第二章 一元二次方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第二章 一元二次方程（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若mx2+3=2x（x﹣2）是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m＝0 C．m≠2 D．m＝2 【答案】C 【分析】原方程整理后，根据二次项的系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】解：∵mx2+3=2x(x﹣2)，∴， ∵mx2+3=2x(x﹣2)是关于x的一元二次方程， ∴，∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．某商品原每件售价400元，经过连续两次降价后每件仍能获利56元，若每件商品进价为200元，则平均每次降价的百分率为（    ） A．10% B．20% C．25% D．60% 【答案】B 【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×（平均每次降价的百分率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意，即可得出结论． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴平均每次降价的百分率为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．如图，在长为30m，宽为15m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为406m2，则小路的宽度应为多少（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解． 【详解】解：将道路进行平移，剩余的草坪为一个小长方形， 设小路宽为x m， 根据题意，得（30−x）（15−x）＝406． 整理得． 解得，（不合题意，舍去）． 则小路宽为1m， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解． 4．方程，则的值是（    ） A． B．2 C．1、2 D．、 【答案】B 【分析】把原方程整理为可得或 再结合一元二次方程根的判别式可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴或 当， ∴ 当则 方程无解，不成立，故舍去． 故选B． 【点睛】本题考查的利用因式分解解方程，一元二次方程根的判别式的理解，熟练的使用整体未知数是解本题的关键． 5．若，是关于的方程的两个根，且，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．6或 【答案】A 【分析】由题意得到，， ，再由，得到方程，解得，分别代入进行检验即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的方程的两个根， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，，满足题意， 当时，，不满足题意， ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识，准确计算是解题的关键． 6．从一块腰长为的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上．若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中，，，分两种情况，一是矩形的边在上，顶点、分别在、上，可证明≌，得，设，则，可求得，或，；二是矩形的边在上，在上，顶点在上，设，则，可求得，或，，这两个矩形全等，所以有种不同的裁法，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，，，则， 如图，矩形的边在上，顶点、分别在、上，   ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 设， 矩形的面积是，， ， 解得，， 或， ，或，， 如图，矩形的边在上，在上，顶点在上，   ， ， ， 设，则， 解得，， 或， ，或，，这两个矩形全等， 有种不同的裁法， 故选：C． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大． 7．如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0 C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0 【答案】A 【分析】根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以它们的长为根的一元二次方程． 【详解】解：∵AB⊥BE，BD⊥BC， ∴∠ABE＝∠DBC＝90°， 在Rt△ABE中，a2+b2＝c2， ∵DE＝BE＝a， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠C， ∴CE＝BE＝a， ∴AC＝AE+CE＝c+a， ∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2， ∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程． 8．已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③根据一元二次方程的解，以及完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解． 【详解】解：①∵是完全平方式， ∴， ∴，故结论正确； ②∵，而， ∴， ∴的最小值是2，故结论正确； ③∵ 把代入，得： ， 即， 此时， ∴，即， ∴， ∴故结论错误； ④∵， ∴， ∴，故结论错误； 故选B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】把代入一元二次方程中，解关于m的一元二次方程即可求得m的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中，得． 解得． 当时，原方程的二次项系数，舍去． 故m的值是：． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的概念，解题的关键是理解一元二次方程的概念． 10．已知关于x的一元二次方程的两个实根为，则= ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到，把分式变形，代入计算即可． 【详解】解∶是一元二次方程的两个实数根， 则， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，关键是孰知一元二次方程根与系数的关系∶． 11．有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 【答案】8． 【分析】设每轮传染中平均每人传染x个人，根据经过两轮传染后总共有162人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x个人， 根据题意得：2+2x+x（2+2x）=162， 整理得：x2+2x﹣80=0， 解得：x1=8，x2=﹣10（不合题意，舍去）． 故答案为8． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键找准等量关系，正确列出一元二次方程. 12．对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可． 【详解】解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为：3． 13．在平行四边形中，、分别为、的中点，、分别是一元二次方程的两根，且，则 ．    【答案】 【分析】先解方程得到，，延长交延长线于点，过作于点，先证明，得到，然后在中，利用直角三角形的性质和勾股定理可求，，然后在中利用勾股定理求出值，依据，则值可求． 【详解】解：， ， ，， 、分别是一元二次方程的两根， ，， 如图，延长交延长线于点，过作于点，    为中点， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， 在中，利用勾股定理得：， 四边形是平行四边形， ， 又为中点， ， ， ，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造等腰三角形是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）运用整体思想和因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以方程的解为：． （2）解：， ， ， ， 所以方程的解为：． 15．