专题05 导数及其应用（解答题）-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题05导数及其应用（解答题） 1．【2024年新高考1卷第18题】已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 2．【2024年新高考2卷第16题】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 3．【2023年新课标全国Ⅱ卷第22题】（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见详解（2） 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第19题】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 5．【2022年新课标全国Ⅰ卷第22题】已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）的定义域为，而， 若，则，此时无最小值，故. 的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上，. （2）[方法一]： 由（1）可得和的最小值为. 当时，考虑的解的个数、的解的个数. 设，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以， 而，， 设，其中，则， 故在上为增函数，故， 故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2. 设，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以， 而，， 有两个不同的零点即的解的个数为2. 当，由（1）讨论可得、仅有一个解， 当时，由（1）讨论可得、均无根， 故若存在直线与曲线、有三个不同的交点， 则. 设，其中，故， 设，，则， 故在上为增函数，故即， 所以，所以在上为增函数， 而，， 故上有且只有一个零点，且： 当时，即即， 当时，即即， 因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点， 故， 此时有两个不同的根， 此时有两个不同的根， 故，，， 所以即即， 故为方程的解，同理也为方程的解 又可化为即即， 故为方程的解，同理也为方程的解， 所以，而， 故即. [方法二]： 由知，，， 且在上单调递减，在上单调递增； 在上单调递减，在上单调递增，且 ①时，此时，显然与两条曲线和 共有0个交点，不符合题意； ②时，此时， 故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； ③时，首先，证明与曲线有2个交点， 即证明有2个零点，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 令，则， 所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为 其次，证明与曲线和有2个交点， 即证明有2个零点，， 所以上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 令，则， 所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为 再次，证明存在b，使得 因为，所以， 若，则，即， 所以只需证明在上有解即可， 即在上有零点， 因为，， 所以在上存在零点，取一零点为，令即可， 此时取 则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点， 最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列， 因为 所以， 又因为在上单调递减，，即，所以， 同理，因为， 又因为在上单调递增，即，，所以， 又因为，所以， 即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 6．【2022年新课标全国Ⅱ卷第22题】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为. (2) (3)见解析 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 7．【2021年新课标全国Ⅰ卷第22题】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. 【详解】(1)的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， (2)[方法一]：等价转化 由得，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， ①令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． [方法二]【最优解】：变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设． 由（1）知，先证． 要证： ． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． [方法三]：比值代换 证明同证法2．以下证明． 不妨设，则， 由得，， 要证，只需证，两边取对数得， 即， 即证． 记，则. 记，则， 所以，在区间内单调递减．，则， 所以在区间内单调递减． 由得，所以， 即． [方法四]：构造函数法 由已知得，令， 不妨设，所以． 由（Ⅰ）知，，只需证． 证明同证法2． 再证明．令． 令，则． 所以，在区间内单调递增． 因为，所以，即 又因为，所以， 即． 因为，所以，即． 综上，有结论得证． 8．【2021年新课标全国Ⅱ卷第21题】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析. 【详解】（1）. （2）设， 因为，故， 若，则，故. ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根， 综上，若，则. 若，则，故. 此时，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且. 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，. （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 9．【2021年新课标全国Ⅱ卷第22题】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： ， 当时，， 取，则， 即：， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 10．【2020年新课标全国Ⅱ卷第22题】已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 11．【2019年江苏第19题】设函数，为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 【答案】（1）； （2）的极小值为 （3）见解析. 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以，解得． （2）因为， 所以， 从而．令，得或． 因为，都在集合中，且， 所以． 此时，． 令，得或．列表如下： 1 + 0 – 0 + 极大值 极小值 所以的极小值为． （3）因为，所以， ． 因为，所以， 则有2个不同的零点，设为． 由，得． 列表如下： + 0 – 0 + 极大值 极小值 所以的极大值． 解法一： ．因此． 解法二： 因为，所以． 当时，． 令，则． 令，得．列表如下： + 0 – 极大值 所以当时，取得极大值，且是最大值，故． 所以当时，，因此． 12．