5.7三角函数的应用 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.7　三角函数的应用 1 关键能力探究 探究点一　三角函数模型在物理中的应用 【典例1】已知,如图表示电流强度I与时间t的关系 I=Asin(ωt+φ) 的图象. 2 (1)试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式. (2)为了使I=Asin(ωt+φ)中t在任意一段 秒的时间内电流强度I能同时取 得最大值|A|与最小值-|A|,那么正整数ω的最小值是多少? 3 【思维导引】(1)由最值确定A,由起始及终止点确定ω,根据五点对应求φ值. (2)由周期与 秒的关系确定ω. 4 【解析】(1)由题图知,A=300,T= 所以ω= 因为- +φ=2kπ,k∈Z, 所以φ= +2kπ= +2kπ,k∈Z. 因为φ∈ ,所以φ= . 所以I=300sin (t≥0). 5 (2)问题等价于T≤ 所以ω≥200π. 所以最小的正整数ω为629. 6 　【类题通法】三角函数模型在物理中的应用 (1)应用广泛:三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流、机械波等具有周期现象的方面. (2)物理术语数学化:解决三角函数模型在物理中的应用问题时,要注意将条件中的物理术语与数学知识的联系、转化,如频率、平衡位置、波峰等. (3)利用数学知识解决问题后要将求出的数据回归其物理意义,以解决实际问题. 7 【定向训练】 　(2023·广州高一检测)弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间的对应数据记录如表: t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0 10.0 17.7 20.0 17.7 10.0 0 -10.1 -17.8 -20.0 8 (1)试根据这些数据确定这个振子的位移y关于时间t的函数解析式. (2)画出该函数在t∈ 的函数图象. (3)在一次全振动过程中,求位移为10 mm时t的取值集合. 9 【解析】(1)设函数解析式为y=Asin (ωt+φ), 由表格可知:A=20,T=0.6, 则ω= 由函数图象过点(0,-20),得-20=20sin φ,即sin φ=-1, 则φ=- +2kπ,k∈Z,令k=0,可得φ=- . 则这个振子的位移y关于时间t的函数解析式为 y=20sin ,t≥0. 10 (2) t 0 0.15 0.3 0.45 0.6 0 π y -20 0 20 0 -20 11 由表格数据知,y=20sin 的图象如图所示, 12 (3)由题意得:20sin =10,即sin = , 则 或 化简得t= 或t= 又t∈ ,则t为0.2,0.4, 所以在一次全振动过程中,位移为10 mm时t的取值集合为 13 探究点二　三角函数模型的实际综合应用 【典例2】如图为大型观览车主架示意图.点O为轮轴中心,距地面高为32 m(即OM=32 m),巨轮半径为30 m,点P为吊舱与轮的连结点,吊舱高2 m(即PM=2 m),巨轮转动一周需15 min.某游人从点M进入吊舱后,巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止,记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M′. 14 (1)试建立点M′距地面的高度h(m)关于转动时间t(min)的函数关系,并写出定义域. (2)求转动过程中点M′超过地面45 m的总时长. 15 【思维导引】本题的实际背景具有“周而复始”的性质,故建立三角函数模型解题. (1)以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,以Ox为始边,按逆时针方向转动至终边OP′,写出点P′的纵坐标,计算M′点距地面的高度. (2)利用点M′超过地面45 m时得出三角函数不等式,求出时间t的取值范围即可. 16 【解析】(1)如图所示,以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,则以Ox为始 边,按逆时针方向经过时间t(min)转动至终边OP′所形成的角为 则点P′的纵坐标为30 sin ,所以M′点距地面的高度为 17 (2)当点M′超过地面45 m时,h= 即cos t<- ,所以 k∈Z, 即5+15k<t<10+15k,k∈Z; 因为t∈[0,45],所以t∈(5,10)∪(20,25)∪(35,40),所以总时长为15分钟,即 点M′超过地面45 m的总时长为15分钟. 18 　【延伸探究】在本例中,如何确定游客(即点M′)处在最高点的时刻? 19 【解析】方法一:因为巨轮转动一周需15 min,匀速转动3周后停止,且0时刻点 M′最低, 所以第 min,第 +15= min, +15+15= min,游客(即点M′)处在最高点. 20 方法二:依题意,求 h=30sin t∈[0,45]取得最大值时对应的时间t. 令 t=2kπ+π,k∈Z,得t= (2k+1),k∈Z, 所以当k=0,1,2时,t1= ,t2= ,t3= , 即第 min,第 +15= min,第 +15+15= min,共有三个时刻,游客(即 点M′)处在最高点. 21 　【类题通法】解三角函数应用问题的基本步骤 22 【定向训练】 　某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是水深数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 23 据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦函数模型y=Asin ωt+B的图象. 24 (1)试根据数据表和曲线,求出y=Asin ωt+B的解析式. (2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间) 25 【解析】(1)从拟合的曲线可知,函数y=Asin ωt+B的一个周期为12小时,因此 所以A= (ymax-ymin)=3, B= (ymax+ymin)=10. 所以函数的解析式为y=3sin t+10(0≤t≤24). 26 (2)由题意,水深y≥4.5+7, 即y=3sin t+10≥11.5,t∈[0,24],所以sin 所以t∈[1,5]或t∈[13,17], 所以,该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港. 若欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 27 【补偿训练】 　　 如图为2019年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线,其近似满足函数 y=Asin 的半个周期的图象,则该天8h的温度 大约为 (　　) A.16 ℃　　　B.15 ℃　　　 C.14 ℃　　　D.13 ℃ 28 【解析】选D.由题意得A= 因为2× =16, 所以 =16, 所以ω= , 所以y=10sin ,将x=6,y=10代入,得10sin 29 即sin =-1,由于 <φ<π,可得φ= , 所以y=10sin 当x=8时,y=10sin ≈13,即该天8h的温度大约为13 ℃. 30 【课堂小结】 31 课堂素养达标 1.(2022·福州高一检测)已知以原点O为圆心的单位圆上有一质点P,它从初始 位置P0 开始,按逆时针方向以角速度1rad/s做圆周运动.则点P的纵坐标 y关于时间t的函数关系式为 (　　) A.y=sin(t+ ),t≥0 B.y=sin(t+ ),t≥0 C.y=cos(t+ ),t≥0 D.y=cos(t+ ),t≥0 32 【解析】选A.当时间为t时,点P所在角的终边对应的角等于t+ ,所以点P的 纵坐标y关于时间t的函数关系式为y=sin ,t≥0. 33 2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin 据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 (　　) A.5 B.6 C.8 D.10 34 【解析】选C.由图象知:ymin=2,因为ymin=-3+k, 所以-3+k=2,解得:k=5, 所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8. 35 3.如图,在平面直角坐标系xOy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P,绕原点按逆时 针方向做角速度为 弧度/分钟的匀速圆周运动,则M与N的纵坐标之差第4次 达到最大值时,N运动的时间为 (　　) A.37.5分钟 B.40.5分钟 C.49.5分钟 D.52.5分钟 36 【解析】选A.由题意可得:yN=sin 所以yM-yN= 令sin 解得: k=0,1,2,3.所以M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间=3×12+ =37.5(分钟). 37 4.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关 系:f(t)=10-2sin t∈[0,24],该实验室这一天的最大温差为________________.  38 【解析】因为f(t)=10-2sin t∈ 所以 当 时,即t=14时,函数f(t)取得最大值为10+2=12,当 时,即t=2时,函数f(t)取得最小值为10-2=8,所以一天的最大温差为12-8= 4(℃). 答案:4℃ 39 $$