专题11 立体几何与空间向量（选择填空题）-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题11立体几何与空间向量（选择填空题） 1．【2024年新高考2卷第7题】已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 2．【2024年新高考1卷第5题】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 3．【2022年新课标全国Ⅰ卷第4题】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积． 棱台上底面积，下底面积， ∴ ． 故选：C． 4．【2022年新课标全国Ⅱ卷第7题】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    5．【2021年新课标全国Ⅰ卷第3题】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第4题】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ） A．26% B．34% C．42% D．50% 【答案】C 【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为： . 故选：C. 7．【2021年新课标全国Ⅱ卷第5题】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：D. 8．【2020年新课标全国Ⅱ卷第4题】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ） A．20° B．40° C．50° D．90° 【答案】B 【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.. 由于，所以， 由于， 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为. 故选：B 9．【2023年新课标全国Ⅱ卷第9题】已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 【答案】AC 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC.    10．【2023年新课标全国Ⅰ卷第12题】下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 11．【2022年新课标全国Ⅰ卷第9题】已知正方体，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 【答案】ABD 【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：ABD 12．【2022年新课标全国Ⅱ卷第11题】如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得， 又平面，平面，则，又，平面，则平面， 又，过作于，易得四边形为矩形，则， 则，， ，则，，， 则，则，，，故A、B错误；C、D正确. 故选：CD. 13．【2021年新课标全国Ⅰ卷第12题】在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 14．【2021年新课标全国Ⅱ卷第10题】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 15．【2023年新课标全国Ⅱ卷第14题】底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【答案】 【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：. 16．【2023年新课标全国Ⅰ卷第14题】在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【答案】/ 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 17．【2020年新课标全国Ⅱ卷第13题】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为 【答案】 【详解】 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点 所以 故答案为： 18．【2020年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ． 【答案】. 【详解】如图： 取的中点为，的中点为，的中点为， 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以， 因为，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 因为，所以， 所以根据弧长公式可得. 故答案为：. 19．【2020年江苏第9题】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3. 【答案】 【详解】正六棱柱体积为 圆柱体积为 所求几何体体积为 故答案为： 20．【2019年江苏第9题】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 . 【答案】10. 【详解】因为长方体的体积为120， 所以， 因为为的中点， 所以， 由长方体的性质知底面， 所以是三棱锥的底面上的高， 所以三棱锥的体积. 21．【2018年江苏第10题】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．    【答案】 【详解】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为 22．【2017年江苏第6题】如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是 【答案】 【详解】设球半径为，则．故答案为． 23．【2015年江苏第9题】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ． 【答案】 【详解】由体积相等得： 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 2．