专题13 立体几何初步（5知识点+4重难点+9技巧+3易错）-【上好课】-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题13 立体几何初步 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 知识点2 空间几何体的表面积和体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 知识点3 点、直线、平面之间的位置关系 1、四个公理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 知识点4 直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 知识点5 直线、平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. （2）范围：. 3、平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． （2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 重难点01 几何法求空间二面角 求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 【典例1】（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为 ． 【典例2】（23-24高三下·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面． (1)证明：点在平面上的射影为的中点； (2)求二面角的正切值． 【典例3】（23-24高三下·江西南昌·三模）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接. (1)求证：，，，四点共面： (2)求平面与平面所成角的余弦值. 重难点02 外接球和内切球的解题思路 1、求解几何体外接球的半径的思路 （1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系 R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键； （2）将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解． 2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径； 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。 【典例1】（23-24高三下·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25高三上·江苏南通·月考）如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 重难点03 空间几何体中的探索性问题 1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型 ①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么. ②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么. 2、对命题条件探索的三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明. ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性. ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件. 3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设. 【典例1】（23-24高三上·辽宁·期末）（多选）已知正方体，点满足，下列说法正确的是（    ） A．存在无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形 B．存在唯一一点，使得平面 C．存在无穷多个点，使得 D．存在唯一一点，使得平面 【典例2】（23-24高三下·上海黄浦·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为AD的中点． (1)求证：； (2)在线段PC上是否存在点M，使得平面PEB？请说明理由 【典例3】（23-24高三下·浙江绍兴·月考）如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且， (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 重难点04 空间几何体中的截面问题 作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 【典例1】（23-24高三下·河南·月考）在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【典例2】（23-24高三下·四川泸州·三模）已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（    ） A． B． C． D． 一、求空间几何体表面积的常见类型及思路 1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； 2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加 【典例1】（24-25高三上·广东·三校联合模拟）一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·河南濮阳·模拟预测）正四棱台中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【典例3】（23-24高三下·江苏无锡·模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 二、空间几何体的体积 1、处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 【典例1】（24-25高三上·福建福州·开门考）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·内蒙古包头·三模）如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·新疆·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形，，均为等腰梯形，，，，，到平面的距离为5，与间的距离为10，则这个羡除的体积 ． 三、共线共点共面证明方法 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【典例1】（23-24高三下·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【典例2】（23-24高三上·辽宁·名校联考）点分别在空间四边形的边上，若，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与一定平行 B．直线与一定相交 C．直线与可能异面 D．直线与一定共面 【典例3】（23-24高三下高三·全国·专题练习）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点.如图2，将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面.求证：四点共面. 四、证明直线与平面平行的方法 1、线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)． 2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线． 