专题16 计数原理与概率统计（解答题）-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题16计数原理与概率统计（解答题） 1．【2024年新高考2卷第18题】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第19题】某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】(1)，； (2)，最小值为． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第21题】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 4．【2022年新课标全国Ⅰ卷第20题】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；(ii)； 【详解】（1）由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因为， 所以 所以， (ii) 由已知，， 又，， 所以 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第19题】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁； (2)； (3)． 【详解】（1）平均年龄     （岁）． （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以 ． （3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 6．【2021年新课标全国Ⅰ卷第18题】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）类． 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为 （2）由（1）知，． 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 7．【2020年新课标全国Ⅱ卷第19题】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表： （1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？ 附：， 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有. 【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天， 所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为； （2）由所给数据，可得列联表为： 合计 64 16 80 10 10 20 合计 74 26 100 （3）根据列联表中的数据可得 ， 因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关. 8．【2020年江苏第25题】甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn． （1）求p1，q1和p2，q2； （2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n表示) ． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）， ， . （2）， ， 因此， 从而， 即. 又的分布列为 0 1 2 故. 9．【2019年江苏第24题】设.已知. （1）求n的值； （2）设，其中，求的值. 【答案】（1）； （2）-32. 【详解】（1）因为， 所以， ． 因为， 所以， 解得． （2）由（1）知，． ． 解法一： 因为，所以， 从而． 解法二： ． 因为，所以． 因此． 10．【2019年江苏第25题】在平面直角坐标系xOy中，设点集，令.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离. （1）当n=1时，求X的概率分布； （2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）. 【答案】（1）见解析； （2） 【详解】（1）当时，的所有可能取值是． 的概率分布为， ． （2）设和是从中取出的两个点． 因为，所以仅需考虑的情况． ①若，则，不存在的取法； ②若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法； ③若，则，因为当时，，所以当且仅当，此时或，有2种取法； ④若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法． 综上，当时，的所有可能取值是和，且 ． 因此，． 11．【2017年江苏第26题】已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）. （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p; （2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明 【答案】（1）（2）见解析 【详解】(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: . (2) 随机变量 X 的概率分布为: X … … P … … 随机变量 X 的期望为： . 所以 . 12．【2016年江苏第26题】（1）求的值； （2）设m，nN*，n≥m，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）. 【答案】（1）0（2）详见解析 【详解】（1）根据组合数公式化简求值（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的 ，而且可由（1）归纳出的 ；单纯从命题角度看，可视为关于n的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式中含项的系数，再利用错位相减求和得含项的系数 ，从而达到化简求证的目的. 试题解析：解：（1） （2）当时，结论显然成立，当时 又因为 所以 因此 1．（2024·江苏·二模）某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表： 借阅次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 2 5 3 5 5 1 2 2 25 女生人数 4 4 5 5 3 2 1 1 25 合计人数 6 9 8 10 8 3 3 3 50 若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”． (1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？ 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 女生 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 (2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望． 【答案】(1)列联表见解析，没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关 (2)概率分布见解析，1 【详解】（1）列联表： 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 10 15 25 女生 13 12 25 合计 23 27 50 提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系， 根据列联表的数据，可以求得： ， 所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关． （2）随机变量服从超几何分布，可能取0，1，2， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 所以， 故抽取男生人数的数学期望为1． 2．（2024·江苏盐城·一模）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.已知选手甲正确回答每一道题的概率均为. (1)记X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”，求的概率； (2)记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记为“第个题目回答正确”，为“第个题目回答不正确”. 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为，X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”， 所以. （2）记Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，则Z所有可能的取值为8，10. 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为， 所以 ， ， 因此， 而，所以. 3．（2024·江苏南通·模拟预测）跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表. 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 (1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望. 