（2024·江苏南京·二模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令外接球的半径为，依题意，，， 过点作，则，所以， 又，所以， 所以圆台的侧面积， 球的表面积， 所以圆台的侧面积与球的表面积之比为. 故选：C 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）对球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，所得三弧围成的球面部分称为“球面三角形”，这三个弧叫做球面三角形的边.若半径为2的球的球面上有一个各边长均为的球面三角形，则该球面三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球面三角形. 因为球的半径为2，所以大圆周长为，求的表面积为. 因为球面三角形的各边长均为，所以. 以为球心，建立如图空间直角坐标系： 则球面三角形的面积就是球面在第一卦限内的部分，根据对称性，球面三角形的面积为球面面积的，为. 故选：A 4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， 设球的半径为，线段的中点为，因为， 所以，解得， 设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离， 则，要截面面积最小，则要最小，即要最大， 因为当为点到的距离时最大，此时，又， 所以， 所以， 故截面面积的最小值为． 故答案为：． 故选：A 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）现有一个表面积为的实心球，若将其打磨成一个圆锥，则圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，设球的半径为，球心为， 因为球的表面积为，可得，可得， 设打磨成的圆锥的高为，底面半径为，底面圆心为，如下图示， 在直角中，可得，即，可得， 则圆锥的体积为， 设其中，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也时最大值，最大值为. 故选：C.    6．（2024·江苏盐城·一模）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    因为球O与圆台的上下底面和侧面都相切， 圆台上下底面半径分别为、，且， 由切线长定理有圆台的母线长为， 设球O的半径为R，几何体轴截面上右端点为，下右端点为， 过点作于，则圆台的高，， 则由勾股定理有，化简得， 因为球O与圆台的体积分别为和， 所以， 因为，所以， 令，，由对勾函数可知，时，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为. 故选：D. 7．（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示：    则，设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则．于是， 则点到平面距离之和为， 设，则，， 因为，所以，所以， 函数开口向上，对称轴为，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为. 故选：B 8．（2024·江苏无锡·模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为圆锥高，为圆锥母线长   以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则， 在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 9．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，在中，，，， 由余弦定理可得，所以， 由正弦定理可得外接圆半径， 设此圆圆心为，球心为，在中，，易得球半径， 故此球的表面积为． 故选：A． 10．（2024·江苏·二模）正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】D 【详解】由题意可得球心在，设与的交点为， 于M， 由题意可得， 所以为两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为， 所以，，设外接球的 半径为,球心到平面的距离为, 则， 设的边长为，由正三角形的性质， 所以，， , 所以 所以 ，所以，故当时，最大， 此时. 故选：D. 11．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切， ，则，则， 过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则， 则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，    即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为. 故选：D. 12．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取中点，中点，连接，，， 因是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面，平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面，则，， ，平面，则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形， 设，又，，则球的半径， 又四棱锥的表面积为， 由，解得， ，， 所以. 故选：C. 13．（2024·江苏连云港·模拟预测）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，CD，的中点，则（    ） A． B．平面EFG截正方体所得到的截面面积是 C．直线AB和直线与平面EFG所成的角相等 D．点E到平面BFG的距离为 【答案】AC 【详解】以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 对于A，因为正方体中E，F分别为棱，CD的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 又，所以，故A正确； 对于B，由平面的基本性质，平面EFG截正方体所得到的截面如图所示为正六边形， 正六边形边长为，面积为，故B错误； 对于C，设平面EFG的一个法向量为，则，， 取，则，而，， ，， 所以直线AB和直线与平面EFG所成的角相等，故C正确； 对于D，，设平面BFG的一个法向量为， 则，，取，则， 点E到平面BFG的距离为，故D错误. 