专题12 立体几何与空间向量（解答题）-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题12立体几何与空间向量（解答题） 1．【2024年新高考1卷第17题】如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 2．【2024年新高考2卷第17题】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 3．【2023年新课标全国Ⅱ卷第20题】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第18题】如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 5．【2022年新课标全国Ⅰ卷第19题】如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； （2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 6．【2022年新课标全国Ⅱ卷第20题】如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面    （2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为.    7．【2021年新课标全国Ⅰ卷第20题】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 8．【2021年新课标全国Ⅱ卷第19题】在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】 （1）取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 9．【2020年新课标全国Ⅱ卷第20题】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）证明：平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）证明： 在正方形中，， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 因为在四棱锥中，底面是正方形，所以 且平面，所以 因为 所以平面； （2）如图建立空间直角坐标系， 因为，则有， 设，则有， 因为QB=，所以有 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为，则 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于 所以直线与平面所成角的正弦值为. 10．【2020年新课标全国Ⅰ卷第20题】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）证明： 在正方形中，，因为平面，平面， 所以平面，又因为平面，平面平面， 所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以 因为，所以平面． （2）［方法一］【最优解】：通性通法 因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，设， 设，则有， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为，则 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. ［方法二］：定义法 如图2，因为平面，，所以平面． 在平面中，设． 在平面中，过P点作，交于F，连接． 因为平面平面，所以． 又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角． 设，在中，易求． 由与相似，得，可得． 所以，当且仅当时等号成立． ［方法三］：等体积法 如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求． 设，在三棱锥中，． 在三棱锥中，． 由得， 解得， 当且仅当时等号成立． 在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为． 11．【2020年江苏第15题】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【详解】（1）由于分别是的中点，所以. 由于平面,平面，所以平面. （2）由于平面，平面，所以. 由于，所以平面, 由于平面，所以平面平面. 12．【2020年江苏第24题】在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 【答案】（1）（2） 【详解】 （1）连 以为轴建立空间直角坐标系，则 从而直线与所成角的余弦值为 （2）设平面一个法向量为 令 设平面一个法向量为 令 因此 13．【2019年江苏第16题】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1， 所以A1B1∥ED. 又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1， 所以A1B1∥平面DEC1. （2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE. 因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以BE⊥平面A1ACC1. 因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E. 14．【2018年江苏第15题】在平行六面体中，,． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1． 因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C． （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形． 又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1⊥A1B． 又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC． 又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC． 因为AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC． 15．【2018年江苏第25题】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点。 （1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值 【答案】（1） （2） 【详解】如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz． 因为AB=AA1=2， 所以． （1）因为P为A1B1的中点，所以， 从而， 故． 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为． （2）因为Q为BC的中点，所以， 因此，． 设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量， 则即 不妨取， 设直线CC1与平面AQC1所成角为， 则， 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为． 16．【2017年江苏第15题】如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.    求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.    又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC. （2）因为平面ABD⊥平面BCD， 平面平面BCD=BD， 平面BCD，， 所以平面. 因为平面，所以 . 又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC， 所以AD⊥平面ABC， 又因为AC平面ABC， 所以AD⊥AC. 17．【2017年江苏第18题】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度； （2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度. 【答案】（1）16cm.（2）20cm. 【详解】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，. 记玻璃棒的另一端落在上点处. 因为， 所以，从而 ， 记与水面的焦点为,过作P1Q1⊥AC, Q1为垂足， 则 P1Q1⊥平面 ABCD，故P1Q1=12， 从而 AP1= . 答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm. ( 如果将“没入水中部分理解为“水面以上部分，则结果为24cm) （2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，OO1⊥平面 EFGH， 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG. 同理，平面 E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1. 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.学科&网 过G作GK⊥E1G，K为垂足， 则GK =OO1=32. 因为EG = 14，E1G1= 62， 所以KG1= ，从而. 设则. 因为，所以. 在中，由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 于是. 记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则 P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，从而 EP2=. 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 18．【2017年江苏第25题】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°. (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； (2)求二面角B－A1D－A的正弦值． 【答案】(1)．(2)． 【详解】试题解析：解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E. 因为AA1平面ABCD， 所以AA1AE，AA1AD. 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz. 因为AB=AD=2，AA1=，. 则. (1) ， 则. 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为. (2)平面A1DA的一个法向量为. 