专题03 函数概念与基本初等函数-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题03函数概念与基本初等函数 1．【2024年新高考1卷第6题】已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．【2024年新高考1卷第8题】已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．【2024年新高考2卷第8题】设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．【2023年新课标全国Ⅱ卷第4题】若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第8题】已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第7题】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．【2021年新课标全国Ⅱ卷第8题】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 8．【2020年新课标全国Ⅱ卷第7题】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．【2020年新课标全国Ⅱ卷第8题】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．【2020年新课标全国Ⅰ卷第6题】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 11．【2023年新课标全国Ⅰ卷第10题】噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 12．【2022年新课标全国Ⅰ卷第12题】已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 13．【2024年新高考2卷第14题】在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 14．【2021年新课标全国Ⅰ卷第13题】已知函数是偶函数，则 . 15．【2020年江苏第7题】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 16．【2020年江苏第10题】将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 17．【2019年江苏第4题】函数的定义域是 . 18．【2019年江苏第14题】设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 . 19．【2018年江苏第5题】函数的定义域为 ． 20．【2018年江苏第9题】函数满足，且在区间上，则的值为 ． 21．【2018年江苏第11题】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ． 22．【2017年江苏第11题】已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ． 23．【2017年江苏第14题】设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 24．【2016年江苏第5题】函数y=的定义域是 . 25．【2016年江苏第11题】设 是定义在R上且周期为2的函数，在区间[）上， 其中 若 ，则的值是 . 26．【2015年江苏第7题】不等式的解集为 . 27．【2015年江苏第13题】已知函数，，则方程实根的个数为 28．【2020年江苏第17题】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 29．【2020年江苏第19题】已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)的表达式； （2）若，求k的取值范围； （3）若求证：． 30．【2019年江苏第18题】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）． （1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； （2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离． 31．【2016年江苏第19题】已知函数. （1）设. ①求方程=2的根； ②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值； （2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值. 32．【2015年江苏第17题】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 1．（2024·河南·三模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏苏州·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（    ）（参考数据:） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2024·江苏·模拟预测）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2024·江苏无锡·模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若，则的取值（    ） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 9．（2024·江苏南京·二模）遗忘曲线（如图）由德国心理学家研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知产生了重大影响.设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似的满足.则记忆率为时，所经过的时间约为（    ） (参考数据:)    A．2小时 B．小时 C．小时 D．小时 10．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 11．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏苏州·三模）对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏南通·二模）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（　　） A．为偶函数 B．为偶函数 C． D． 14．（2024·江苏南通·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（    ） A． B． C．0 D．8 15．（2024·江苏南京·二模）已知函数满足，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 16．（2024·江苏·二模）已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（    ） A．若2为的周期，则为奇函数 B．若为奇函数，则2为的周期 C．若4为的周期，则为偶函数 D．若为偶函数，则4为的周期 17．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（    ） A．或 B． C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 18．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 19．（2024·江苏南京·二模）若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 20．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在上不为常数的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ． ①；②至少有两个零点；③有最小值． 23．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则 . 24．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，则 . 25．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，函数是奇函数，则 ． 