第05讲 用配方法求解一元二次方程 （3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第05讲 用配方法求解一元二次方程 （3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2024春•孝义市期末）若，则　　． 2．（2023秋•射阳县期末）一元二次方程的解为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•城中区月考）用适当方法解方程：． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2023秋•濠江区期末）用配方法将方程变形为，则的值是 　　． 5．（2024春•莱芜区期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•双阳区期末）阅读材料，并回答问题． 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 问题：（1）上述过程中，从 　⑤　步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：　　； （3）写出这个方程的解：　　． 题型三．配方法的应用 7．（2023秋•东湖区期末）若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．不能确定 8．（2024•电白区一模）代数式的最小值为 　　． 9．（2023春•广陵区期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值 解：原式． ， ． 当时，的最小值是2． （1）请仿照上面的方法求代数式的最小值． （2）已知的三边，，满足，，．求的周长． 分层练习 一、单选题 1．已知关于一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．或 2．一元二次方程 配方的结果是（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（    ） A． B． C． D． 7．方程的根是（　　） A． B． C． ， D．， 8．若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 9．已知点，点，下列关于点与点的位置关系说法正确的是（    ） A．点在点的右边 B．点在点的左边 C．点与点有可能重合 D．点与点的位置关系无法确定 10．关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 二、填空题 11．用配方法解方程时，配方后得到的方程为 . 12．方程的根是 ． 13．方程的根是 ． 14．将方程配方成的形式，则 ． 15．用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为 ． 16．若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则 ． 17．若x、y均为实数，则代数式的最小值是 ． 18．在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 三、解答题 19．解一元二次方程：； 20．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 21．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 22．小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 移项，得 第一步 配方，得， 第二步 整理，得 第三步 所以 第四步 (1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________； (2)请写出此题正确的解答过程． 23．已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 24．（1）计算： （2）解方程：． 25．已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 26．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 用配方法求解一元二次方程 （3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2024春•孝义市期末）若，则　3或　． 【分析】把看作整体直接开方后再计算即可求解． 【解答】解： 或 或． 【点评】主要考查直接开平方法解方程．要注意整体思想的运用． （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且． 法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体． （3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 2．（2023秋•射阳县期末）一元二次方程的解为　　 A． B． C． D． 【分析】把方程两边开方即可． 【解答】解：， ， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 3．（2023秋•城中区月考）用适当方法解方程：． 【分析】先将系数化为1，再直接开平方，即可求解． 【解答】解：， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2023秋•濠江区期末）用配方法将方程变形为，则的值是 　5　． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案． 【解答】解：， ， 则，即， ， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．（2024春•莱芜区期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【解答】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 6．（2023秋•双阳区期末）阅读材料，并回答问题． 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下： 解：． ．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 问题：（1）上述过程中，从 　⑤　步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：　　； （3）写出这个方程的解：　　． 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【解答】解：（1）上述过程中，从⑤步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：开方后正负号丢失； （3）这个方程的解为， 故答案为：⑤，开方后正负号丢失，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 题型三．配方法的应用 7．（2023秋•东湖区期末）若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．不能确定 【分析】两个式子作差计算即可． 【解答】解： ， ， 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 8．（2024•电白区一模）代数式的最小值为 　4　． 【分析】代数式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出最小值即可． 【解答】解： ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为4． 故答案为：4． 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 9．（2023春•广陵区期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值 解：原式． ， ． 当时，的最小值是2． （1）请仿照上面的方法求代数式的最小值． （2）已知的三边，，满足，，．求的周长． 【分析】（1）直接运用配方法将代数式化成的形式，然后求解即可； （2）把关于、、的三个方程加起来，然后分别对关于、、的式子进行配方，并根据式子的特点求解． 【解答】解：（1）原式． ， ． 当时，的最小值是． （2），，， ． ．即． ，，． ，，， 解得，，． 的周长为． 【点评】本题考查了配方法的应用，用到的知识点有：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0． 分层练习 一、单选题 1．已知关于一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，运用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】解： ∴或 故选：D 2．一元二次方程 配方的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运用：先把二次项系数化为1，把常数项移到等号的右边，再同时加上一次项系数的一半的平方，即可作答． 【详解】解：原式移项，得 则 即 故选：C 3．用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 先移项、然后再给等式两边同时加上16，然后再化简即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：A． 