专题08 平面向量-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题08平面向量 1．【2024年新高考2卷第3题】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 2．【2024年新高考1卷第3题】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第3题】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 4．【2022年新课标全国Ⅰ卷第3题】在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第4题】已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 6．【2020年新课标全国Ⅱ卷第3题】在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C 7．【2020年新课标全国Ⅰ卷第7题】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 8．【2023年新课标全国Ⅱ卷第13题】已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 9．【2021年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知向量，，， ． 【答案】 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 10．【2020年江苏第13题】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．    【答案】或0 【详解】∵三点共线， ∴可设， ∵， ∴，即， 若且，则三点共线， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 11．【2019年江苏第12题】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 . 【答案】. 【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD. ， 得即故. 12．【2018年江苏第12题】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为 ． 【答案】3 【详解】［方法一］：【通性通法】直译法 设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标 所以.所以， 由得 即，解得：或，因为，所以 故答案为：3． ［方法二］：【最优解】几何法 如图3，因为为直径，所以，，．    设，则， 所以，即． 所以，A点的坐标为，则点A的横坐标为3． ［方法三］： 数形结合 如图4，由已知，得，则，所以的方程为．    由解得． 设，则，从而． 所以，解得或． 又，所以．即点A的横坐标为3． ［方法四］：数形结合＋斜率公式 由，得，又C是的中点，所以． 又，所以．设直线l的倾斜角为，则，从而． 设，则，解得．即点A的横坐标为3． ［方法五］： 数形结合＋解三角形 由方法四，知，则． 在中，． 在等腰中，． 设，则，解得或． 又，所以．即点A的横坐标为3． ［方法六］：数形结合＋解三角形 设直线l的倾斜角为，则，则． 由方法四知，于是． 在中，由正弦定理知，解得， 故点A的横坐标为． ［方法七］：数形结合＋解三角形 因为D为以为直径的圆C上一点，所以，C为的中点． 因为，所以，为等腰直角三角形，即． 在中，． 又，所以． 因为A在第一象限，所以． 又，所以． 13．【2017年江苏第12题】在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则 ．    【答案】 【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为. 14．【2016年江苏第13题】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .            【答案】 【详解】因为， ， 因此， 15．【2015年江苏第6题】已知向量=，=, 若m+n=(), 则的值为______. 【答案】 【详解】由题意得： 16．【2015年江苏第14题】设向量，则的值为 【答案】 【详解】 因为的周期皆为，一个周期的和皆为零， 因此. 1．（2024·河南·三模）已知向量，向量在上的投影向量为，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由向量，可得， 因向量在上的投影向量为， 由题意，，解得. 故选：A. 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）中，若，则（    ） A．54 B．27 C．9 D． 【答案】A 【详解】在中，若，由正弦定理得， 所以. 故选：A 3．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由可得 ， 因，故时，，即的最小值为. 故选：B． 4．（2024·江苏盐城·一模）已知向量，满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：由，可得，① 由，可得， 整理得， 代入①得， 解得 故选：D. 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，因则,即（*）， 又,,代入（*）得，, 即，因三点共线，故，解得，. 故选：B. 6．（2024·山东日照·模拟预测）已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】和的夹角是锐角，则且和不同向共线， 故且， 解得且， 由推不出且，故充分性不成立， 由且推得出，故必要性成立， 所以是和的夹角是锐角的必要不充分条件. 故选：B 7．（2024·江苏南京·模拟预测）已知、均为单位向量，且，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即. ， 则， 因为，所以与的夹角大小为. 故选：C 8．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 则，所以与的夹角等于. 故选：D 9．（2024·江苏泰州·模拟预测）若，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 所以， 设与的夹角为， 所以，又，所以. 故选：A 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，即，解得， 设与的夹角为，则，又，所以， 即与的夹角等于. 故选：B 11．（2024·江苏南京·二模）分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 易知为的中位线，且，所以的边长为2， 结合投影可知，，故. 故选:D. 12．（2024·江苏·模拟预测）已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 即，整理可得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B. 13．（2024·江苏苏州·三模）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【详解】由题意可得，所以，即， 所以①， 因为，所以，即， 所以②， ①②可得，即 又在方向上的投影向量为单位向量， 则，即，解得， 则，代入②中可得，解得. 故选：B 14．（2024·江苏南京·模拟预测）向量在向量上的投影为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，即， 又，则，即， 所以，则. 故选：． 15．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】因为，都是单位向量，所以， 所以，即，故A正确； 在方向上的投影向量为，故B正确； 若，则，即，即， 因为，所以，故C错误； 若，则， 所以，即，故D错误. 故选：AB 16．（2024·江苏南通·二模）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题设可得，故， 而，与夹角，故，故， 对于A，，因，故，故A正确. 对于B，，因，故，故B错误. 对于C，，因，故，故C错误. 对于D，，因，故，故D错误. 故选：AD. 17．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】对A，设，根据有， 即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误； 对B， ，则转化为求圆上的点到的距离最大值， 为，故B正确； 对C，，因为，故，故C正确； 对D，因为，故， 又因为，故， ， 故当时，取最小值取最小值，故D正确. 故选：BCD 18．（2024·江苏盐城·一模）定义平面斜坐标系，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为 【答案】AD 【详解】对于A，，，则， ，A正确； 对于B，，，则， ，显然，则，B错误； 对于C，，，由选项A同理得， 即，， ，C错误； 对于D，设以O为圆心、半径为1的圆上任意一点为， 由，得，于是， 由，得，即，D正确. 故选：AD 19．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 ． 【答案】 【详解】设, 则，. 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系, 则，, 所以. 令，，则，. 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以在上的值域为， 所以. 故答案为：. 20．（2024·江苏苏州·二模）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】以A为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，，与的夹角为， ， 由于，故， 所以， 因为为的中点，，所以在以为圆心，半径为1的圆上， 设， 则，， 得， 所以当，即时，最大，最大值为， 此时，则． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题08平面向量 1．【2024年新高考2卷第3题】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 2．【2024年新高考1卷第3题】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．【2023年新课标全国Ⅰ卷第3题】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．【2022年新课标全国Ⅰ卷第3题】在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第4题】已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 6．【2020年新课标全国Ⅱ卷第3题】在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 7．【2020年新课标全国Ⅰ卷第7题】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．【2023年新课标全国Ⅱ卷第13题】已知向量，满足，，则 ． 9．【2021年新课标全国Ⅱ卷第15题】已知向量，，， ． 10．【2020年江苏第13题】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．    11．【2019年江苏第12题】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 . 12．【2018年江苏第12题】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为 ． 13．【2017年江苏第12题】在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则 ．    14．【2016年江苏第13题】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .            15．【2015年江苏第6题】已知向量=，=, 若m+n=(), 则的值为______. 16．【2015年江苏第14题】设向量，则的值为 1．（2024·河南·三模）已知向量，向量在上的投影向量为，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）中，若，则（    ） A．54 B．27 C．9 D． 3．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024·江苏盐城·一模）已知向量，满足，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东日照·模拟预测）已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（2024·江苏南京·模拟预测）已知、均为单位向量，且，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏泰州·模拟预测）若，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏南京·二模）分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（    ） A． B．2 C． D． 12．（2024·江苏·模拟预测）已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏苏州·三模）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（    ） A．4 B． C． D．6 14．（2024·江苏南京·模拟预测）向量在向量上的投影为，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 16．（2024·江苏南通·二模）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 18．（2024·江苏盐城·一模）定义平面斜坐标系，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为 19．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 ． 20．（2024·江苏苏州·二模）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$