故选：AC. 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）在正方体中，P为线段上的动点，则（   ） A．平面 B．平面 C．直线AP与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【详解】 对于选项A，，四边形是平行四边形，平面，平面，平面； ，四边形是平行四边形，平面，平面，平面； 又，且平面，平面， 所以平面平面，而为线段上的动点，平面， 平面，A正确； 对于选项B，平面，平面，， ，，平面，平面， 而平面，， 同理可证，，又，平面， 平面，B正确； 对于选项C，，直线与所成角即直线与所成角， 在中，当点与或重合时，直线与所成角取到最小值， 当点在线段中点时，直线与所成角取到最大值， 所以直线与所成角的取值范围为，故C错误. 对于选项D， 三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 由选项A可得，平面，平面平面， 则到平面的距离为定值，又底面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，D正确； 故选：ABD. 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）在四棱锥P−ABCD中，，正方形ABCD的边长为2，平面ABCD，则下列选项正确的是（    ） A．该四棱锥的外接球表面积为 B．若点E为PA的中点，则平面PDC C．若点Q在内（含边界），且，则BQ长度的最大值为 D．若点M在正方形ABCD内（不含边界），且，则四棱锥P−AMCD的体积的最大值为 【答案】ACD 【详解】 对于A，由已知将四棱锥P−ABCD补形为正方体，则该四棱锥的外接球的半径即为棱长为2的正方体的体对角线长， 所以，则，所以外接球表面积为，故A正确； 对于B，取中点，连接，则且， 又且，所以且，所以四边形是平行四边形， 则，又平面PDC，平面PDC，所以平面PDC， 又，所以共面， 由，所以与平面不平行，故B错误； 对于C，由已知，，得， 所以，则点Q的轨迹为线段的中垂线，当Q为中点时，BQ最大， 此时，故C正确； 对于D，由已知，点M在正方形ABCD内（不含边界），， 所以点M的轨迹为以D为圆心，2为半径的个圆弧， 要使四棱锥P−AMCD的体积最大，则需四边形的面积最大， 当M在中点时四边形的面积最大， 此时， 所以四棱锥P−AMCD的体积的最大值为,故D正确. 故选：ACD. 16．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图1，在中，是的中位线，沿将进行翻折，连接得到四棱锥（如图2），点为的中点，在翻折过程中，下列结论正确的是（    ） A．直线与平面所成角为定值 B．直线与平面所成角为定值 C．平面与平面所成角可能为 D．平面与平面所成角可能为 【答案】ABD 【详解】A选项：取中点设为，连结因为为中点，则为的中位线，则， 又是的中位线，则则四边形为平行四边形，则又面， 面则面则直线与平面所成角为定值，故A选项对. B选项：在图2中平面，所以平面， 由A选项知，，故平面，又则 又面面则又面则面 又则面故直线与平面所成角为定值，故B选项对， C选项：由二面角的定义可知为平面与平面所成角的平面角，假设与矛盾，平面与平面所成角不可能为故C选项错误. D选项：由设平面与平面所成角为，由面积投影法知； 若平面与平面所成角可能为 则，即因为所以符合题意，所以平面与平面所成角可能为故选项D正确. 故选：ABD. 17．（2024·江苏南京·二模）在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则三棱锥外接球的表面积为 B．若，则异面直线与所成角的余弦值为 C．若，则面积的最小值为 D．若存在实数使得，则的最小值为 【答案】AD 【详解】A：由题意，与重合， 故三棱锥的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同， 故半径，表面积为，故对； B：以为原点建系，，，，，， 由，所以， ，，，故B错； C：由得，在线段上运动，设在底面的投影为，连接， 由于，所以，故， 连接相交于，连接， ，当重合时取等号，故C错；    D：由 得，，，， 由可得， 所以，，， 当时，，故D正确. 故选：AD. 18．（2024·江苏泰州·模拟预测）在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（    ） A．存在点和实数，使得 B．三棱锥体积的最大值为 C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为 D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为 【答案】BC 【详解】方法一： 对于A， 取中点，中点，连接，， 正三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面，平面，，而为的重心， ，到平面的距离为，而到平面的距离为， 球与平面相离，则不存在这样的和实数，使，A错． 对于B，到平面的距离为，球半径，则到平面的最大距离为， ，B正确． 对于C，设为球的的上顶点，平面于点，与球相切且与平面共面， ，， 设，则有，得， ，C正确． 对于，过且与垂直的平面为平面， 到平面的距离等于倍的到平面的距离，即， 而球半径，则平面截球的截面圆半径， 所以截面圆周长即的轨迹长度为，D错. 故选：BC． 方法二： 对于A，如图： 左图中为中点，为在平面上的投影． 右图为俯视图下看的球，由于为重心，在俯视图看来就是正三角形的中心， 所以球实际上与三个侧面均相切，则易得半径． 而，因此球与底面不相交，因此是错的； 对于B，有，正确； 对于C，作出平面的截面如下图： 当最大时的位置如上图所示，不难计算出， 所以， 那么此时，所以C正确； 对于D，轨迹即过B且垂直于的平面与球的交线圆，而， 此式右边是球面上的大圆的周长，所以是不可能的，所以D错． 故选：BC． 19．（2024·江苏盐城·一模）已知直四棱柱，，底面是边长为1的菱形，且，点E，F，G分别为，，的中点，点H是线段上的动点（含端点）.以为球心作半径为R的球，下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值的最小值为 B．存在点H，使得平面 C．当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线 D．