【2018年江苏第19题】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”； （2）若函数与存在“点”，求实数的值； （3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，使函数与在区间内存在“点”． 【详解】（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2． 由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得 ，此方程组无解， 因此，f（x）与g（x）不存在“S”点． （2）函数，， 则． 设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得 ，即，（*） 得，即，则． 当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点． 因此，a的值为． （3）对任意a>0，设． 因为，且h（x）的图象是不间断的， 所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0． 函数， 则． 由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得 ，即（**） 此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”． 因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”． 13．【2017年江苏第20题】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b²>3a; （3）若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围． 【答案】（1），定义域为.（2）见解析（3）. 【详解】（1）由，得. 当时，有极小值. 因为的极值点是的零点. 所以，又，故. 因为有极值，故有实根，从而，即. 时，，故在R上是增函数，没有极值； 时，有两个相异的实根，. 列表如下 x + 0 – 0 + 极大值 极小值 故的极值点是. 从而， 因此，定义域为. （2）由（1）知，. 设，则. 当时，，从而在上单调递增. 因为，所以，故，即. 因此. （3）由（1）知，的极值点是，且，. 从而 记，所有极值之和为， 因为的极值为，所以，. 因为，于是在上单调递减. 因为，于是，故. 因此a的取值范围为. 14．【2015年江苏第19题】已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值. 【答案】（1）当时， 在上单调递增； 当时， 在，上单调递增，在上单调递减； 当时， 在，上单调递增，在上单调递减． （2） 【详解】（1），令，解得，． 当时，因为（），所以函数在上单调递增； 当时，时，，时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，时，，时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个 零点等价于，从而或． 又，所以当时，或当时，． 设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是 ，则在上，且在上均恒成立， 从而，且，因此． 此时，， 因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根， 所以，且， 解得． 综上． 1．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2），令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而. 故，从而当时，当时. 故在上递增，在上递减，所以具有最大值. 所以命题等价于，即. 所以的取值范围是. （2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有. 在的范围内定义函数. 则，所以单调递增. 这表明时，即. 又因为，且和都大于， 故由在上的单调性知，即. 3．（2024·江苏南京·二模）已知函数，为的导函数. (1)若，求证：； (2)若对任意，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 此时，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立； 即 （2）易知, ①因为，若或，则，，所以在上单调递增， 所以，所以或； ②若，则由，得，列表： 0 所以，所以； ③若，则，，所以在上递减， 所以，此时无解； 综上，的取值范围. 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）， 在上单调递增，在上恒成立且满足的点不连续． 当时，．由在上单调递减可知， 当时，，， 综上，的取值范围为 （2）当时，， 且， 下面证明， 即证明，等价于证明：， 设，所证即为：， 等价于证明：， 设函数． 在上单调递增，而， ，所证不等式成立． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，， 则，又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，有，所以， 因为， 所以. 令， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 故. 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，且． 当时，恒成立， 所以在区间上单调递增； 当时，令，解得， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）当时，因为，所以要证，只要证明即可， 即要证，等价于（*）． 令，则， 在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增， 所以，所以（当且仅当时等号成立）， 所以（*）成立，当且仅当时，等号成立． 又在上单调递增，， 所以存在，使得成立． 综上所述，原不等式成立． 7．（2024·江苏南通·二模）已知函数，，. (1)求函数的单调区间； (2)若且恒成立，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【详解】（1）（）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 8．（2024·江苏·三模）已知函数. (1)若，求的极小值； (2)若是单调函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，， 令，由，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 故的极小值为； （2）， 若在上单调递增，则恒成立， 即对恒成立，则恒成立，又，故， 若在上单调递减，则恒成立， 即对恒成立，则恒成立，故， 综上所述，的取值范围为. 9．（2024·江苏·模拟预测）已知函数在处的切线经过原点. (1)判断函数的单调性； (2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以切点为. 因为，所以， 所以切线方程为. 因为切线经过原点，所以，所以. 由定义域为，故， 所以在上单调递增. （2）设（）， 则. 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且， 因为，且当时，单调递减，所以 所以当时，， 所以函数在时没有零点， 所以当时，函数的图象与直线没有交点. 当时，，单调递增， 又因为，且函数的图象是不间断的， 所以当时，函数有且只有一个零点， 函数的图象与直线有且只有一个交点. 综上所述，函数的图象与直线有且只有一个交点. 