【答案】(1)没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联 (2)分布列见解析，. 【详解】（1）假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关. 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 因为， 所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联. （2）的所有可能取值分别为1，2，3，4. ； ； ； ， 所以的概率分布为： 1 2 3 4 所以. 所以的数学期望为. 4．（2024·江苏宿迁·三模）某批零件一级品的比例约为，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为．某项任务需要使用该零件次（若使用期间出现故障则换一件使用）． (1)某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率； (2)当时，求发生故障次数的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【详解】（1）记事件 “从这批产品中任取一件为一级品”，则， 记事件 “使用零件次，没有发生故障”，则，． 则， 所以． （2）依题意的可能取值为，，． 所以， ， ， 所以的分布列如下 0 1 2 所以． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表. 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 (1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ (2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联 (2)概率分布见解析，. 【详解】（1）解：假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关， 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 因为，所以没有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联. （2）解：由题意，随机变量的所有可能取值分别为， 可得，，， ， 所以变量的概率分布为 1 2 3 4 所以，期望为. 6．（2024·河南·三模）一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中型机床2台，型机床1台．型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2. (1)记X为每天发生故障的机床数，求的分布列及期望； (2)规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率． 【答案】(1)分布列见解析，0.4； (2)． 【详解】（1）X的可能值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.648 0.306 0.044 0.002 期望． （2）记事件为“车间停工”，事件为型机床发生故障”， ，， 因此， 所以某一天在车间停工的条件下，型机床发生故障的概率为． 7．（2024·江苏盐城·模拟预测）某学校有、两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为；如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为． (1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)甲同学第几天去餐厅就餐的可能性最大？并说明理由． 【答案】(1)分布列见解析， (2)甲同学第2天去餐厅就餐的可能性最大，理由见解析 【详解】（1）设一位同学第天选择去餐厅就餐的概率为，则． 则，所以，， ，， 故的分布列如下表所示． 0 1 2 3 则的期望为. （2）设甲同学第天去餐厅的概率为，则， 当时，， ，又， 是以为首项，为公比的等比数列， ，， 当是奇数时，； 当是偶数时，，则． 所以甲同学第2天去餐厅就餐的可能性最大． 8．（2024·江苏南通·模拟预测）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． (1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 【答案】(1)，14.99千人 (2) 【详解】（1）依题意，， ，所以． 当时，， 答：第10天入校参观的人数约为14.99千人． （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求． 则， ， 所以． 答：他们从不同门进校的概率为． 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为，且各局比赛结果相互独立. (1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率； (2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数的分布列与数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【详解】（1）设“三局比赛后，甲得3分”为事件， 甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负， 所以， 故三局比赛甲得3分的概率为. （2）依题意知的可能取值为， ， ， ， ， 故其分布列为： 2 3 4 5 期望. 10．（2024·江苏无锡·模拟预测）由于人们对工业高度发达的负面影响预料不够，预防不利，导致了全球性的三大危机：资源短缺、环境污染、生态破坏环境污染指自然的或人为的破坏，向环境中添加某种物质而超过环境的自净能力而产生危害的行为或由于人为的因素，环境受到有害物质的污染，使生物的生长繁殖和人类的正常生活受到有害影响由于人为因素使环境的构成或状态发生变化，环境质量下降，从而扰乱和破坏了生态系统和人类的正常生产和生活条件的现象据研究，某种污染物具有极强的污染力，现在对这种污染物的污染力进行调查研究，通过实验调查，可以得到某地区该污染物到来后的污染时间小时与该污染物的污染面积平方米的一些数据如下： 通过分析可知，数据与之间存在很强的线性回归关系． (1)求出与之间的关系式； (2)根据中的关系式，该污染物到来后的污染时间是多少时，该污染物的污染面积的平均增长最慢？ 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别，．． 【答案】(1)； (2)该污染物到来后的污染时间是小时时，该污染物的污染面积的平均增长最慢． 【详解】（1）令，则，． ，， ，． ，则，可得与之间的关系式为； （2）令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ． 故该污染物到来后的污染时间是小时时，该污染物的污染面积的平均增长最慢． 11．（2024·江苏南通·二模）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练. (1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？ (2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？ 【答案】(1)9种 (2). 【详解】（1）法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为； 再选出副队长，方法数也是，故共有方法数为（种）. 方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）； 若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种） 答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种. （2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为； 第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为， 故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：. ②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为， 第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为， 第三次传球，甲将球传给老师，其概率为， 这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为， 所以，前三次传球中满足题意的概率为：. 答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是. 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有25个是3分线外侧投入，25个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件． (1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率； (2)求该生两次投篮后得分的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）设分别表示“得3分”，“得2分”，“得0分”，用频率估计概率， 可得，，. 在4次投篮恰有三次是3分线外侧投入的条件下，这三次有4种可能的选取方式. 