3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β. 【典例1】（23-24高三上·广东佛山·月考）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，，分别是，的中点，，，．求证：平面； 【典例3】（23-24高三下·陕西商洛·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 五、证明面面平行的常用方法 1、利用面面平行的定义． 2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 3、利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． 4、利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． 5、利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 【典例1】（23-24高三下高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，为底面圆周上一点，F为线段上一点，（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且.求证：平面平面. 【典例2】（23-24高三下·陕西西安·期中）如图，在圆台中，为轴截面，，，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点，． (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，求点到平面的距离． 【典例3】（23-24高三下·四川泸州·三模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，与交于点，底面，，点，分别是棱，的中点，连接，，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 六、证明线面垂直的方法 1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. 2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 3、性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. 4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) 【典例1】（23-24高三下·江西·月考改编）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点在BC上，平面PAD. 证明：平面PB. 【典例2】（23-24高三下·湖南·月考）如图所示，正四棱锥中，分别为的中点，，平面与交于.证明：平面. 【典例3】（23-24高三下·广东·二模改编）如图，在直三棱柱中，点是的中点，.证明：平面. 七、证明面面垂直的两种方法 法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题； 法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决。 【典例1】（22-23高三上·江西南昌·月考）如图，长方体中，底面ABCD是正方形，，E是上的一点且． (1)求证：平面平面AEC； (2)求三棱锥的体积． 【典例2】（23-24高三下·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点. (1)证明：平面平面BCD； (2)求点A到平面BDF的距离. 【典例3】（23-24高三下·安徽·三模改编）如图，在三棱锥中，分别为棱的中点.证明：平面平面. 八、平移法求异面直线所成角的步骤 第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移 第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角 第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 【典例1】（23-24高三下·云南·二模）如图，在正方体中，E、F、M、N分别是的中点，则异面直线EF与MN所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·河北保定·月考）如图，正三棱柱的各棱长相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【典例3】（23-24高三下·河北·二模）在空间四边形中，分别是上的点，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 九、直线与平面所成角的求法 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 【典例1】（23-24高三下·辽宁·二模）长方体中，四边形为正方形，直线与直线所成角的正切值为2，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【典例3】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·月考）已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D．6 易错点1 对斜二测画法的规则掌握不牢 点拨：由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半。 【典例1】（23-24高三上·宁夏石嘴山·月考）等边三角形的边长为，建立如图所示的直角坐标系，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是 ． 【典例2】（23-24高三下·宁夏石嘴山·四模）如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（ ） A． B． C． D． 易错点2 空间点、线、面位置关系不清 点拨：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。 【典例1】（23-24高三下·湖北武汉·月考）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例2】（23-24高三下·河南·三模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 易错点3 对折叠与展开问题认识不清致误 点拨：注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化． 【典例1】（23-24高三下·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ）    A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 【典例2】（23-24高三上·福建莆田·月考）如图，在平面四边形ABCD中，和是全等三角形，，，．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①将沿着AC折起，形成三棱锥，如图1；折法②：将沿着BD折起，形成三棱锥，如图2．下列说法正确的是（    ） A．按照折法①，三棱锥的外接球表面积值为 B．按照折法①，存在，满足 C．按照折法②，三棱锥体积的最大值为 D．按照折法②，存在满足平面，且此时BC与平面所成线面角的正弦值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 立体几何初步 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 知识点2 空间几何体的表面积和体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 知识点3 点、直线、平面之间的位置关系 1、四个公理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 知识点4 直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 知识点5 直线、平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. （2）范围：. 