精品解析：四川省2019年普通高校职教师资班和高职班对口招生统一考试 数学试题

四川省2019年普通高校职教师资班和高职班对口招生统一考试 数 学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1—3页，第Ⅱ卷3—4页，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分. 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设集合,则（ ）. A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 不等式解集是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 与直线垂直的直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的焦点坐标是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知球的半径为6cm，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. “”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 12. 某科技公司从银行贷款500万元，贷款期限为6年，年利率为5.76%，利息按“复利计息法”（把当年的本金与利息的和作为次年的本金来计算利息的方法）计算．如果6年后一次性还款，那么这家科技公司应偿还银行的钱是（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 13. 已知，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 14. 已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0．在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（ ） A. B. C. D. 15. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效. 2．第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16 已知平面向量，则_______. 17. 双曲线的离心率为______. 18. 二项式展开式中的常数项为______.（用数字作答） 19. 为落实精准扶贫工作，某单位计划从7名优秀干部中任选3名到贫困村驻村工作，不同的选派方案有______种． 20 计算：_______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 设等差数列的前n项和为，，，求数列的通项公式． 22. 为了弘扬勤俭节约的中华传统美德，某校开展了节约用水教育与问卷调查．调查得知某地区名居民某月的用水量（单位：吨），将这些数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中的取值； （2）若每组中居民的用水量用该组的中间值来估计（如的中间值为），试估计该地区居民这个月的人均用水量（单位：吨）． 23. 在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为2． （1）求边b的长； （2）求的值． 24. 如图，已知在长方体中，，，，为的中点． （1）证明：平面 （2）求与平面所成的角的大小． 25. 设圆O的方程是，三点，，互不重合，直线AB与圆O相切. （1）证明：； （2）若直线AC与圆O相切，证明：直线BC与圆O也相切． 26. 已知函数的定义域为，并且对一切实数x都有，成立，当时． （1）求，的值； （2）当时，求的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省2019年普通高校职教师资班和高职班对口招生统一考试 数 学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1—3页，第Ⅱ卷3—4页，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分. 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设集合,则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集的概念运算即可. 【详解】因为集合, 所以. 故选：D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数式中的分母不为零，偶次根式的被开方数为非负数，列不等式可求解. 【详解】要使函数有意义，则， 即， 解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，求出，根据，可求解. 【详解】由题角的终边经过点， 则， 所以； 故选：A. 4. 已知平面向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求解. 【详解】由题可得 . 故选：B 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为不等式为， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：C 6. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值可判断结果. 【详解】由题可知，，即函数过点， 故A、C错误； 又，即函数过点， 故D错误； 故选：B 7. 与直线垂直的直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件可求解. 【详解】由直线，可知其斜率， 所以与直线垂直的直线的斜率. 故选：A 8. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，椭圆的焦点在轴上，，据此可求解. 【详解】由椭圆可知，椭圆的焦点在轴上， 其中， 所以，焦点坐标为，. 故选：A 9. 已知球的半径为6cm，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的体积公式可求解. 【详解】因为球的半径为6cm， 所以它的体积. 故选：C. 10. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂的运算和对数的运算法则可求解. 【详解】. 故选：D 11. “”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件定义即可解得 【详解】由题则不一定有， 若则一定有， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 12. 某科技公司从银行贷款500万元，贷款期限为6年，年利率为5.76%，利息按“复利计息法”（把当年的本金与利息的和作为次年的本金来计算利息的方法）计算．