2.1 函数的概念及其表示-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

第二章　函数与导数 §2.1　函数的概念及其表示 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 9.函数的概念 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 10.函数的定义域 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 11.分段函数 2 5 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 2 8 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是研究函数的基础,是历年高考常考的内容( ),主要题型为选择题或填空题,分值约为4~5分,以中等难度的题目居多. (2)考查方向:一是考查函数的概念,主要以研究函数值的求解为主,特别是新定义函数的函数值;二是考查函数的定义域,研究由对数式、根式及分式综合构成的函数定义域以及抽象函数的定义域问题;三是考查分段函数,以求函数值、根据函数值求自变量值或解不等式为主. (3)明智备考:一是要熟练掌握函数定义域求解的基本方法;二是把握研究分段函数的基本策略——分段研究. (4)主编提示:该部分命题的兴趣点是以分段函数为背景,与求函数值、解不等式等问题为载体,考查分类讨论以及转化与化归的数学思想.高三备考,抓住命题重点分段函数不松手,尤其与函数性质和图象相结合是新高考命题热点. 考点9函数的概念　 1.(2022·北京,4,4分,难度★★)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有 (　C　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 解析　∵f(x)=的定义域是R, ∴f(-x)==, ∴f(x)+f(-x)==1,故选C. 2.(2015·湖北,文7,5分,难度★★)设x∈R,定义符号函数sgn x=则 (　D　) A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn |x| C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x 解析　利用排除法逐项验证求解.当x<0时,|x|=-x,x|sgn x|=x;xsgn|x|=x,|x|sgn x=(-x)·(-1)=x,故排除A,B,C项,选D. 考点10函数的定义域　 1.(2017·山东,理1,5分,难度★★)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B= (　D　) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 解析　由4-x2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A∩B=[-2,1).故选D. 2.(2016·全国2,文10,5分,难度★★)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　D　) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 解析　y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞). y=x的定义域和值域均为R;y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R; y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞); y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D. 涉及与对数函数有关的定义域问题时,一定要保证真数大于0这一条件. 3.(2022·北京,11,5分,难度★)函数f(x)=+的定义域是　　　　　.  答案　(-∞,0)∪(0,1] 解析　由题意可知 即x∈(-∞,0)∪(0,1]. 4.(2020·北京,11,5分,难度★)函数f(x)=+ln x的定义域是　　　　　.  答案　(0,+∞) 解析　由题意得∴x>0. 故函数的定义域为(0,+∞). 5.(2019·江苏,4,5分,难度★★)函数y=的定义域是　　　　　.  答案　[-1,7] 解析　要使根式有意义,则7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7. 6.(2018·江苏,5,5分,难度★★)函数f(x)=的定义域为　　　　　.  答案　[2,+∞) 解析　要使函数f(x)有意义,则log2x-1≥0,解得x≥2,即函数f(x)的定义域为[2,+∞). 考点11分段函数　 1.(2019·天津,理8,5分,难度★★★)已知a∈R,设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为 (　C　) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 解析　当a≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a2-2a2+2a≥0.a2-2a≤0.∴0≤a≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-=>0. 此时要使f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立.可知0≤a≤1. 当a>1时,x=a>1,1-2a+2a≥0,显然成立. 此时f'(x)=,当x∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a≥0,ln a≤1,a≤e,可知1<a≤e. 综上可知,a∈[0,e],故选C. (1)求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)≥a在R上恒成立⇔f(x)min≥a,f(x)≤a在R上恒成立⇔f(x)max≤a;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围. (2)本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生转化与化归思想及分类讨论思想. 2.(2019·天津,文8,5分,难度★★★)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为 (　D　) A., B., C.,∪{1} D.,∪{1} 解析　当直线过点A(1,1)时,有1=-+a,得a=. 当直线过点B(1,2)时,有2=-+a,a=. 故当≤a≤时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x0)=-=-,x0=2. 此时切点为2,,此时a=1.故选D. 3.(2019·浙江,9,4分,难度★★★)设a,b∈R,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则 (　C　) A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0 C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0 解析　当x<0时,由x=ax+b,得x=,最多一个零点取决于x=与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程x3-(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=x3-(a+1)x2=x2x-(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示, 可以发现分类讨论的依据是(a+1)与0的大小关系. ①若(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意. ②若(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意. ③若(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=<0,故-1<a<1,b<0,选C. 分段函数中的参数求法 求解分段函数参数的取值范围问题,一般将参数当成已知,画出分段函数图象,根据函数图象列出满足要求的不等式(组). 4.(2018·全国1,文12,5分,难度★★★)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 (　D　) A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0) 解析　画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知: ①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; ②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立; ③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得x<1.故x≤-1. 综上所述,x的取值范围为(-∞,0). 5.(2017·山东,文9,5分,难度★★★)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f= (　C　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　由x≥1时,f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),解得a=,则f=f(4)=2×(4-1)=6. 6.(2015·山东,文10,5分,难度★★★)设函数f(x)=若ff=4,则b= (　D　) A.1 B. C. D. 解析　∵f=3×-b=-b, ∴ff=f-b. 当-b<1,即b>时,f-b=3×-b-b=4,∴b=(舍去). 当-b≥1,即b≤时,f-b==4, 即-b=2,∴b=.综上,b=. 7.(2024·上海,2,4分,难度★)已知函数f(x)=则f(3)=　　　　　.  答案　 解析　∵3>0,又x>0时f(x)=,∴f(3)=. 8.(2022·浙江,14,6分,难度★★)已知函数f(x)=则ff=　　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　　.  答案　　3+ 解析　ff=f-+2=f =+-1=. 若x≤1时,由f(x)∈[1,3],解得x∈[-1,1]; 若x>1时,由f(x)∈[1,3],解得x∈(1,2+]. 所以b-a的最大值为(2+)-(-1)=3+. 9.(2021·浙江,12,4分,难度★★★)已知a∈R,函数f(x)=若ff=3,则a=　　　　　.  答案　2 解析　因为函数f(x)= 所以f()=()2-4=2, 所以f(f())=f(2)=|2-3|+a=3,解得a=2. 10.(2017·全国3,理15文16,5分,难度★★★)设函数f(x)=则满足f(x)+fx->1的x的取值范围是　　　　　　.  答案　-,+∞ 解析　由题意得当x>时,2x+>1恒成立,即x>;当0<x≤时,2x+x-+1>1恒成立,即0<x≤;当x≤0时,x+1+x-+1>1,解得x>-,即-<x≤0. 综上,x的取值范围是-,+∞. 学科网（北京）股份有限公司 $$