3、平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． （2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 重难点01 几何法求空间二面角 求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 【典例1】（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为 ． 【答案】/ 【解析】设的中点分别为，连接，则, 因为BC，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为是直角三角形，且，所以， 所以且， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，则BD， 所以为二面角的平面角， 在直角中，可得． 【典例2】（23-24高三下·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面． (1)证明：点在平面上的射影为的中点； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2)2 【解析】（1）过作于， 由平面平面，平面平面， 平面，，得平面，因此， 又，从而为等边三角形，为中点． （2）由于是等边三角形，所以， 而平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，则有， 过作于，连接，，平面， 所以平面，由平面，则， 则是二面角的平面角． 由于，，所以中，． 因此二面角的正切值为. 【典例3】（23-24高三下·江西南昌·三模）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接. (1)求证：，，，四点共面： (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取，的中点分别为，，连接，， 取，的中点分别为，，连接，，， 由题意知，都是等边三角形，所以，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为，的中点分别为，，所以 所以，所以，所以， 又因为，所以， 因为，的中点分别为，， 所以，所以，所以，，，四点共面； （2）连接，，且延长交于点，由题意知，， 所以，同理， 所以就是二面角的平面角， 设，则，，， 所以，同理， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 重难点02 外接球和内切球的解题思路 1、求解几何体外接球的半径的思路 （1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系 R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键； （2）将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解． 2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径； 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。 【典例1】（23-24高三下·陕西榆林·模拟预测）如图，是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于二面角为直二面角，且和都是直角三角形， 故可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径R， 即，解得， 从而三棱锥外接球的体积．故选：D 【典例2】（23-24高三下·陕西宝鸡·三模）与都是边长为2的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的中点为，正与正的中心分别为，，如图， 根据正三角形的性质有，分别在，上，平面，平面， 因为与都是边长为2的正三角形，则，又， 则是正三角形， 又，，，平面， 所以平面，所以在平面内， 故，易得， 故，故， 又，故球的半径， 故球的表面积为．故选：D． 【典例3】（23-24高三下·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为．故选：B． 【典例4】（24-25高三上·江苏南通·月考）如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，为等边三角形，且高，则， 而，又，则为等边三角形， 平面平面，，平面平面，平面， 于是平面， 令的外心为，三棱锥外接球的球心为，则平面， 又三棱锥的外接球球心在线段的中垂面上，此平面平行于平面， 因此，等边外接圆半径， 三棱锥的外接球，则， 所以三棱锥的外接球的表面积，故选：C 重难点03 空间几何体中的探索性问题 1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题的主要类型 ①探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么. ②探索结论，即在给定的条件下，探索命题的结论是什么. 2、对命题条件探索的三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明. ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性. ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件. 3、对命题结论探索的方法首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设. 【典例1】（23-24高三上·辽宁·期末）（多选）已知正方体，点满足，下列说法正确的是（    ） A．存在无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形 B．存在唯一一点，使得平面 C．存在无穷多个点，使得 D．存在唯一一点，使得平面 【答案】ACD 【解析】点满足， 即点在正方形内（包括正方形的四条边）上运动， 对于A：取线段的中点，过点作正方体的截面， 因为面面，面面， 根据面面平行的性质定理知如果一个平面与两个平行平面相交，则交线平行， 所以有，即四边形为平行四边形， 又为线段的中点，则有，所以四边形为菱形， 所以当点在线段上时，过的平面与正方体的截面是菱形， 故有无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形，A正确； 对于B：在正方体中，因为，且， 所以四边形为平行四边行， 所以，又面，面， 所以面，同理可得面， 又，面 所以面面，当点在线段上时，有平面， 故有无穷多个点，使得平面，B错误； 对于C：连接， 根据正方体可得， 又面， 所以面，又面， 所以，同理，又面， 所以面，当点在线段上时，有， 故有无穷多个点，使得，C正确； 对于D：由选项证明面同理可证明面， 过平面外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 当且仅当点在点位置时，有平面， 所以存在唯一一点，使得平面，D正确. 故选：ACD. 【典例2】（23-24高三下·上海黄浦·月考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为AD的中点． (1)求证：； (2)在线段PC上是否存在点M，使得平面PEB？