如果6年后一次性还款，那么这家科技公司应偿还银行的钱是（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】D 【解析】 【分析】由题意的“复利计息法”，列出应偿还银行本金和利息即可. 【详解】由题意，从银行贷款500万元，贷款期限为6年，年利率为5.76%，利息按“复利计息法”， 则6年后一次性还款，那么这家科技公司应偿还银行的钱是万元. 故选：D. 13. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数，指数幂的化简估值即可解得 【详解】由题 , 则， 故， 故选：C 14. 已知甲、乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0．在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况，分别求对应的函数式，最后用分段函数表示即可. 【详解】由题可知， ①当，即时，； ②当时，； ③当，即时， ； 综上所述，. 故选：D 15. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原函数可化为，根据二次函数图象和性质可判断结果. 【详解】 ， 则开口向上，对称轴为， 所以的增区间为. 故选：B. 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效. 2．第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 已知平面向量，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标表示可求解. 【详解】因为平面向量， 所以. 故答案为： 17. 双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由双曲线方程可得，据此可求离心率. 【详解】由双曲线，可知 ， 所以. 故答案为：2 18. 二项式展开式中的常数项为______.（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得正确答案. 【详解】由二项式展开的通项公式可得 ， 当时，可得常数项为. 故答案为：15. 19. 为落实精准扶贫工作，某单位计划从7名优秀干部中任选3名到贫困村驻村工作，不同的选派方案有______种． 【答案】35 【解析】 【分析】从7名优秀干部中任选3名到贫困村驻村工作的种数，等于从7个不同元素中取3个元素的组合数，据此可求解. 【详解】从7名优秀干部中任选3名到贫困村驻村工作，不同的选派方案有 （种） 故答案为：35 20. 计算：_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式计算. 【详解】， ， 即，. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 设等差数列的前n项和为，，，求数列的通项公式． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式，列方程组求出，，据此可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 由题意，得． 即， 解之得． 所以． 22. 为了弘扬勤俭节约的中华传统美德，某校开展了节约用水教育与问卷调查．调查得知某地区名居民某月的用水量（单位：吨），将这些数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中的取值； （2）若每组中居民的用水量用该组的中间值来估计（如的中间值为），试估计该地区居民这个月的人均用水量（单位：吨）． 【答案】（1） （2）（吨） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出. （2）由频率分布直方图求出名居民这个月的人均用水量，由此能估计该地区居民这个月的人均用水量. 【小问1详解】 由频率直方图知,居民用水量在中的频率为. 同理,在，，，，中的频率分别为. 因此，解得. 【小问2详解】 这名居民的平均用水量的估计值为（吨）. 因此，可估计该地区居民这个月的人均用水量为（吨）. 23. 在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为2． （1）求边b的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系，可得，再利用面积公式可求解； （2）由（1）及余弦定理，可得，再次利用余弦定理可求解. 【小问1详解】 因为，所以角C为钝角， 得方程组， 解得， 由于面积为2，，则， 解得； 【小问2详解】 由于， 所以， 所以. 24. 如图，已知在长方体中，，，，为的中点． （1）证明：平面 （2）求与平面所成的角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理即可得结果； （2）由底面可得线面角为，即可解得结果. 【小问1详解】 证明：由题图连接交于点，连接，因为底面为长方形， 所以为的中点，又因为为的中点，所以为的中位线， 因此，，又因为平面，且不属于平面，所以平面； 【小问2详解】 解：由题知为长方体，所以底面， 所以为与平面所成的角，在直角三角形中， ，因此， 故可知与平面所成的角的大小为. 25. 设圆O的方程是，三点，，互不重合，直线AB与圆O相切. （1）证明：； （2）若直线AC与圆O相切，证明：直线BC与圆O也相切． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出直线AB的方程，再由直线AB与圆相切，表示出圆心到直线的距离即可得证. （2）根据直线直线AC与圆相切，以及第一问的结论，联立可求解以及的值，即可求解直线的方程，由直线BC与圆的位置关系判断即可. 【小问1详解】 直线AB的斜率， 直线AB的方程为， 即， 因为直线AB与圆O相切， 所以圆心到直线的距离， 因此，， 故．① 【小问2详解】 直线AC的斜率， 直线AC方程为， 直线AC的方程为， 因为直线AC与圆O相切， 所以圆心到直线的距离， 因此有，② 由①－②，及，可得， 由①＋②，可得， 配方得， 从而，， 直线BC的斜率， 直线BC的方程为， 即， 因为，， 所以有， 又因为圆心O到直线BC的距离， 故直线BC与圆O也相切． 26. 已知函数的定义域为，并且对一切实数x都有，成立，当时． （1）求，的值； （2）当时，求的解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知，函数为奇函数，且定义域为，故，再根据，可得，函数周期为2，利用，据此可求； （2）分，，，根据函数的周期性和奇函数的性质分别求对应的解析式即可. 【小问1详解】 由，可知函数是定义域上的奇函数， 则． 又因， 得，则， 所以函数周期为2， 所以，即， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，函数周期为2， 所以． ①当时，，即， 故． 又，则， 所以． ②当时，， 因此有． 综上，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$