故所求概率. （2）我们有 ； ； ； ； ； . 故的分布列为 数学期望. 13．（2024·江苏南通·模拟预测）某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的 (1)求甲任选一题并答对的概率; (2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为， ①求和 ②求 【答案】(1) (2)①，；② 【详解】（1）记“甲任选一道题并答对”为事件M，“甲知道答题涉及内容”为事件A， 依题意，，，，， 因为事件与互斥， 所以 ； （2）①，即两题均选择作答，且均正确作答， 故， ，即两题均选择作答，且均作答错误， 故 ②依题意，随机变量，，0，1，2，4， 由①得，， ，即选择一道题作答且作答错误，另一题不作答， 故， ，即两题均不作答， 故， ，即选择两题均作答，且一题作答正确，另一题作答错误， 故， ，即甲选择一题作答且作答正确，另一题不作答， ， 故 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中． (1)当时，若甲射击次，命中目标的次数为． ①求； ②若其中求的值． (2)射击积分规则如下：单次未命中目标得分，单次命中目标得分，若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①由题意知所以． ②其中 设 则 所以 因为其中 所以，所以或 当时舍去， 当时满足题意， 综上所述． （2）的可能取值为． 对任意，， 故所求的有序实数对为． 15．（2024·江苏徐州·模拟预测）甲､乙两人进行某项比赛，采取5局3胜制，积分规则如下：比分为或时，胜者积3分，败者积0分；比分为时，胜者积2分，败者积1分.设每局比赛甲取胜的概率均为. (1)若甲以取胜的概率大于以取胜的概率，求的范围； (2)若，求甲所得积分的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）甲以取胜的概率为， 甲以取胜的概率为， 由题意可知：，且， 可得，解得， 所以的取值范围为. （2）的所有可能取值为，则有： ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 16．（2024·江苏连云港·模拟预测）甲、乙两名选手进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若比赛最多进行5局（若打5局，第5局胜者赢得比赛），求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望； (2)若不限比赛局数，求“甲学员赢得比赛”的概率． （参考：已知正项无穷递减等比数列的公比为q，其所有项和） 【答案】(1)分布列见解析， (2)． 【详解】（1）由题意得X的所有可能取值为2，4，5， 则， ， ． 所以X的分布列为 X 2 4 5 P 所以的期望. （2）记“甲学员赢得比赛”为事件M，设赢得比赛局数为，则，， ， ， ， …… ， …… 所以． 所以甲学员赢得比赛的概率为． 17．（2024·江苏·三模）某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品” (1)从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率； (2)从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望 【详解】（1）， 记事件为该产品为合格品，事件为该产品是一等品， ， 该产品是一等品的概率为； （2）的所有可能取值为， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 的数学期望， 或由的二项分布. 18．（2024·江苏南京·二模）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，以单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.现有如下定义：在维空间中，，两点的曼哈顿距离为 (1)在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率； (2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离 （i）求出的分布列与期望； （ii）证明：随机变量的方差小于. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）记“所取两点的曼哈顿距离为1为事件A”，则 答：所取两点的曼哈顿距离为1的概率为. （2）（i）对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，即，剩下个坐标值满足. 此时所对应情况数为种.即 故分布列为： 1 2 … … 数学期望 倒序相加得， 即. （ii） ， 设， 两边求导得，， 两边乘以后得，， 两边求导得，， 令得，， 所以 ． 19．（2024·江苏苏州·模拟预测）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． (1)求随机变量的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求证：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题可知的可能取值为0，1，2， 根据相互独立事件的概率公式得到：即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换，即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则 ， 的分布列为： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即，即，， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ， 即的通项公式； （3） ， 所以 得证. 20．（2024·江苏南通·三模）“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．） (1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义； (2)若拋掷一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）时，， 时， 因为，所以，所以. 说明硬币质地均匀时，抛掷正面向上的不确定性更大. （2）（i）当时，的分布列： . （ii）当时，第次正面向上，前次中有次正面向上， 所以， 所以 . 当时，第次反面向上，前次中有次正面向上， 所以， 所以. 所以 . 由， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题16计数原理与概率统计（解答题） 1．【2024年新高考2卷第18题】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 2．【2023年新课标全国Ⅱ卷第19题】某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第21题】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 4．【2022年新课标全国Ⅰ卷第20题】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第19题】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 6．【2021年新课标全国Ⅰ卷第18题】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 7．【2020年新课标全国Ⅱ卷第19题】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表： （1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？ 附：， 8．【2020年江苏第25题】甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn． （1）求p1，q1和p2，q2； （2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n表示) ． 9．【2019年江苏第24题】设.已知. （1）求n的值； （2）设，其中，求的值. 10．【2019年江苏第25题】在平面直角坐标系xOy中，设点集，令.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离. （1）当n=1时，求X的概率分布； （2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）. 11．【2017年江苏第26题】已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）. （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p; （2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明 12．【2016年江苏第26题】（1）求的值； （2）设m，nN*，n≥m，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）. 1．