26．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 27．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 28．（2024·江苏·一模）已知，，则的最小值为 . 29．（2024·江苏南通·模拟预测）方程的正实数解为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（江苏专用） 专题03函数概念与基本初等函数 1．【2024年新高考1卷第6题】已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 2．【2024年新高考1卷第8题】已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 3．【2024年新高考2卷第8题】设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4．【2023年新课标全国Ⅱ卷第4题】若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5．【2022年新课标全国Ⅱ卷第8题】已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 6．【2021年新课标全国Ⅱ卷第7题】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即. 故选：C. 7．【2021年新课标全国Ⅱ卷第8题】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 8．【2020年新课标全国Ⅱ卷第7题】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 9．【2020年新课标全国Ⅱ卷第8题】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 10．【2020年新课标全国Ⅰ卷第6题】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 11．【2023年新课标全国Ⅰ卷第10题】噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 12．【2022年新课标全国Ⅰ卷第12题】已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 13．【2024年新高考2卷第14题】在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 【答案】 24 112 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 14．【2021年新课标全国Ⅰ卷第13题】已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 15．【2020年江苏第7题】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 【答案】 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 16．【2020年江苏第10题】将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】/ 【详解】 当时 故答案为： 17．【2019年江苏第4题】函数的定义域是 . 【答案】. 【详解】由已知得, 即 解得， 故函数的定义域为. 18．【2019年江苏第14题】设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 . 【答案】. 【详解】当时，即 又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.    当时，函数与的图象有个交点； 当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得. 综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为. 19．【2018年江苏第5题】函数的定义域为 ． 【答案】[2，+∞） 【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为. 20．【2018年江苏第9题】函数满足，且在区间上，则的值为 ． 【答案】 【详解】由得函数的周期为4，所以因此 21．【2018年江苏第11题】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法 求导得， 当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点； 当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增． 当时，；当时，． 要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为． 故答案为：． ［方法二］： 等价转化 由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，． 只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一． ［方法三］：【最优解】三元基本不等式 同方法二得，，当且仅当时取等号， 要满足条件只需，下同方法一． ［方法四］：等价转化 由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图． 设切点，因为，于是，解得， 下同方法一． 22．【2017年江苏第11题】已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以数在上单调递增， 又，即，所以，即， 解得，故实数的取值范围为． 23．【2017年江苏第14题】设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 【答案】8 【详解】由于，则需考虑的情况， 在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此， 因此不可能与每个周期内对应的部分相等， 只需考虑与每个周期的部分的交点， 画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分， 且处，则在附近仅有一个交点， 因此方程的解的个数为8． 24．【2016年江苏第5题】函数y=的定义域是 . 【答案】 【详解】要使函数有意义，需满足，函数定义域为 25．【2016年江苏第11题】设 是定义在R上且周期为2的函数，在区间[）上， 其中 若 ，则的值是 . 【答案】 【详解】， 因此 26．【2015年江苏第7题】不等式的解集为 . 【答案】 【详解】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围． , 是一个递增函数； 故答案为. 27．【2015年江苏第13题】已知函数，，则方程实根的个数为 【答案】4 【详解】如图与交点个数为4 28．【2020年江苏第17题】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低? 【答案】（1）120米（2）米 【详解】（1）由题意得 米 （2）设总造价为万元，，设， (0舍去) 当时，；当时，，因此当时，取最小值， 答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低. 29．【2020年江苏第19题】已知关于x的函数与在区间D上恒有． （1）若，求h(x)的表达式； （2）若，求k的取值范围； （3）若求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析 【详解】（1）[方法一]:判别式法 由可得在R上恒成立， 即和， 从而有即， 所以， 因此，．所以． [方法二]【最优解】：特值+判别式法 由题设有对任意的恒成立. 令，则，所以. 因此即对任意的恒成立， 所以，因此. 故. （2）[方法一] 令，. 又. 若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意. 当时，，符合题意. 当时， 在上递减，在上递增，则， 即，符合题意. 综上所述，. 由 当，即时，在为增函数， 因为， 故存在，使，不符合题意. 当，即时，，符合题意. 当，即时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. [方法二]【最优解】：特值辅助法 由已知得在内恒成立； 由已知得， 令，得，∴(*)， 令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，∴当时在内恒成立； 由在内恒成立，由(*)知，∴，∴，解得. ∴的取值范围是. （3）[方法一]：判别式+导数法 因为对任意恒成立， ①对任意恒成立， 等价于对任意恒成立. 