10．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若求在区间上的极值点的个数． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1） 当时 切点为切线的斜率为所以切线方程为． （2）设 则 当时，有所以在上单调递减，即在上单调递减， 因为 所以且在上的图象是不间断的， 所以在上没有零点， 所以当时在区间上的极值点的个数为0． 11．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； (2)若函数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，函数的定义域为， 所以， 由曲线在处的切线的方程为，得， 所以， 设，， 所以函数是上的递增函数，又， 所以方程有唯一解， 所以，， 所以切点坐标为，代入直线方程得． （2），定义域为， ， 设，所以， 所以在上递减，又，， 所以当时，，即，函数递增， 当时，，即，函数递减， 所以函数的最大值 ， 又， 所以， 所以， 因为恒成立，即恒成立， 设，则，所以递增， 所以，即恒成立， 因为在上递减，且， 所以只需恒成立，即， 又，所以． 12．（2024·江苏苏州·三模）已知函数. (1)时，求的零点个数; (2)若恒成立，求实数的最大值; (3)求证:. 【答案】(1)2个 (2) (3)证明见解答 【详解】（1）当时，，则， 所以，令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 当时，，所以在上为增函数， 当时，，所以在上为减函数， 又，， 且时，，则存在，，使得， 所以有两个零点. （2）令由，得， 令所以， 令，可得， 所以在上为增函数，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以恒成立，所以实数的最大值是实数； （3）因为， 由（2）可得，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 13．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程. (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解答 【详解】（1）由，可得， ，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由，可得， 令，可得， 当时，，所以在上单调递增， 又，即， 所以在上单调递增， 所以，当时，， 当时，， 综上所述：. 14．（2024·江苏·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. 令，则， 则在单调递增， 所以，即. （2）， 令， 则. 所以在单调递增，， ①时，，. 则在为增函数，在上无极值点，矛盾. ②当时，.由（1）知，， ，则，则使. 当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增. 因此，在区间上恰有一个极值点， 所以的取值范围为. 15．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)若在处的切线与y轴垂直，求a的值； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）， 因为在处的切线与y轴垂直，所以， 即， 令，易得当， 又恒成立，故在R上单调递减， 综上，只有满足要求； （2）的定义域为， 由得， 令，则， 故在上单调递减， 又， 若，则，不合要求，舍去， 故， 下面证明，当时，， 因为， 令，， 则， 令，， 则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理得，，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，且当趋向于0时，趋向于， 故存在，使得， 当或时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 其中，且当趋向于0时，趋向于， 综上，当时，， 16．（2024·江苏扬州·模拟预测）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a，b的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，，求证：． 【答案】(1)，. (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，， ，故，， 解得，. （2）由上可得，要比较与的⼤⼩， ，只需比较1与的⼤⼩， 令，， 所以，从而可得在上单调递增， 所以，即， 所以. （3）设，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，即，当且仅当时等号成立； 由题意知，令，， 故该函数在上递减， 故可得，即，可得； 一方面：由（2）可得， 又因为， 所以可得，即，即， 即， 故， 即，所以. 另一方面：要证明 ， 两边同时除以，原式 令， 由基本不等式， 故，所以在单调递增， 所以，得证. 17．（2024·江苏南通·模拟预测）设，函数． (1)当时，求过点且与曲线相切的直线方程： (2)是函数的两个极值点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，则导数． 设切点为，则， 所以切线方程为． 又切线过点，则， 整理得，，解得． 所以过点且与曲线相切的直线方程为． （2）证明：依题意，，令，得． 0 0 极大值 极小值 不妨设，则． 所以为定值． 18．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，且在上的最小值为0. (1)求实数的取值范围； (2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质. （i）求证：函数在上具有性质； （ii）记，其中，求证：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1），，， ，，令 ，等号不同时取， 所以当时，，在上单调递增， ①若，即，，在上单调递增， 所以在上的最小值为，符合题意. ②若，即，此时， ， 又函数在的图象不间断， 据零点存在性定理可知，存在，使得， 且当时，，在上单调递减， 所以，与题意矛盾，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. （2）（i）由（1）可知，当时，. 要证函数在上具有性质. 即证：当时，. 即证：当时，. 令，，则， 即，，， 所以在上单调递增，. 即当时，，得证. （ii）法一：由（i）得，当时，， 所以当时，. 下面先证明两个不等式：①，其中；②，其中. ①令，，则，在上单调递增，所以，即当时，. ②令，，则， 所以在上单调递增，故， 即当时，，故，得. 据不等式②可知，当时，， 所以当时，. 结合不等式①可得，当时， . 所以当时， 当，时，，有. 所以. 又， 所以 法二：要证：. 显然，当时，，结论成立. 只要证：当，时，. 即证：当，时，. 令，. 所以，， 所以，在上单调递减， 所以，在上单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，即当时，. 所以当，时，，有， 所以当，时，. 所以 19．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数（，且）． (1)若，求函数的最小值； (2)若，证明：． 【答案】(1)最小值为1 (2)证明见解析 【详解】（1）若，则，，所以， 设则，得在上为增函数． 又，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值．