（2024·江苏·二模）某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表： 借阅次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 2 5 3 5 5 1 2 2 25 女生人数 4 4 5 5 3 2 1 1 25 合计人数 6 9 8 10 8 3 3 3 50 若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”． (1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？ 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 女生 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 (2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望． 2．（2024·江苏盐城·一模）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.已知选手甲正确回答每一道题的概率均为. (1)记X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”，求的概率； (2)记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求. 3．（2024·江苏南通·模拟预测）跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表. 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 (1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望. 4．（2024·江苏宿迁·三模）某批零件一级品的比例约为，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为．某项任务需要使用该零件次（若使用期间出现故障则换一件使用）． (1)某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率； (2)当时，求发生故障次数的分布列及期望． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表. 喜欢 不喜欢 合计 男 12 8 20 女 10 10 20 合计 22 18 40 (1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？ (2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为.对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）.设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 6．（2024·河南·三模）一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中型机床2台，型机床1台．型机床每天发生故障的概率为0.1，B型机床每天发生故障的概率为0.2. (1)记X为每天发生故障的机床数，求的分布列及期望； (2)规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修．求某一天在车间停工的条件下，B型机床发生故障的概率． 7．（2024·江苏盐城·模拟预测）某学校有、两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为；如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为． (1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望； (2)甲同学第几天去餐厅就餐的可能性最大？并说明理由． 8．（2024·江苏南通·模拟预测）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． (1)求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为，且各局比赛结果相互独立. (1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率； (2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数的分布列与数学期望. 10．（2024·江苏无锡·模拟预测）由于人们对工业高度发达的负面影响预料不够，预防不利，导致了全球性的三大危机：资源短缺、环境污染、生态破坏环境污染指自然的或人为的破坏，向环境中添加某种物质而超过环境的自净能力而产生危害的行为或由于人为的因素，环境受到有害物质的污染，使生物的生长繁殖和人类的正常生活受到有害影响由于人为因素使环境的构成或状态发生变化，环境质量下降，从而扰乱和破坏了生态系统和人类的正常生产和生活条件的现象据研究，某种污染物具有极强的污染力，现在对这种污染物的污染力进行调查研究，通过实验调查，可以得到某地区该污染物到来后的污染时间小时与该污染物的污染面积平方米的一些数据如下： 通过分析可知，数据与之间存在很强的线性回归关系． (1)求出与之间的关系式； (2)根据中的关系式，该污染物到来后的污染时间是多少时，该污染物的污染面积的平均增长最慢？ 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别，．． 11．（2024·江苏南通·二模）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练. (1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？ (2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？ 12．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有25个是3分线外侧投入，25个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件． (1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率； (2)求该生两次投篮后得分的分布列及数学期望． 13．（2024·江苏南通·模拟预测）某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的 (1)求甲任选一题并答对的概率; (2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为， ①求和 ②求 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）假定射手甲每次射击命中目标的概率为其中． (1)当时，若甲射击次，命中目标的次数为． ①求； ②若其中求的值． (2)射击积分规则如下：单次未命中目标得分，单次命中目标得分，若连续命中目标次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍．记射手甲射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条件的有序实数对． 15．（2024·江苏徐州·模拟预测）甲､乙两人进行某项比赛，采取5局3胜制，积分规则如下：比分为或时，胜者积3分，败者积0分；比分为时，胜者积2分，败者积1分.设每局比赛甲取胜的概率均为. (1)若甲以取胜的概率大于以取胜的概率，求的范围； (2)若，求甲所得积分的分布列及数学期望. 16．（2024·江苏连云港·模拟预测）甲、乙两名选手进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若比赛最多进行5局（若打5局，第5局胜者赢得比赛），求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望； (2)若不限比赛局数，求“甲学员赢得比赛”的概率． （参考：已知正项无穷递减等比数列的公比为q，其所有项和） 17．（2024·江苏·三模）某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品” (1)从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率； (2)从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望. 18．（2024·江苏南京·二模）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，以单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.现有如下定义：在维空间中，，两点的曼哈顿距离为 (1)在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率； (2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离 （i）求出的分布列与期望； （ii）证明：随机变量的方差小于. 19．（2024·江苏苏州·模拟预测）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为． (1)求随机变量的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求证：． 20．（2024·江苏南通·三模）“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．） (1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义； (2)若拋掷一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$