设为平面BA1D的一个法向量， 又， 则即 不妨取x=3，则， 所以为平面BA1D的一个法向量， 从而, 设二面角B-A1D-A的大小为，则. 因为，所以. 因此二面角B-A1D-A的正弦值为. 19．【2016年江苏第16题】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.    求证：（1）直线DE平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【详解】（1）在直三棱柱中， 在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以，于是， 又因为DE平面平面， 所以直线DE//平面. （2）在直三棱柱中， 因为平面，所以， 又因为， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以. 因为直线，所以 20．【2016年江苏第17题】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.     （1）若则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 【答案】（1）312（2） 【详解】（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8. 因为A1B1=AB=6， 所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积 所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）. （2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0<h<6，OO1=4h.连结O1B1. 因为在中， 所以，即 于是仓库的容积， 从而. 令，得 或（舍）. 当时， ，V是单调增函数； 当时，，V是单调减函数. 故时，V取得极大值，也是最大值. 因此，当m时，仓库的容积最大. 21．【2015年江苏第16题】如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【详解】（1）由题意知，为的中点， 又为的中点，因此． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为棱柱是直三棱柱， 所以平面． 因为平面，所以． 又因为，平面，平面，， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，所以矩形是正方形，因此． 因为，平面，，所以平面． 又因为平面，所以． 22．【2015年江苏第25题】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，. （1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为． （1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，． 因为． 设平面的法向量为，则， 即，令，解得． 所以是平面的一个法向量，从而， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为． （2） 因为，设， 又，则， 又， 从而， 设， 则， 当且仅当，即时，的最大值为． 因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值． 又因为，所以． 1．（2024·江苏苏州·三模）如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点. (1)求证：； (2)求直线和之间的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在正方体中，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 所以，故； （2）因为，，所以， 所以，由题意知，，，不共线，故， 故知点到直线的距离即为两条平行线和之间的距离， 又， 则，，， 设点到直线的距离为，则， 即直线和之间的距离为； （3）因为，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，,所以, , 所以,, 故四棱锥的表面积为 （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,4,， ,4,，，其中， 则， 设平面的法向量为，则， 即令，则平面的法向量， 设到平面的距离为，， 由于，解得， 故， 点到直线的距离为． 3．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台中，，，． (1)记平面与平面的交线为，证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 因为 平面，平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，平面 平面，所以 . （2）在 中， . 由余弦定理得， ，则 ，得 . 又 ，则 .因为 平面 ， 所以，又 ，所以 平面 ， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，得，所以. 又是平面 的一个法向量. 记平面 与平面 的夹角为 ，则 ， 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，点在上，点在上，平面平面．    (1)求证：是的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 平面平面．所以， 又由梯形可得，所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点． （2）连接，由（1）知是的中点，， 故，故， 因为， 所以，故，即， 因为，所以与全等， 所以，即， 又平面，所以平面， 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，    因为，由勾股定理得， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即， 取，则，于是， 由平面平面，平面平面，平面平面． 得， 又是的中点，所以是的中点，． 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，正方形是圆柱的轴截面，已知，点是的中点，点为弦的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点，连结，. 在中，，分别是，的中点， 所以，且. 在正方形中，，且， 又点是的中点，所以，且. 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）解：因为是圆的直径，是的中点，且，所以，且. 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意，，，，，，，. 所以，，. 设是平面的法向量，则即取，得，， 所以是平面的一个法向量. 设是平面的法向量，则即取，得，， 所以是平面的一个法向量. 所以. 设二面角的大小为，据图可知，， 所以二面角的余弦值为. 6．（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）过作于点，由平面平面， 平面平面平面， 平面， 又底面平面， ，平面， 所以底面平面，， 又为的中点； （2）设， ， ， 如图建系，， ， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以， 设直线与平面所成角为， . 7．（2024·江苏宿迁·三模）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面， 因为底面，所以， 由（1）知，，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作交于， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由已知得，取的中点T，连接， 由N为的中点知， ．又，故，且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，建立如图所示的空间坐标系． ， 不妨设， 则， 设平面的一个法向量为， ， 取，则. 设直线与平面所成角为 . 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 9．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，四边形是圆台的轴截面，是圆台的母线，点C是的中点．已知，点M是BC的中点． (1)若直线与直线所成角为，证明：平面； (2)记直线与平面ABC所成角为，平面与平面的夹角为，若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，则四边形是直角梯形. 过作于N，则四边形是矩形，， 连接，，为的中点.又M为的中点， 平面，，平面 又平面，， 在中，， 为的中点， 又，，平面，， 平面又平面， ，，OB，平面，， 平面 （2）以O为原点，直线OC，OB，分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系. 设，则 ，，， ， 设平面的法向量， 则， 取得 ，， 设平面的法向量， 则， 取得 ，解得 在中，， 由（1）知， 10．（2024·河南·三模）如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线． (1)证明：； (2)若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，因为平面ABC，所以． 又平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2）因为，所以当三棱锥体积最大时，最大． 由（1）可知平面，因为面，所以． 又，所以， 当且仅当时取等号，即当最大时，． 法1：综合法 如图，作于，连结AH. 由（1）可知平面，因为面，所以． 又平面，所以平面． 因此，AC与平面所成的角等于． 因为平面平面，所以． 在Rt中，，所以，因此, 在Rt中，． 所以AC与平面所成角的正弦值． 法2：向量法 在平面内，作交于，因为平面ABC，所以平面ABC． 分别以DC，DA，DE为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图.则． 设平面的法向量为，易得， 可取． 因，则， 所以AC与平面所成角的正弦值等于． 11．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）    取中点，连接. 又因为为的中点，所以，且. 在菱形中，，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形. 所以， 又平面平面，所以平面. （2）    连接，由（1）知，四点共面. 在中，为的中点，所以， 因为，所以都是正三角形，在中，，所以， 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （3）由（2）知，都是正三角形，且为的中点， 所以. 由（1）知，，所以， 又平面，所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 因此，得. 