第6课时 实际问题与一元二次方程-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程 第6课时 实际问题与一元二次方程 基础巩固 1.为了美化环境，某市加大对绿化的投资.2021 件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出 年用于绿化的投资为50万元，2023年用于绿 的方程是( 化的投资为72万元，求这两年绿化投资的年 A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182 平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增 C.2.x(x+1)=182 D.x(x-1)=182×2 长率为x,根据题意所列方程为( 5.某种商品原价是350元，经两次降价后的价 A.50.x2=72 格是224元，求平均每次降价的百分率.设 B.50(1+x)=72 平均每次降价的百分率为x,可列方程为 C.50(1+x)2=72 D.50(1+x)+50(1+x)2=72 6.如图21-6-2，在△ABC中，∠B=90°，点P 2.在一幅长为80cm、宽为50cm的矩形风景画 从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速 的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一 度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以 幅矩形挂图，如图21一6一1，如果要使整个挂 2cm/s的速度移动，如果AB=6cm,BC= 图的面积是5400cm°，设金色纸边的宽为 12cm,P、Q分别从A、B两点同时出发，经过 xcm,那么x满足的方程是( xs后△PBQ的面积等于8cm,则x A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130.x-1400=0 图21-6-1 D.x2-65.x-350=0 3.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度 共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均 每月的增长率为x,那么x满足的方程 图21-6-2 是( 7.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批 A.50(1+x)2=182 商品，该商品可以自行定价.据市场调查，该 B.50+50(1+x)+50(1十x)=182 商品的售价与销售量的关系是：若每件商品 C.50(1+2x)=182 售价a元，则可卖出(320一10a)件，但物价部 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=182 门限定每件商品加价不能超过进货价的 4.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向 25%.若商店计划要获利400元，则每件商品 本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182 的售价应定为 元. 8.生产某种产品，原来的成本价为500元，销售 价为625元，经市场预测，该产品的销售价第 一个月将降低20%，第二个月将比第一个月 提高6%，为了使两个月后的销售利润不变， 该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 能力提升 1.某市2022年生产总值比2021年增长了12%， 面积为4m,则AB的长度是 m. 由于受洪涝灾害的影响，2023年比2022年增 (可利用的围墙长度超过6m) 长7%，若这两年生产总值年平均增长率为 x%,则x%满足的方程是( A.12%+7%=x% 图21-6-3 B.(1+12%)(1+7%)=2(1十x%) 5.一个两位数的十位上的数字比个位上的数字 C.12%+7%=2x% 小4，十位上的数字的平方与个位上的数字的 D.(1十12%)(1十7%)=(1十x%) 平方之和等于这个数的十位和个位上的数字 2.某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天 之和的5倍，则这个两位数是 可以销售20双，该网店决定适当降价促销， 6.在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个 经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可 选手都与其他选手比赛一局)，每局胜者记 多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可 2分，负者记0分，如果平局，两名选手各记 能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降 1分，今有4名同学统计了比赛中全部选手的得 价( 分总和，结果分别为2005分，2004分，2070分、 A.10元或20元 B.20元 2008分，经核实确定只有一名同学统计无 C.5元 D.5元或10元 误，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛. 3.把一个小球以20m/s的速度竖直向上抛出， 它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系 h=20t一5t,当h=20时，小球的运动时间为 4.如图21一6一3，邻边不相等的矩形花圃 ABCD,它的一边AD利用已有的围墙，另外 三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的 7.如图21一6一4，在直角坐标系中，四边形 (2)如果铺白色地砖的费用为每平方米30元， OACB为矩形，C点的坐标为(3,6)，若点P 铺绿色地砖的费用为每平方米20元，当 从点O沿OA向点A以1cm/s的速度运动， 矩形广场四角小正方形的边长为多少米 点Q从点A沿AC以2cm/s的速度运动，如 时，铺广场地面的总费用最少？最少费用 果PQ分别从O、A同时出发，问： 是多少？ (1)经过多长时间△PAQ的面积为2cm? (2)△PAQ的面积能否达到3cm2? 图21-6-5 OP A 图21-6-4 结影一题 两个村民一共带了100个鸡蛋去市集，两人 所带鸡蛋数不同，但是，卖的钱数一样.第一 个村民对第二个村民说：“如果你的鸡蛋给 我，我可以卖得45元.”第二个村民答道：“如 果你的鸡蛋给我，我只能卖得20元.”问：这 两个村民各有多少个鸡蛋？都卖了多少元？ 8.学校计划用地砖铺设教学楼前矩形广场的地 面ABCD,已知矩形广场地面的长为100米， 宽为80米.图案设计如图21一6一5，广场的 四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个 矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺 绿色地砖，其余部分铺白色地砖， (1)要使铺白色地砖的面积为5200平方米， 那么矩形广场四角的小正方形的边长为 多少米？∴.x+z号=(m+2)2-212=2(a-2)2-4. 7.22 a≤2当a=2时+的值最小， 8.解：设成本价平均每月降低的百分数为 x,则 此时+=号，即最小值为 625×(1一20%)×(1+6%)-500(1-x) 12.解：(1)x1,x2是方程x2一6.x十k=0的 =625-500, 两个根， 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). ∴x1+x2=6,x1r2=k, 答：该产品的成本价平均每月应降低10%. ∴.k2-6=115,解得k1=11,k2=-11. 【能力提升】 当k1=11时，b-4ac=36-44<0, 1.D点拨：把2021年的生产总值看作“单位 ∴.k=11不符合题意，舍去： 1”. 当k2=-11时，b-4ac=36+44>0, 2.B点拨：设每双运动鞋应降价x元，则每 .k=一11符合题意， 双盈利(40一x)元，每天可以销售(20十2x) .k的值为11. 双，依题意，得(40一x)(20+2.x)=1200,整 (2)x1十x2=6,x1x2=-11, 理得x2-30.x十200=0，解得x1=10,x2 ∴.x十x2+8=(x1+x2)2-2x1x2+8 20.又要尽可能让利于顾客，.x=20. 36+2×11+8=66. 3.2 精彩一题 4.1点拨：设AB=xm,BC=(6-2x)m,且 解：小玉的解法不正确， AB≠BC,则x(6一2x)=4,解得x1=1, 因为解出的m的值中，m=9时，b一 x2=2.当x=2时，AB=BC=2m,舍去 4ac<0,应舍去，又题中要求正数m的值，因 故AB=1m. 此m=一1也应舍去，综上，m的值不存在. 5.26点拔：设个位上的数字为x,十位上的 21.3实际问题与一元二次方程 数字为x一4，由题意得(x一4)十x2= 5(x十x-4),解得01=3，x2=6.,x-4> 第6课时实际问题与一元二次方程 0,.x=6,∴.所求两位数是26. 【基础巩固】 6.解：设共有x(x为正整数)名选手参赛， 1.C2.B3.B 所以共有2x(x一1)局比赛。 4.B点拨：此题易出现选D项的错误，其原 因为每局比赛共记2分，所以全部选手的 因是审题不清.“互赠”说明甲同学赠送给 得分总和为x(x一1)分， 乙同学，乙同学也赠送给甲同学，因此，每 由于相邻两个自然数之积是偶数，且其个 人需赠送(x一1)件. 位数字只能是0,2,6， 5.350(1-x)2=224 故总得分不能为2005分，2004分，2008分， 6.2或4点拨：P、Q经过xs,则BP=(6 所以可得方程x(x-1)=2070. x)cm,BQ=2xcm,由题意可得2(6-x)· 解得=46,2=一45（不符合题意，舍去）. 2x=8,解得x=2,x2=4. 答：这次比赛共有46名选手参赛. 7.解：(1)设1s时，S△g=2cm2,则号(3-)· 29 21=2. 解得x=40或x=一200（舍去）. 即t2一3t十2=0，解得t1=1,t2=2. 45 ∴.100-40=60（个），40×100=40 (2设xs时，SPo=3cm,则2(3一)）· 30(元). 2x=3. 答：第一个村民有40个鸡蛋，第二个村 即x2一3.x+3=0,此时方程无实数根. 民有60个鸡蛋，都卖了30元. 所以S△PQ不能达到3cm. 复习课 8.解：(1)设矩形广场四角的小正方形的边长 为x米，根据题意，得 【综合复习】 4x2+(100-2x)(80-2.x)=5200, 1.D2.D 整理，得x2-45.x十350=0. 3.A点拨：将x=-a代入方程得a2一ba十 解得x1=35,x2=10, a=0,即a(a-b+1)=0.,a≠0，.a-b十 经检验，x1=35,x2=10均符合题意. 1=0,则a-b=-1. 答：要使铺白色地砖的面积为5200平方 4.3.x2+7x-2=05.±6 米，那么矩形广场四角的小正方形的边长 6.0点拨：将x=1代入方程得m十1一m2一 2m-1=0,即m(m十1)=0.又，m+1≠0， 为35米或10米. (2)设铺矩形广场地面的总费用为y元，广 ∴.m=0. 场四角的小正方形的边长为x米，则 -9 y=30×[4.x2+(100-2.x)(80-2.x)]+ 8.15点拨：设直角三角形的直角边AC的 20×[2x(100-2x)+2x(80-2x)]. 长为x米，则直角边BC的长为(21一x) 即y=80x2-3600.x+240000, 配方，得y=80(x-22.5)+199500. 米.依题意，得2x·(21一x)=54,整理得 当x=22.5时，y的值最小，最小值为 x2-21x+108=0,解得x1=9,x2=12.当 199500. x=9时，21-x=12:当x=12时，21-x= 答：当矩形广场四角的小正方形的边长为 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴.AB= 22.5米时，铺广场地面的总费用最少，最少 √AC+BC=√92+122=15（米）. 费用是199500元. 9.解：1)x=-3±3十4×2=-3±17 精彩一题 2×2 4 解：设第一个村民有x个鸡蛋，则第二个 =-3+17 x2=二3-/17 4 4 村民有(100一x)个鸡蛋.第一个村民卖出的 (2)7.x(2-x)+3(2-x)=0,(2-x)(7x+3)=0, 单价为15元，第二个村民卖出的单价为 2-x=0或7x十3=0， 2元，根据题意，得x‘05=(10-)· =2=-