在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为 【答案】ABC 【详解】A选项，连接，因为底面是边长为1的菱形，且， 所以为等边三角形， 因为为的中点， 所以，故， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 故，，， 设，， 则，， 设直线与直线所成角的大小为， 则， 令， 故， 因为， 所以当时，取得最大值， 最大值为，此时， 因为在上单调递减， 在上单调递增， 故直线与直线所成角的正切值的最小值为，故A正确； B选项，取，，的中点，，， 连接，，，，，， 由平行关系可知，过，，三点的平面截直四棱柱， 得到的截面为六边形， 当与重合时，平面，平面. 所以平面，故B正确； C选项，连接，则，， 如图，当时，直四棱柱截球体下半部分的， 球与直四棱柱四个侧面都有一段圆弧状交线， 截面如下： 故C正确； D选项，球外放置一个小球O，当小球O与四个侧面均相切时，小球O体积最大， 此时小球O在底面上的射影刚好与菱形相切， 故小球O的半径为，底面的中心为，⊥平面， 其中，， 故，因为， 则， 故球直径的最大值为，故D错误. 故选：ABC. 20．（2024·江苏南通·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在底面内运动（含边界），则（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是的中点 C．若在棱上运动（含端点），则点到直线的距离最小值为 D．若与重合时，四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】A选项，如图，取的中点，连接， 因为点是棱的中点，所以且， 又是棱的中点，所以且， 故且， 故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 当是的中点时，， 故，， 故， 故与不垂直，故与平面不垂直，B错误； C选项，若在棱上运动（含端点），设， ， 点到直线的距离， 因为，所以当时，， 则点到直线的距离最小值为，C正确； D选项，连接，则， 其中， ， 故⊥，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 又三角形为等边三角形，设交平面于点， 其中，，， 由于，故，点为的中心， 故四面体的外接球的球心在上， 设球心为O，则，故， 根据得， 解得， 外接球半径为， 故表面积为. 若与重合时，四面体的外接球的表面积为，D正确. 故选：ACD 21．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（    ） A．平面平面 B．点到平面的距离为8 C．当时，水面的形状是四边形 D．当时，所装的水的体积为 【答案】ABD 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则, 因为静止时水面与表面的交线与的夹角为0，所以平面， 设平面的法向量为，， 点到平面的距离为，， ，而， 令，所以平面的法向量为， 对A，，，，， 故平面， 所以平面的法向量为，又， 所以平面平面，故A正确； 对B，，所以到平面的距离为，故B正确； 对C，因为，所以，当时，截面为六边形，故C错误； 对D，当时，设水面与的交点分别为，设，则， 则，，故， 设水面与交点为，所以， ，此时过作交于点，连接， 设的面积为,的面积为，则，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD 22．（2024·江苏无锡·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与平面所成的角相等 B． C．二面角的大小可能为 D．若，则球的表面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，取的中点，因为，所以点是的外心， 连接，则平面， 因为是的中点，所以，所以平面， 点是是的中点，，所以， 又，所以，所以，故A正确；    对于B，， ， ，故B正确； 对于C，因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 做，交于点， ，平面， 所以平面，平面，所以， 所以即为的平面角，若， 则，而在直角三角形中，斜边， 这是不可能的，故C错误；      对于D，若，则，， 所以，外接球半径， ，故D正确.    故选：ABD． 23．（2024·江苏苏州·三模）在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（    ）    A．点的轨迹长为 B．的最小值为 C． D．三棱锥体积的最小值为 【答案】BC 【详解】对于A：由可知，点在以为球心，1为半径的球上， 又由可知，点在平面上，所以点为球面与平面的交线， 如图（2）所示，在矩形中，以为圆心，1为半径的半圆， 所以点的轨迹长为，故A错误； 对于B：由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，此时点位于半圆弧中点，投影长为， 所以，故B正确； 对于C：因为平面，平面， 所以，故C正确； 对于D：因为平面， 所以点到平面平面的距离为，则， 由图（2）可知当点位于半圆弧中点时，的面积最小为， 所以，故D错误； 故选：BC.    24．（2024·江苏南通·二模）已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为 . 【答案】/ 【详解】如图， ，则两两垂直. 作，垂足分别为，连接， 则， 所以为与的所成角，为与的所成角， 即，， 建立如图空间直角坐标系，设， 则，得， ，所以，取， 则，又， 所以，即与所成的角为. 故答案为： 25．（2024·江苏南通·模拟预测）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 【答案】 五/5 / 【详解】过作的平行线交于，交于，连接，交于，连接，则直线与直线共面，且点， 则点也在直线与直线确定的面上， 所以可得五边形为平面截该长方体所得的截面， 如图：为中点，为中点，明显有， 所以，所以为靠近的四等分点， 又，且为中点，所以 又，所以，即为靠近的三等分点， 所以， ，， ，， ， 所以，， ， 所以截面面积为. 故答案为：五；. 26．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为 ． 【答案】 【详解】在平面直角坐标系中，过点作于点， 可知， 沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后， 仍有， 则， 由， 可得， 即， 即， 可得． 