故对任意恒成立. 令， 当，， 此时， 当，， 但对任意的恒成立. 等价于对任意的恒成立. 的两根为， 则， 所以. 令，构造函数，， 所以时，，递减，. 所以，即. [方法二]：判别式法   由，从而对任意的有恒成立，等价于对任意的①，恒成立． （事实上，直线为函数的图像在处的切线） 同理对任意的恒成立，即等价于对任意的恒成立．    ② 当时，将①式看作一元二次方程，进而有，①式的解为或（不妨设）； 当时，，从而或，又，从而成立； 当时，由①式得或，又，所以． 当时，将②式看作一元二次方程，进而有． 由，得，此时②式的解为不妨设，从而． 综上所述，． [方法三]【最优解】：反证法 假设存在，使得满足条件的m，n有． 因为，所以． 因为，所以． 因为对恒成立，所以有 ．则有 ，   ③ ，    ④ 解得． 由③+④并化简得，． 因为在区间上递增，且， 所以，． 由对恒成立，即有    ⑤ 对恒成立，将⑤式看作一元二次方程，进而有． 设，则， 所以在区间上递减，所以，即． 设不等式⑤的解集为，则，这与假设矛盾．从而． 由均为偶函数．同样可证时，也成立． 综上所述，． 30．【2019年江苏第18题】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）． （1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长； （2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离． 【答案】（1）15（百米）； （2）见解析； （3）17+（百米）. 【详解】解法一： （1）过A作，垂足为E. 由已知条件得，四边形ACDE为矩形，. 因为PB⊥AB， 所以. 所以. 因此道路PB的长为15（百米）. （2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知， 从而，所以∠BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此，Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求. 设为l上一点，且，由（1）知，， 此时； 当∠OBP>90°时，在中，. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）. 解法二： （1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系. 因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为. 因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为， 直线PB的方程为. 所以P（−13，9），. 因此道路PB的长为15（百米）. （2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求. ②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3）， 所以线段AD：. 在线段AD上取点M（3，），因为， 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上，P和Q均不能选在D处. （3）先讨论点P的位置. 当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求. 设为l上一点，且，由（1）知，，此时； 当∠OBP>90°时，在中，. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置. 由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求. 当QA=15时，设Q（a，9），由， 得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离 . 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）. 31．【2016年江苏第19题】已知函数. （1）设. ①求方程=2的根； ②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值； （2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值. 【答案】（1）①0 ②4  （2）1 【详解】（1）因为，所以. ①方程，即，亦即， 所以，于是，解得. ②由条件知. 因为对于恒成立，且， 所以对于恒成立. 而，且， 所以，故实数的最大值为4. （2）因为函数只有1个零点，而， 所以0是函数的唯一零点. 因为，又由知， 所以有唯一解. 令，则， 从而对任意，，所以是上的单调增函数， 于是当，；当时，. 因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数. 下证. 若，则，于是， 又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾. 若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾. 因此，. 于是，故，所以. 32．【2015年江苏第17题】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 【答案】（1）（2）①定义域为，②千米 【详解】（1）由题意知，点，的坐标分别为，． 将其分别代入，得， 解得． （2）①由（1）知，（），则点的坐标为， 设在点处的切线交，轴分别于，点，， 则的方程为，由此得，． 故，． ②设，则．令，解得． 当时，，是减函数； 当时，，是增函数． 从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以， 此时． 答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米． 1．（2024·河南·三模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数有意义，等价于， 解得，，故函数的定义域为. 故选：A. 2．（2024·江苏苏州·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（    ）（参考数据:） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】设至少经过个小时才能驾驶， 则由题意得，则， 所以， 所以他至少经过6个小时才能驾驶. 故选：C. 3．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为为上的奇函数，所以. 故选：A 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6. 故选：D 5．（2024·江苏·模拟预测）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】令，显然函数为R上单调递增函数， 又，， 所以. 故选：C 6．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 7．（2024·江苏无锡·模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据幂函数性质知道， 定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误； 奇函数且在单调递增，故B正确； 为偶函数，且在单调递增，故C错误； 为奇函数，且在单调递减，故D错误. 故选：B． 8．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若，则的取值（    ） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 【答案】D 【详解】例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 综上所述：的取值正、负、零都可能. 故选：D. 9．（2024·江苏南京·二模）遗忘曲线（如图）由德国心理学家研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知产生了重大影响.设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似的满足.则记忆率为时，所经过的时间约为（    ） (参考数据:)    A．