请说明理由 【答案】(1)证明见解析；(2)存在为中点时，平面，理由见解析 【解析】（1）因为为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，因此． （2）存在为中点时，平面，理由如下： 取中点为，连接， 因为为中点，，且． 在矩形中，为中点，所以，且． 所以，且， 所以四边形为平行四边形，因此， 又因为面面，所以面． 【典例3】（23-24高三下·浙江绍兴·月考）如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，    (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【解析】（1）连接， 在三棱台中，； ，四边形为等腰梯形且， 设，则. 由余弦定理得：， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 是以为直角顶点的等腰直角三角形，， ，平面，平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点， ，，， ； 平面，即平面， 即为三棱锥中，点到平面的距离， 由（1）中所设：，， 为等边三角形，， ，； ，， ， 设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离， ，，解得：. 即点到平面的距离为. （3）平面，平面，平面平面， 平面平面 取中点，在正中，，平面， 又平面，平面平面． 作，平面平面，则平面， 作，连接，则即在平面上的射影， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，即二面角的平面角. 设， 在中，作， ，，又平面，平面， ，解得：， 由（2）知：，， ，， ，， ，， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得：， ， 存在满足题意的点，. 重难点04 空间几何体中的截面问题 作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 【典例1】（23-24高三下·河南·月考）在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】如图所示， 在棱上取一点，使得. 因为在棱上，且， 所以，. 由正方体性质可知：平面平面，. 又因为平面平面，平面， 所以平面，则平面. 又因为平面，所以. 取为的中点，在棱上取一点，使得. 则，，所以. 因为为的中点， 则由正方体的性质可得：平面. 又因为平面，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 同理可得：在棱上取一点，使得时有. 所以截面为四边形. 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以. 又因为， 所以，，. 所以等腰梯形为所得截面，梯形的高为. 所以等腰梯形的面积为，故选：C． 【典例2】（23-24高三下·四川泸州·三模）已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正方体的外接球球心是的中点，而， 则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 又平面过线段的中点P， 因此点与点到平面的距离相等， 由平面，，得平面， 在平面内过作于，而平面，于是， 又，从而， 又球的半径， 则正方体的外接球被平面截得的截面圆半径，有， 所以正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积.故选：D 一、求空间几何体表面积的常见类型及思路 1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； 2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加 【典例1】（24-25高三上·广东·三校联合模拟）一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设圆台的高为，所以圆台的母线长为， 则圆台的表面积为，故选：B. 【典例2】（23-24高三下·河南濮阳·模拟预测）正四棱台中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【解析】如图： 取棱的中点，作截面，则、为正四棱台的斜高. 在等腰梯形中，易知，，， 所以. 所以四棱台的侧面积为：.故选：C 【典例3】（23-24高三下·江苏无锡·模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设为圆锥高，为圆锥母线长 以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则， 在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为.故选：C. 二、空间几何体的体积 1、处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 【典例1】（24-25高三上·福建福州·开门考）如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积.故选：B. 【典例2】（23-24高三下·内蒙古包头·三模）如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图设圆柱的下底面的圆心为，连接， 则，且平面， 平面，所以，又，， 所以，又，平面， 所以平面，且， ， 所以.故选：B. 【典例3】（23-24高三下·新疆·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形，，均为等腰梯形，，，，，到平面的距离为5，与间的距离为10，则这个羡除的体积 ． 【答案】200 【解析】连接， . 故答案为：200. 三、共线共点共面证明方法 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【典例1】（23-24高三下·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【解析】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误.故选：D. 【典例2】（23-24高三上·辽宁·名校联考）点分别在空间四边形的边上，若，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与一定平行 B．直线与一定相交 C．直线与可能异面 D．直线与一定共面 【答案】D 【解析】由于，所以四点确定一个平面， 因此直线与一定共面，故D正确，C错误， 只有当且时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确，    只有当但时， 此时四边形为梯形，此时相交于点，故B不正确， 故选：D 【典例3】（23-24高三下高三·全国·专题练习）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点.如图2，将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面.求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【解析】取的中点分别为，连接， 取的中点分别为，连接， 由四边形为菱形，，可知，都是等边三角形， 所以，， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 又由平面平面，同理可得平面， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 则，且，又， 所以，又因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为的中点分别为，所以， 所以，所以四点共面. 四、证明直线与平面平行的方法 1、线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)． 