如图是一张长dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是40 dm2的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】(1)，；(2) dm 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可求解； （2）求解方程即可． 【详解】（1）解：由图示可知：无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm 故答案为：， （2）解：由题意得：，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 dm 16．某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． (1)若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； (2)养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)牛场的总面积不可能达到180平方米， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意可得较大长方形的长为米，则较大长方形的宽为（米），依题意得：，再求解即可； （2）依题意得：，再进行求解并判断即可． 【详解】（1）解：中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，较小长方形的宽为米， 较大长方形的长为米， 则较大长方形的宽为（米）， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． ． （2）牛场的总面积不可能达到180平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：． 解得：，． 当时，，不合题意，舍去． 当时，，不合题意，舍去． 牛场的总面积不可能达到180平方米． 17．阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程， ，， ； （3）解：把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 18．已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． (1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； (2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； (3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形 【分析】本题属于动点问题，动点几何问题的解题方法：根据图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置），利用动点位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用数形结合的转化的思想将几何问题转化为函数和方程问题，进而通过函数的性质或解方程就可以解决问题了． （1）由题意，根据运动的时间为，表示出，根据四边形的面积是可列方程，解方程即可解答； （2）过于，则，由勾股定理可求出t的值，从而解答题目． （3）过于，由勾股定理得：，，，分为三种情况：①时，②时，③时，分别求解即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：作于，则， 由勾股定理得， 解得：(舍)． （3）解：作于， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， ， ， 分为三种情况：①时，即， 解得：(舍)， ②时，即， 解得：或， ∵时，，此时舍去； ③时，， 解得：或， 当为或或或时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．关于的一元二次方程中，= ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义解题即可． 【详解】解：由题可得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 20．有一个两位数，个位数字比十位数字大，且个位数字与十位数字的平方和等于，这个两位数是 ． 【答案】 【分析】由个位上的数字与十位上的数字的平方和等于20，设未知数代入求得整数解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，的个位上的数字为，可列方程为 ， 解得，（舍去）， ， ， 故答案为24． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握题中的等量关系列出方程是本题的解题关键． 21．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作，则的值为 ． 【答案】． 【分析】由根与系数的关系得，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】由韦达定理得：， 原式， ∵ ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求解． 22．已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数轴上两点距离；根据题意得出之间共有个或个整数，进而可得，设之间的数分别为，，根据题意列出一元二次方程，解方程，得出整数解，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴之间共有个或个整数， ∵6个连续的整数满足 ∴， 当时，间有个整数，则之间的3个整数设为，之间的个整数为， ∴， 解得：或 当上有个整数，，无整数解； 当时，间有个整数，则之间的4个整数设为，之间的个整数为， ∴， 解得：或， 当，间有个整数，则之间的4个整数设为，之间的个整数为， ∴，无整数解； 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无整数解 或，无整数解 当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为， ∴，无解， 综上所述，或或， 则或或， ∴，或 ∵是正整数， ∴ 故答案为：． 23．如图，已知四边形，，在上，三角形是等边三角形，若，，则的长度等于 ． 【答案】 【分析】作交于，由勾股定理可得，由等边三角形的性质结合勾股定理可得，，，设，则，，根据，，列出一元二次方程，解方程即可得到的值，再由三角形三边关系判断是否符合题意． 【详解】解：如图，作交于， ， ，，， ， 是等边三角形，， ，， ， 设，则，， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，，满足三角形三边关系，符合题意，此时， 当时，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，的长度等于， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等边三角形的性质、一元二次方程的应用、三角形三边关系，根据面积关系得出一元二次方程是解此题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 … 销售数量y（件） … 75 70 60 … (1)求y与x之间的函数关系式 (2)销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%． ①要使该商品每天的销售利润为1375元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)①55件；②不存在，理由见解析 【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）①根据每件的利润乘以销售量等于利润1375元，列出方程并求解，再结合每件商品获利不得高于60%，可得符合题意的答案； ②根据每件的利润乘以销售量等于利润1650元，然后根据根的判别式判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，将点、代入一次函数关系式得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴y与x之间的函数关系为； （2）解：①根据题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴，， ∴每天的销售量55件； ②根据题意，得， 化简得， ∴， ∴方程无解， ∴不存在每天的销售利润为1650元． 【点睛】本题考查了一次函数一元以及二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系是解题的关键． 25．