所以的最小值为1． （2）因为，，，所以， 设，其中，得， 所以在上为增函数，当时，时，， 所以存在使得，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， ①当时，由（1）知，由，有； ②当时，，由在上为增函数， 有，得在上单调递增，且， 所以存在使得，要证， 因为，在上单调递增，只要证，只要证， 又当时，成立， 所以当时，； ③当时，，由在上为增函数， 所以，且，所以存在使得， 要证，因为，在上单调递减， 且时，只要证，只要证， 又，由恒成立，故成立， 所以当时，也成立， 综上，当时，成立. 20．（2024·江苏盐城·一模）已知函数，，（是自然对数的底数），. (1)若是上的单调递增函数，求的取值范围； (2)若函数的图象与直线有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为，求证：. (3)当a，b满足什么条件时，恒成立. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)或 【详解】（1）因为，函数是上的单调递增函数， 所以即对恒成立，而当时，， 因此，所以的取值范围是. （2）作直线和函数的图象如下： 要使直线和函数的图象有且仅有三个公共点， 且公共点横坐标的最大值为， 则直线与函数的图象在内相切， 且切点为， 因为当时，，所以此时， 因此，即， 因为 ， 所以. （3）令， 则恒成立等价于恒成立. ①当时，因为当时，，，， 所以当时，，因此存在，使得，不符合题意. ②当时，因为， 当，即时，恒成立，符合题意； 当，即时，令， 则， 若，则， 因此存在，使得， 即不恒成立，不符合题意. ③当时，， 令，则. 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此. 当，即时，恒成立， 因此恒成立，符合题意； 当，即时， 因为 ， 所以当，即时，， 即不恒成立，不符合题意. 综上所述，a，b满足或时，恒成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题05导数及其应用（解答题） 1．【2024年新高考1卷第18题】已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 2．【2024年新高考2卷第16题】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 3．【2023年新课标全国Ⅱ卷第22题】（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 4．【2023年新课标全国Ⅰ卷第19题】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 5．【2022年新课标全国Ⅰ卷第22题】已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 6．【2022年新课标全国Ⅱ卷第22题】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 7．【2021年新课标全国Ⅰ卷第22题】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 8．【2021年新课标全国Ⅱ卷第21题】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 9．【2021年新课标全国Ⅱ卷第22题】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 10．【2020年新课标全国Ⅱ卷第22题】已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 11．【2019年江苏第19题】设函数，为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 12．【2018年江苏第19题】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”； （2）若函数与存在“点”，求实数的值； （3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由． 13．【2017年江苏第20题】已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b²>3a; （3）若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围． 14．【2015年江苏第19题】已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值. 1．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 3．（2024·江苏南京·二模）已知函数，为的导函数. (1)若，求证：； (2)若对任意，，求的取值范围. 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 7．（2024·江苏南通·二模）已知函数，，. (1)求函数的单调区间； (2)若且恒成立，求的最小值. 8．（2024·江苏·三模）已知函数. (1)若，求的极小值； (2)若是单调函数，求的取值范围. 9．（2024·江苏·模拟预测）已知函数在处的切线经过原点. (1)判断函数的单调性； (2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点. 10．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若求在区间上的极值点的个数． 11．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的方程为，求实数的值； (2)若函数恒成立，求的取值范围． 12．（2024·江苏苏州·三模）已知函数. (1)时，求的零点个数; (2)若恒成立，求实数的最大值; (3)求证:. 13．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程. (2)证明：. 14．（2024·江苏·二模）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 15．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)若在处的切线与y轴垂直，求a的值； (2)若恒成立，求a的取值范围． 16．（2024·江苏扬州·模拟预测）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a，b的值； (2)当时，试比较与的大小，并证明； (3)已知正项数列满足：，，求证：． 17．（2024·江苏南通·模拟预测）设，函数． (1)当时，求过点且与曲线相切的直线方程： (2)是函数的两个极值点，证明：为定值． 18．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，且在上的最小值为0. (1)求实数的取值范围； (2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质. （i）求证：函数在上具有性质； （ii）记，其中，求证：. 19．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数（，且）． (1)若，求函数的最小值； (2)若，证明：． 20．（2024·江苏盐城·一模）已知函数，，（是自然对数的底数），. (1)若是上的单调递增函数，求的取值范围； (2)若函数的图象与直线有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为，求证：. (3)当a，b满足什么条件时，恒成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$