2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线． 3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β. 【典例1】（23-24高三上·广东佛山·月考）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A,如下图所示， 易得，则， 又平面,平面，则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形，四点共面， 又易知， 又平面,平面，则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面，且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足，故选：D. 【典例2】（24-25高三上·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，，分别是，的中点，，，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】证明：取中点，连接，，因为，分别是，的中点， 所以， 又因为底面是菱形，是的中点， 所以， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又不在平面内，平面， 所以平面． 【典例3】（23-24高三下·陕西商洛·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别是和的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图，取的中点，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面； （2）取的中的中点，连接， 因为，所以，且， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为， 所以， 又因为是的中点，所以. 五、证明面面平行的常用方法 1、利用面面平行的定义． 2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 3、利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． 4、利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． 5、利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 【典例1】（23-24高三下高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，为底面圆周上一点，F为线段上一点，（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为垂直底面于垂直底面于O，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【典例2】（23-24高三下·陕西西安·期中）如图，在圆台中，为轴截面，，，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点，． (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）因为，所以， 又平面，平面，所以平面． 因为垂直下底面圆于点，垂直下底面圆于点，所以， 又平面，平面， 故平面． 又，，平面， 所以平面平面． （2）在等腰梯形中，易知，所以． 所以． 易知，，所以． 设点到平面的距离为， 因为，所以， 所以，即点到平面的距离为． 【典例3】（23-24高三下·四川泸州·三模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，与交于点，底面，，点，分别是棱，的中点，连接，，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）因为底面是矩形，AC与BD交于点O，所以O为AC中点， 点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点， 所以OE为三角形的中位线，OF为三角形的中位线， 所以,， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 而,平面，平面， 平面平面. （2）因为底面ABCD是矩形，，， 所以为等边三角形，所以， 所以， 根据体积相等法可知， ， 故三棱锥的体积为. 六、证明线面垂直的方法 1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. 2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 3、性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. 4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) 【典例1】（23-24高三下·江西·月考改编）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点在BC上，平面PAD. 证明：平面PB. 【答案】证明见解析 【解析】设， 由于，所以, 由于是等边三角形，则， 由于平面，平面，故,结合 所以，故，， 故，进而可得, 由于所以,进而, 故， 在中，,故,因此, 又平面，平面，故, 平面，故平面. 【典例2】（23-24高三下·湖南·月考）如图所示，正四棱锥中，分别为的中点，，平面与交于.证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】连接，设，连接， 有平面，由题意得，且, 连接，，设，则，故在上， 过作为垂足，在中，， 故，因为，所以， 故，所以， 所以，又 平面，平面，， 故平面，因为平面，故. 又平面平面，故平面. 【典例3】（23-24高三下·广东·二模改编）如图，在直三棱柱中，点是的中点，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】如图，记与的交点为点，连接，， 因为三棱柱是直三棱柱， 所以． 因为，所以四边形是正方形，故. 因为，，所以 又因为是的中点，所以， 所以D. 因为四边形是正方形，所以点是的中点，所以． 又因为，平面，，所以平面． 七、证明面面垂直的两种方法 法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题； 法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决。 【典例1】（22-23高三上·江西南昌·月考）如图，长方体中，底面ABCD是正方形，，E是上的一点且． (1)求证：平面平面AEC； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）在长方体中，有平面， 又因为平面，所以． 在与中，，又，所以． 所以，所以，所以． 又因为，所以平面，因为平面AEC， 所以平面平面AEC． （2） 【典例2】（23-24高三下·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点. (1)证明：平面平面BCD； (2)求点A到平面BDF的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）取CD的中点O，连接OA，OB， 因为，，所以，且， 又，，，， 所以，可得， 又，平面，所以平面BCD， 又平面ACD，所以平面平面BCD； （2）因为，所以由（1）可得，， ， ， 又F为AC的中点，所以， 在△BDF中，，，， 则，所以， 则. 设点A到平面BDF的距离为d，则， 解得，即点A到平面BDF的距离为. 【典例3】（23-24高三下·安徽·三模改编）如图，在三棱锥中，分别为棱的中点.