为①③． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）（1）解方程：3x（x﹣1）=2﹣2x； （2）已知二次函数的图像以A（﹣1，4）为顶点且过点B（2，﹣5），求该函数的解析式． 【答案】（1）x1=1，x2=﹣；（2）y=﹣x2﹣2x+3． 【分析】（1）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（2）设二次函数解析式为y=a（x+1）2+4，再将B（2，-5）代入求解即可． 【详解】（1）3x（x﹣1）﹣2+2x=0， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0， （x﹣1）（3x+2）=0， x﹣1=0或3x+2=0， 解得x1=1，x2=﹣； （2）设二次函数解析式为y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入，得﹣5=a（2+1）2+4，解得a=﹣1， 则该函数的解析式为y=﹣（x+1）2+4 或y=﹣x2﹣2x+3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确设出函数的解析式． 21．（6分）直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点，已知点A的横坐标为3． （1）求A、B两点的坐标及抛物线的解析式； （2）O为坐标原点，求△AOB的面积． 【答案】（1）A（3，9），B（﹣1，1），y=x2；（2）6． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用分割法求出△ABO的面积即可． 【详解】（1）∵点A的横坐标为3， ∴y=2×3+3=9， ∴点A的坐标是（3，9） 把A（3，9）代入y=ax2中，得：a=1， ∴抛物线的解析式是：y=x2， 根据题意，得：， 解得：或， ∴点B的坐标是（﹣1，1）， （2）设直线y=2x+3与y轴交于点C，则点C的坐标是（0，3） ∴△AOB的面积=S△OBC+S△AOC＝×3×(3+1)＝6． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，会用分割法求三角形的面积． 22．（7分）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2． (1)求S与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)． (2)如果要围成面积为45m2的花圃，那么AB的长是多少米？ (3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）S＝－3x2＋24x(≤x<8)；（2）AB的长为5m；（3）能围成面积比45m2更大的花圃，最大面积为m2，，此时AB＝m，BC＝10m． 【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（24−3x），利用长方体的面积公式，可求出关系式． （2）将s＝45m代入（1）中关系式，可求出x即AB的长． （3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃． 【详解】解：(1) ∵0＜24−3x≤10， ∴≤x<8 ∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x(≤x<8)． (2)当S＝45时，有－3x2＋24x＝45． 解得x1＝3，x2＝5． ∵≤x<8， ∴x＝5， 即AB的长为5m． (3)能围成面积比45m2更大的花圃． ∵S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，其函数图象开口向下，对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x的增大而减小， ∴在≤x<8的范围内，当x＝时，S取得最大值，S最大值＝． 即最大面积为m2， 此时AB＝m，BC＝10m． 【点睛】本题以实际问题为载体，主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆． 23．（6分）已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M． （1）求直线l的函数解析式； （2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式． 【答案】（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2． 【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M的坐标，再根据S△AMP=3求出M的坐标，最后求出解析式. 【详解】（1）设一次函数解析式为y=kx+b， 把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得 解得 解析式为y=﹣x+4． （2）设M点的坐标为（m，n）， ∵S△AMP=3， ∴（4﹣1）n=3， 解得，n=2， 把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2， M（2，2）， ∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0）， 可得y=a（x﹣1）2， 把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2． 【点睛】此题重点考查学生对函数解析式的理解，熟练解析式的求法是解题的关键. 24．（8分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可． （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点． （3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解 【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c， ∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）． 又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=-1． ∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3），即y＝-x2+2x+3． （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P． 则此时的点P，使△PAC的周长最小． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得：． ∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3． 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)． （3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． ∵抛物线的对称轴为： x=1， ∴设M(1，m)． ∵A(－1，0)、C(0，3)， ∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10． 若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1． ②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±． ③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去． 综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰三角形的存在性问题，需要数形结合、分类讨论，难度较大． 25．（8分）企业的污水处理有两种方式：一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表： 　月份x（月） 　1 　2 3 　4 5 6 　输送的污水量y1（吨） 　12000 　6000 　4000 　3000 　2400 2000 7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c（a≠0）．其图像如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x﹣x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元． （1）请观察题中的表格和图像，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 【答案】（1）y1=（1≤x≤6，且x取整数）；y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；（2）去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元； 【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图像得出：图像过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可求解． 【详解】（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系： y1=，将（1，12000）代入得： k=1×12000=12000， 故y1=（1≤x≤6，且x取整数）； 根据图像可以得出：图像过（7，10049），（12，10144）点， 代入y2=ax2+c（a≠0）得：， 解得：， 故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）； （2）当1≤x≤6，且x取整数时： W=y1•z1+（12000﹣y1）•z2=•x+（12000﹣）•（x﹣x2）， =﹣1000x2+10000x﹣3000， ∵a=﹣1000＜0，x=﹣=5，1≤x≤6， ∴当x=5时，W最大=22000（元）， 当7≤x≤12时，且x取整数时， W=2×（12000﹣y2）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）， =﹣x2+19000， ∵a=﹣＜0，x=﹣=0， 当7≤x≤12时，W随x的增大而减小， ∴当x=7时，W最大=18975.5（元）， ∵22000＞18975.5， ∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元； 【点睛】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是根据题意列出反比例函数关系式和二次函数关系式． 26．（8分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）（0＜x＜40）；（2）当x=20时，y有最大值，最大值是300平方米． 【详解】试题分析：（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可； （2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可． 试题解析：（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍， ∴AE=2BE， 设BE=a，则AE=2a， ∴8a+2x=80， ∴a=-x+10，3a=-x+30， ∴y=（-x+30）x=-x2+30x， ∵a=-x+10＞0， ∴x＜40， 则y=-x2+30x（0＜x＜40）； （2）∵y=-x2+30x=-（x-20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为-＜0， ∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米． 考点：二次函数的应用． 27．（12分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），C（2，-3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式； (3)过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF=EG． 【答案】(1)，； (2)向左个单位长度，再向上平移个单位长度．平移后的抛物线解析式为： (3)证明见解析 【分析】（1）把A（-1，0），C（2，-3）代入y=x2+bx+c，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）先求出抛物线y=x2-x-2与y轴交点D的坐标为（0，-2），再根据平移规律可知将点（，-）向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到点D，然后利用顶点式即可写出平移后的抛物线解析式为：y=x2-2； （3）先用待定系数法求直线OC的解析式为y=-x，再将x=m代入，求出yG=-m，yF=m2-2，yE=m2-m-2，再分别计算得出PF=-（m2-2）=2-m2，EG=yG-yE=2-m2，由此证明PF=EG． 【详解】（1）解：把A（-1，0），C（2，-3）代入y=x2+bx+c， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵=， ∴其顶点坐标为：（，-）； （2）解：∵ ∴当x=0时，y=-2， ∴D点坐标为（0，-2）． ∵将点（，-）向左平移个单位长度， 再向上平移个单位长度，可得到点D， ∴将向左平移个单位长度， 再向上平移个单位长度，顶点为点D， 此时平移后的抛物线解析式为：； （3）证明：设直线OC的解析式为y=kx， ∵C（2，-3）， ∴2k=-3，解得k=-， ∴直线OC的解析式为y=-x． 当x=m时，yF=m2-2，则PF=-（m2-2）=2-m2， 当x=m时，yE=m2-m-2，yG=-m， 则EG=yG-yE=2-m2， ∴PF=EG． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换以及待定法求二次函数解析式，解题的关键是熟练二次函数的相关知识点． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$