在锐角三角形中，于点D，，，E是边上一点，且，连接，F，G分别是的中点． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，连接，求证：； (3)延长交边于点H，若，求的长度． 【答案】(1)的长为 (2)证明详见解答 (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）先利用勾股定理求出和的长度，再证即可得解； （2）连接，取中点，连接，根据中位线定理，，则，推出，则，因为，等量代换即可作答． （3）设，则，根据，求出，由中位线定理，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：连接，取中点，连接， ∵分别是中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：设， 则， ∵， 即， ， 则， 由中位线定理， ， 在中，， 即， 解得或(舍去)， ． 26．如图，在平面直角坐标系中，梯形的下底在x轴的正半轴上，线段，的长是方程的两个根，且，，边长为3的正方形在梯形右侧，边也在x轴的正半轴上，点N与点C重合． (1)求线段所在直线的解析式 (2)点N从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿折线段向终点O运动，正方形也随之运动．设运动时间为t秒，连结、，求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 (3)在（2）的条件下，是否存在使的面积等于的面积的情况？若存在，直接写出运动时间t的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)存在；9或或 【分析】（1）解方程求出进而求出点P坐标即可求直线的解析式； （2）分点N在上、点N在上、点N在上时三种情况分别求出对应的函数解析式； （3）分点N在边上运动时，点N在边上运动时，点N在边上运动时三种情况依次求解. 【详解】（1）解：解方程得，， ， ， 梯形是等腰梯形， ， 作轴于E，作轴于F， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设直线为， 得， ， ； （2）解：①点N在边上运动时， 如图，延长交于D， 于D， ， ， ， 此时的面积； ②点N在边上运动时， 如图，延长交于D， 于D， ，， 此时的面积； ③点N在边上运动时， 如图，延长交于D， 于D， ， ，， 此时的面积； 综上所述，的面积S与运动时间t的函数关系式为： ； （3）解：存在； ①点N在边上运动时，当两点重合时，的面积最小，， 此时面积最大，，此时没有符合题意的； ②点N在边上运动时， ，解得，符合题意； ③点N在边上运动时， Ⅰ点Q在上方时， 的高为，， 解得， ，符合题意； Ⅱ点Q在下方时， 的高为，， 解得， ，符合题意； 综上所述，存在使的面积等于的面积的情况， t的值为9或或． 【点睛】本题考查了一次函数与四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质，解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，学会运用分类讨论、数形结合的思想解决数学问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若mx2+3=2x（x﹣2）是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m＝0 C．m≠2 D．m＝2 2．某商品原每件售价400元，经过连续两次降价后每件仍能获利56元，若每件商品进价为200元，则平均每次降价的百分率为（    ） A．10% B．20% C．25% D．60% 3．如图，在长为30m，宽为15m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，要使草坪的面积为406m2，则小路的宽度应为多少（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．4 4．方程，则的值是（    ） A． B．2 C．1、2 D．、 5．若，是关于的方程的两个根，且，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．6或 6．从一块腰长为的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上．若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法？（    ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0 C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0 8．已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是 ． 10．已知关于x的一元二次方程的两个实根为，则= ． 11．有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 12．对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 13．在平行四边形中，、分别为、的中点，、分别是一元二次方程的两根，且，则 ．    三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．解方程 (1)； (2)． 15．如图是一张长dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是40 dm2的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 16．某农场计划建造一个长方形养牛场，为充分利用现有资源，该长方形养牛场一面靠墙（墙的长度为15米），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的长方形，已知栅栏的总长度为48米，设较小长方形的宽为米（如图），栅栏厚度不计． (1)若长方形养牛场的总面积为144平方米，求此时的值； (2)养牛场的总面积是否有可能达到180平方米？若有可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 17．阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 18．已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． (1)点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； (2)点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； (3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．关于的一元二次方程中，= ． 20．有一个两位数，个位数字比十位数字大，且个位数字与十位数字的平方和等于，这个两位数是 ． 21．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作，则的值为 ． 22．已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为 ． 23．如图，已知四边形，，在上，三角形是等边三角形，若，，则的长度等于 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 … 销售数量y（件） … 75 70 60 … (1)求y与x之间的函数关系式 (2)销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于60%． ①要使该商品每天的销售利润为1375元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 25．在锐角三角形中，于点D，，，E是边上一点，且，连接，F，G分别是的中点． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，连接，求证：； (3)延长交边于点H，若，求的长度． 26．如图，在平面直角坐标系中，梯形的下底在x轴的正半轴上，线段，的长是方程的两个根，且，，边长为3的正方形在梯形右侧，边也在x轴的正半轴上，点N与点C重合． (1)求线段所在直线的解析式 (2)点N从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿折线段向终点O运动，正方形也随之运动．设运动时间为t秒，连结、，求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 (3)在（2）的条件下，是否存在使的面积等于的面积的情况？若存在，直接写出运动时间t的值；若不存在，请说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$