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：取棱的中点，连接， 因为，所以， 又因为，由直角三角形的性质，可得， 因为，所以， 可得，即， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，故平面平面. 八、平移法求异面直线所成角的步骤 第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移 第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角 第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 【典例1】（23-24高三下·云南·二模）如图，在正方体中，E、F、M、N分别是的中点，则异面直线EF与MN所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，， 由E、F、M、N分别是的中点，得，， 因此是异面直线EF与MN所成的角或其补角， 在中，，因此， 所以异面直线EF与MN所成的角是.故选：C 【典例2】（23-24高三下·河北保定·月考）如图，正三棱柱的各棱长相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】取中点，因为，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在正方形中，分别为的中点， 设可得， 可得，所以， 所以，即， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与所成的角为.故选：D. 【典例3】（23-24高三下·河北·二模）在空间四边形中，分别是上的点，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角. ， 所以，所以. 在中，， 所以与所成角的余弦值为.故选：C. 九、直线与平面所成角的求法 1、垂线法求线面角（也称直接法）： （1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O； （2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； （3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。 2、公式法求线面角（也称等体积法）： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。 公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长。 【典例1】（23-24高三下·辽宁·二模）长方体中，四边形为正方形，直线与直线所成角的正切值为2，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】长方体中，，所以就是直线与直线所成角， 因此，即， 又由平面知是直线与平面所成角， ，故选：B． 【典例2】（2024·全国·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B. 【典例3】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·月考）已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【解析】如图所示： 在正四棱锥中，设点为底面正方形的中心， 所以面，即为侧棱与底面所成的角， 又因为面， 所以， 设点为的中点， 所以，，， 所以， 又由以及三线合一可知， 且由题意侧面与底面所成角的大小为，面面， 所以即为侧面与底面所成的角，即， 在中，有，，， 所以， 在中，有，， 所以， 即正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为.故选：A. 易错点1 对斜二测画法的规则掌握不牢 点拨：由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半。 【典例1】（23-24高三上·宁夏石嘴山·月考）等边三角形的边长为，建立如图所示的直角坐标系，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是 ． 【答案】 【解析】设，如左图，过作 ，则， 如右图，作 轴和轴，使得 ， 在轴上取点 ，使得， 在 轴上取点，使得 ， 过点作轴，使得，连接 ，则是的直观图， 由直观图作法可知 ， 过作于 ，则， 所以 ． 【典例2】（23-24高三下·宁夏石嘴山·四模）如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意,,由可得, 由, 可得,所以, 而， 所以， 结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形还原成平面图形， 如图所示： 由勾股定理可得， 所以满足题意的平面图形的周长是.故选:C. 易错点2 空间点、线、面位置关系不清 点拨：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。 【典例1】（23-24高三下·湖北武汉·月考）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】如图所示 对于A，设平面为平面,平面为平面,为， 则，则，故A错； 对于B，设平面为平面,平面为平面,为， 则，则，故B错； 对于C，过作平面与平面交于直线，， 则，，可得，则，故C正确； 对于D，设平面为平面, 为， 为， 则，则，故D错.故选：C. 【典例2】（23-24高三下·河南·三模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】A：由，可知、可能平行或相交，A错误； B：由，，可知、可能平行或异面，B错误； C：由，，，可知，C正确； D：由，，，可知、可能平行或异面，D错误.故选：C 易错点3 对折叠与展开问题认识不清致误 点拨：注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化． 【典例1】（23-24高三下·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ）    A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，所以，A正确. 对于B，因为，平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，所以平面平面，B正确. 对于C，因为，，则， 所以多面体不是三棱台，C错误. 对于D，延长，相交于点G， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则为直线与平面所成的角. 因为，所以， 解得，，， 则，D正确. 故选：ABD 【典例2】（23-24高三上·福建莆田·月考）如图，在平面四边形ABCD中，和是全等三角形，，，．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①将沿着AC折起，形成三棱锥，如图1；折法②：将沿着BD折起，形成三棱锥，如图2．下列说法正确的是（    ） A．按照折法①，三棱锥的外接球表面积值为 B．按照折法①，存在，满足 C．按照折法②，三棱锥体积的最大值为 D．按照折法②，存在满足平面，且此时BC与平面所成线面角的正弦值为 【答案】AC 【解析】对于A, 和是全等三角形，，，． 可得中点到，，，的距离相等，故为棱锥的外接球的球心，为直径， 外接球的半径为2，三棱锥的外接球表面积值为，故A正确， 对于B：假若存在存在，使得， 由于，平面， 所以平面，由于平面,故, 由于和是全等三角形，所以,故不可能，因此 不存在满足条件，故B错误； 对于C：三棱锥体积最大时，平面平面， 由已知,,所以， 又,故为等边三角形， 过作，则 ，故到平面的距离为1， ，故C正确； 对于D,由于在翻折过程中，, 故当，可得，平面，平面， 则是与平面所成的角， 由，，由勾股定理可得， 在△中，，故D错误．故选：AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$