在中，，可得. 以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，    则. 所以. 设平面的一个法向量为 则 取，则是平面的一个法向量. 又是平面的一个法向量. 所以. 由图形可知，二面角的余弦值为. 12．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面ABP，平面ABP，，，，平面与平面的交线为．    (1)证明：； (2)若为上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面ABP，平面ABP， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又平面，且平面与平面的交线为， 所以 （2）取的中点，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则   ，，，， 设，（），则， ，， 设平面的一个法向量， 因为 令，则，，即， 设直线与平面所成角为，所以 ， 令，则， 令，则，所以， 函数y在上为增函数，在上为减函数， 所以当时，，即， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值. 13．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在五面体ABCDEF中，，，，平面ABCD，平面平面ABCD，二面角A-DC-F的大小为60°． (1)求证：四边形ABCD是梯形； (2)点P在线段AB上，且，求二面角P-FC-B的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：在五面体中，平面，平面， 平面平面，所以 同理可证，所以且， 所以四边形是梯形. （2）解：取中点，中点，连接, 因为面平面，交线为，平面，， 所以面，所以，， 所以是二面角的平面角，即， 又因为，所以为正三角形， 以为原点，以分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz， 如图所示，设，则，且， 可得，，，， 则，，， 设面的一个法向量为，则， 取，可得，，所以， 设面的一个法向量为，则， 取，可得，，所以， 所以， 所以二面角的平面角的余弦值为. 14．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 取的中点，连接． 因为侧面是菱形，，所以是正三角形， 因为是中点，所以． 因为是中点，，所以， 又因为平面平面， 所以平面． 因为平面，所以． 因为斜三棱柱，所以，所以． （2）因为平面平面，所以平面，因为平面，所以． 又因为平面平面，所以平面． 以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以，， 设平面的一个法向量为， 则即． 取，则，所以． 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，所以． 又， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 15．（2024·江苏南京·二模）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，因为， 所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 在四边形中，因为，，，， 所以，所以， 因为，所以， 所以，，，，，，， ，， 设，则， 设为平面的法向量， 则，即，故取， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 两边同时平方得 所以，解得，或（舍去）， 所以，所以.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题12立体几何与空间向量（解答题） 1．【2024年新高考1卷第17题】如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 2．【2024年新高考2卷第17题】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 3．【2023年新课标全国Ⅱ卷第20题】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第18题】如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 5．【2022年新课标全国Ⅰ卷第19题】如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 6．【2022年新课标全国Ⅱ卷第20题】如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 7．【2021年新课标全国Ⅰ卷第20题】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 8．【2021年新课标全国Ⅱ卷第19题】在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 9．【2020年新课标全国Ⅱ卷第20题】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）证明：平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 10．【2020年新课标全国Ⅰ卷第20题】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 11．【2020年江苏第15题】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 12．【2020年江苏第24题】在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 13．【2019年江苏第16题】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 14．【2018年江苏第15题】在平行六面体中，,． 求证：（1）； （2）． 15．【2018年江苏第25题】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点。 （1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值 16．【2017年江苏第15题】如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.    求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 17．【2017年江苏第18题】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度； （2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度. 18．【2017年江苏第25题】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°. (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； (2)求二面角B－A1D－A的正弦值． 19．【2016年江苏第16题】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.    求证：（1）直线DE平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 20．【2016年江苏第17题】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.     （1）若则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 21．【2015年江苏第16题】如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，. 求证：（1）； （2）. 22．【2015年江苏第25题】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，. （1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长. 1．（2024·江苏苏州·三模）如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点. (1)求证：； (2)求直线和之间的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 3．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台中，，，． (1)记平面与平面的交线为，证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，点在上，点在上，平面平面．    (1)求证：是的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，正方形是圆柱的轴截面，已知，点是的中点，点为弦的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 6．（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 7．（2024·江苏宿迁·三模）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 9．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，四边形是圆台的轴截面，是圆台的母线，点C是的中点．已知，点M是BC的中点． (1)若直线与直线所成角为，证明：平面； (2)记直线与平面ABC所成角为，平面与平面的夹角为，若，求． 10．（2024·河南·三模）如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线． (1)证明：； (2)若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值． 11．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 12．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面ABP，平面ABP，，，，平面与平面的交线为．    (1)证明：； (2)若为上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 13．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在五面体ABCDEF中，，，，平面ABCD，平面平面ABCD，二面角A-DC-F的大小为60°． (1)求证：四边形ABCD是梯形； (2)点P在线段AB上，且，求二面角P-FC-B的余弦值． 14．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 15．（2024·江苏南京·二模）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$