故答案为： 27．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知是球上的三个动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为 ． 【答案】 【详解】 设球的半径为， （当时取等号）， 又， 当平面时，，， 球的体积. 故答案为：. 28．（2024·江苏南通·二模）若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为 ，该十面体的外接球的表面积为 . 【答案】 / 【详解】正四棱锥的所有棱长为2，点是所在棱的中点，如图， 显然，即有，则正四棱锥的高为， 于是， 到平面的距离， 所以所求十面体的体积为； 令，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，则， ，设外接球球心，半径， 则，因此，解得， 所以十面体的外接球的表面积为. 故答案为：； 29．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知长方体的表面积为8，所有棱长和为16，则长方体体积的最大值为 . 【答案】 【详解】设该长方体的长、宽、高分别为、、， 由长方体的对称性，不妨设， 则有，即， ，即， 则 即， 即， 即， 令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 即长方体体积的最大值为. 故答案为：. 30．（2024·江苏·模拟预测）已知一个顶点为，底面中心为的圆锥的体积为，该圆锥的顶点和底面圆周均在球上.若圆锥的高为3，则球的半径为 ；球的体积的最小值是 . 【答案】 3 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，球的半径为， 有，即， 由圆锥的顶点和底面圆周均在球上， 则圆锥轴截面外接圆半径与球的半径相同， 有，整理得， 若，则； 令，， 则当，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则. 故答案为：3；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题11立体几何与空间向量（选择填空题） 1．【2024年新高考2卷第7题】已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．【2024年新高考1卷第5题】已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．【2022年新课标全国Ⅰ卷第4题】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ） A． B． C． D． 4．【2022年新课标全国Ⅱ卷第7题】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．【2021年新课标全国Ⅰ卷第3题】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第4题】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ） A．26% B．34% C．42% D．50% 7．【2021年新课标全国Ⅱ卷第5题】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 8．【2020年新课标全国Ⅱ卷第4题】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ） A．20° B．40° C．50° D．90° 9．【2023年新课标全国Ⅱ卷第9题】已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 10．【2023年新课标全国Ⅰ卷第12题】下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 11．【2022年新课标全国Ⅰ卷第9题】已知正方体，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 12．【2022年新课标全国Ⅱ卷第11题】如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 13．【2021年新课标全国Ⅰ卷第12题】在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 14．【2021年新课标全国Ⅱ卷第10题】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 15．【2023年新课标全国Ⅱ卷第14题】底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 16．【2023年新课标全国Ⅰ卷第14题】在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 17．【2020年新课标全国Ⅱ卷第13题】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为 18．【2020年新课标全国Ⅰ卷第16题】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ． 19．【2020年江苏第9题】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3. 20．【2019年江苏第9题】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 . 21．【2018年江苏第10题】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．    22．【2017年江苏第6题】如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是 23．【2015年江苏第9题】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ． 1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·二模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）对球面上的三个点，每两个点之间用大圆劣弧相连接，所得三弧围成的球面部分称为“球面三角形”，这三个弧叫做球面三角形的边.