2小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【详解】由题意，当时，，，. 故选：C. 10．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数， 因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义， 即，解得 此时为奇函数，则 解得故. 故选：C． 方法二：依题意恒成立，代入得 化简得，, 整理得：， 即(*)， 依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得， 回代(*)可得，，即，故. 故选：C. 11．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 令， 则， 所以在上恒成立. 又因为在上单调递增， 所以当时， 故. 故选：D. 12．（2024·江苏苏州·三模）对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内单调递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 故选：A 13．（2024·江苏南通·二模）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（　　） A．为偶函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【详解】令，则，注意到不恒为， 故，故A正确； 因为的图象关于点(2，0)对称，所以， 令，得， 故，故B错误； 令，得， 令，得，故， 从而，故, 令，得，化简得，故C正确； 令，得，而，故D正确. 故选：ACD. 14．（2024·江苏南通·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】BD 【详解】当时，由得到在上恒成立，则不存在， 当时，由可设，， 又的大致图象如下， 那么由题意可知：，再由是整数得到或 因此或-2． 故选：BD 15．（2024·江苏南京·二模）已知函数满足，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】AC 【详解】令，则， 令，则，解得或， 若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确； ，则,，B选项错误； 函数，定义域为R，， 为偶函数，C正确，D错误. 故选：AC 16．（2024·江苏·二模）已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（    ） A．若2为的周期，则为奇函数 B．若为奇函数，则2为的周期 C．若4为的周期，则为偶函数 D．若为偶函数，则4为的周期 【答案】ABD 【详解】对于A：若2是的周期，则， 由，可得， 所以，所以为奇函数；故A正确； 对于B：若为奇函数，则， 由，可得，所以2是的周期，故B正确； 若4是的周期，设，则， 该函数的最小周期为，故为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确； 对于D：若为偶函数，则， 由，可得，所以， 所以，所以4是的周期，故D正确. 故选：ABD. 17．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（    ） A．或 B． C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 【答案】ABD 【详解】因为，，所以， ，依次类推，可得，故A正确； 由A选项知，，故B正确； 当时，的对称轴， 所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误； 当时，的对称轴， 所以当时，，解得，故D正确. 故选：ABD 18．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】AD 【详解】对于A：令，得，即，所以或． 当时，不恒成立，故，故A正确． 对于B：令，得，又，所以， 故，故B错误． 对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确． 故选：AD. 19．（2024·江苏南京·二模）若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】BCD 【详解】A中：令，得，又，所以，故A不选； B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选； C中：令，得，所以， 又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选； D中：,所以，所以， 故4是的周期，又，所以，故D选. 故选：BCD. 20．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由与均为偶函数， 故，， 即有，， 故关于对称，关于对称， 又，故， 即，故关于对称， 由，可得， 即有，为常数， 即关于对称，故，故A错误； 即对有、， 则，即， 故，即， 即，故B正确； 对有，， 关于对称且关于对称，， 有，即， 故，即， 故为周期为的周期函数， 有，即， 故关于对称，不能得到，故C错误； 由关于对称，故，， 由为周期为的周期函数，且关于对称， 故关于对称，故， 由关于对称，关于对称，故关于对称， 故，， 故，故D正确. 故选：BD. 21．（2024·江苏宿迁·三模）已知定义在上不为常数的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，则，即， 又函数不为常数，，即，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，得， 令，则，得，故B正确； 对于C，令，则，所以，即，故C错误； 对于D，令，则，所以， 则，又， ， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 22．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 ． ①；②至少有两个零点；③有最小值． 【答案】（答案不唯一） 【详解】取，其对称轴为，满足①， 令，解得或2，满足②至少有两个零点， ，当，，满足③有最小值. 故答案为：（答案不唯一）. 23．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则 . 【答案】 【详解】在中，令，有，解得或， 若，则在中，令，有恒成立，但这与矛盾， 所以只能，经检验符合题意. 故答案为：. 24．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 25．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，函数是奇函数，则 ． 【答案】0 【详解】因为函数定义域为且是奇函数，所以，所以， 所以，由知， 即，又因为，所以， 把代入，满足题意， 所以. 故答案为： 26．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 27．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】①当时，，由于时，时， 此时只有一个零点，所以不符合题意； ②当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于时，，时，，当且仅当，即时取等号， 此时在上有，要使有两个零点，只需，即； ③当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于函数在上是增函数，故与x轴有且只有一个交点， 要使有两个零点，只需函数有一个零点即可， 当时，恰好只有一个零点. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 28．（2024·江苏·一模）已知，，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】，， ，，， 即，所以， 令，， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取得. 故答案为： 29．（2024·江苏南通·模拟预测）方程的正实数解为 . 【答案】 【详解】先证（且，且，且）， 令，，两边取为底的对数， 可得，， 所以，所以，即， 则即为， 可得， 由于在上单调递增，，在上单调递减， 所以，在上单调递减， 可得在上单调递减， 又时，即时，有， 则原方程的解有且只有一个为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$