4．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积，根据配方法的原理，凑成完全平方式即可． 【详解】解：， 配方得：， ∴， 故选：A． 5．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 6．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 根据完全平方公式展开，求出p和q的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程可以配方成的形式， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴代入得， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 7．方程的根是（　　） A． B． C． ， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键． 用直接开平方求解即可． 【详解】解：两边直接开平方，得， 所以或， 所以，， 故选：C． 8．若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【答案】A 【分析】把看成一个整体，利用直接开平方法求解方程，再根据，即可得到的值． 本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，注意把看成一个整体是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ， ， 故选：A． 9．已知点，点，下列关于点与点的位置关系说法正确的是（    ） A．点在点的右边 B．点在点的左边 C．点与点有可能重合 D．点与点的位置关系无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，配方法的应用；熟练掌握配方法的应用是解题的关键；根据题意，点，点，两点纵坐标相等，得是平行于轴的一条直线，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置，再由作差法得到，这个式子正负情况，从而得到答案． 【详解】解：点，点，两点纵坐标相等， 是平行于轴的一条直线， ， 点在点的右边， 故选：A． 10．关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 二、填空题 11．用配方法解方程时，配方后得到的方程为 . 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故答案为： ． 12．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法——直接开方法，利用直接开方法求解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为左平方，右常数；（2）把系数化为1；（3）开平方取正负；（4）分开求得方程解． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 13．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 故答案为：， 14．将方程配方成的形式，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， 移项得， 配方得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：9 15．用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，再将两边都加上一次项系数一半得平方，配成完全平方式，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16．若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解一元二次方程配方法，根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故答案为：3． 17．若x、y均为实数，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法，将转化为，即可得到原式的最小值，熟练掌握配方法是解本题的关键． 【详解】解：可转换为， 当时，原式取到最小值，为1， 故答案为：1． 18．在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，理解新定义是解题的关键．根据题意得到，从而解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， ， 解得． 故答案为：． 三、解答题 19．解一元二次方程：； 【答案】 【分析】 本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．利用直接开平方法即可求. 【详解】解：， ∴， 即：或， ∴． 20．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：原方程可化为． 配方，得，即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，； （2）解：原方程可化为． 配方，得， 即． 两边直接开平方，得， 所以或， 所以，． 21．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 22．小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 移项，得 第一步 配方，得， 第二步 整理，得 第三步 所以 第四步 (1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________； (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一；移项没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式计算是解题的关键． （1） 分析解题步骤不难发现，在第一步中常数项在移项后没有变号，导致求解过程出错； （2）先移项，再把方程两边加上，利用完全平方公式得到，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：分析题目中给出的解题步骤可以发现，在第一步中，原方程常数项在移至等号右侧后没有改变符号，导致整个求解过程出错； （2）解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 开平方得：， ∴，． 23．已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 【答案】见解析 【分析】先利用配方法将配成，再根据完全平方的非负性即可得证．本题主要考查了利用配方法将一个代数式写成一个数的完全平方加一个正数的形式，以及完全平方的非负性．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】证明： ． 又∵， ∴，即， ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 24．（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程-配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方差公式和二次根式的乘法法则计算各项，再进行加减运算即可； （2）直接利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： （2） 移项： 配方： ， ， 25．已知线段、、满足，且． (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程，开平方法解一元二次方程等知识点，学会用代数的方法解决几何问题是解题的关键． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，利用开平方法解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， 设，，， 又， ， 即， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ， ， ； （2）解：是、的比例中项， ， ， 即， 或（与题意不符，舍去）， 的值为． 26．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】（）把写成的形式，然后与二次项和一次项组成完全平方式，从而分解因式，从而求出，的值即可； （）把写成的形式，然后把分给含有的项，分给含有的项，进行分解因式，根据偶次方的非负性，求出，，从而求出答案即可； （）把已知等式的右边进行平方，组成两个完全平方式，然后根据偶次方的非负性和s的最小值，列出关于的方程，解方程即可； 本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵ ， ∴，； （2）， ， ， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）∵， ∴， ， ∵，，的最小值为， ∴，解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$