若半径为2的球的球面上有一个各边长均为的球面三角形，则该球面三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）现有一个表面积为的实心球，若将其打磨成一个圆锥，则圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏盐城·一模）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏无锡·模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（    ）． A． B． C． D． 10．（2024·江苏·二模）正三棱锥和正三棱锥Q-ABC共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（    ） A． B． C．-1 D． 11．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏连云港·模拟预测）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，CD，的中点，则（    ） A． B．平面EFG截正方体所得到的截面面积是 C．直线AB和直线与平面EFG所成的角相等 D．点E到平面BFG的距离为 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）在正方体中，P为线段上的动点，则（   ） A．平面 B．平面 C．直线AP与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积为定值 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）在四棱锥P−ABCD中，，正方形ABCD的边长为2，平面ABCD，则下列选项正确的是（    ） A．该四棱锥的外接球表面积为 B．若点E为PA的中点，则平面PDC C．若点Q在内（含边界），且，则BQ长度的最大值为 D．若点M在正方形ABCD内（不含边界），且，则四棱锥P−AMCD的体积的最大值为 16．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图1，在中，是的中位线，沿将进行翻折，连接得到四棱锥（如图2），点为的中点，在翻折过程中，下列结论正确的是（    ） A．直线与平面所成角为定值 B．直线与平面所成角为定值 C．平面与平面所成角可能为 D．平面与平面所成角可能为 17．（2024·江苏南京·二模）在棱长为1的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则三棱锥外接球的表面积为 B．若，则异面直线与所成角的余弦值为 C．若，则面积的最小值为 D．若存在实数使得，则的最小值为 18．（2024·江苏泰州·模拟预测）在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（    ） A．存在点和实数，使得 B．三棱锥体积的最大值为 C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为 D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为 19．（2024·江苏盐城·一模）已知直四棱柱，，底面是边长为1的菱形，且，点E，F，G分别为，，的中点，点H是线段上的动点（含端点）.以为球心作半径为R的球，下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值的最小值为 B．存在点H，使得平面 C．当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线 D．在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为 20．（2024·江苏南通·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在底面内运动（含边界），则（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是的中点 C．若在棱上运动（含端点），则点到直线的距离最小值为 D．若与重合时，四面体的外接球的表面积为 21．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（    ） A．平面平面 B．点到平面的距离为8 C．当时，水面的形状是四边形 D．当时，所装的水的体积为 22．（2024·江苏无锡·模拟预测）在平面四边形中，，将沿折起，使到达点的位置．已知三棱锥的外接球的球心恰是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与平面所成的角相等 B． C．二面角的大小可能为 D．若，则球的表面积为 23．（2024·江苏苏州·三模）在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（    ）    A．点的轨迹长为 B．的最小值为 C． D．三棱锥体积的最小值为 24．（2024·江苏南通·二模）已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为 . 25．（2024·江苏南通·模拟预测）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 26．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为 ． 27．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知是球上的三个动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为 ． 28．（2024·江苏南通·二模）若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为 ，该十面体的外接球的表面积为 . 29．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知长方体的表面积为8，所有棱长和为16，则长方体体积的最大值为 . 30．（2024·江苏·模拟预测）已知一个顶点为，底面中心为的圆锥的体积为，该圆锥的顶点和底面圆周均在球上.若圆锥的高为3，则球的半径为 ；球的体积的最小值是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$