专题04 二次函数的对称性及最值问题（四大题型，35题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题04 二次函数的对称性及最值问题（四大题型，35题）（原卷版） 目录 题型一：已知抛物线上对称的两点求对称轴 1 题型二：根据二次函数的对称性求函数值 3 题型三：y=ax²+bx+c的最值 5 题型四：利用二次函数对称性求最短路径 6 题型一：已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象经过，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 3．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（其中，，是常数，且）的图象过点，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24九年级上·重庆潼南·期末）关于的一元二次方程的两根是，则抛物线的对称轴是 ． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x 0 2 4 5 m 则m 0（填“”或“”）. 6．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）若关于的二次函数的图象过点，，其中是常数，则 ． 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称．其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为，，与轴分别相交于点，． 已知，，，则图案中这段抛物线的函数表达式为 ． 8．（2024·浙江宁波·模拟预测）设二次函数（，b，c是实数），其图象上有两点，且图象的对称轴为直线． (1)当时，求二次函数图象与y轴交点的坐标及t的值． (2)点在函数图象上，若，求t的取值范围及的取值范围． 9．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数． (1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． (2)若，为抛物线上两个不同的点． ①当时，，求a的值． ②若对于，都有，求a的取值范围． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在二次函数中． (1)若它的图像过点，则t的值为多少？ (2)当时，y随x的增大而减小，求t的取值范围； (3)若，，均在此二次函数的图像上，且．求m的取值范围． 题型二：根据二次函数的对称性求函数值 11．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 12．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（k，c为实数）的图象过点，，三点，且，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（2024·浙江宁波·模拟预测）设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则当自变量x取时的函数值与（    ） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知和时，多项式的值相等，则当时，多项式的值为 . 16．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数． (1)若函数经过点，求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）. (3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围． 17．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的表达式． (2)若和都是二次函数图象上的点，且，求 的最小值． (3)若点和都在二次函数的图象上，且． 对于某一个实数，若的最小值为1，则的最大值为多少？ 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表： (1)直接写出的值，并求该二次函数的解析式； (2)根据你的解题经验，直接写出的解集． 19．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（b，c是常数）过点三点． (1)若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式； (2)已知， ①若，求的取值范围； ②若，试比较与的大小． 题型三：y=ax²+bx+c的最值 21．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 22．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 23．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（，为常数且），当时，随的增大而增大，则的最大值为 ． 24．（2024·浙江杭州·模拟预测）若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段的中点，面积的最小值为 ． 25．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知函数（b为常数），时，函数的最大值与最小值之差为25，则b的值为 ． 26．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 27．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象经过，两点． (1)当时，求该二次函数表达式． (2)判断该函数与x轴有几个交点，并说明理由． (3)若时，有，求的最值． 28．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（a为常数，且）． (1)若二次函数顶点横坐标为3，求该函数表达式； (2)若点，在函数图像上，且，试比较和的大小； (3)若函数图像开口向下，当时，，求a的取值范围． 29．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数（），记该函数在上的最大值为，最小值为．已知． (1)当时，求的值． (2)当，时，求的值． (3)已知，（为整数），若为整数，求的值． 30．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数，记在某个范围时，函数的最小值为，最大值为，令，回答以下问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的范围． (3)当时，求的值． 题型四：利用二次函数对称性求最短路径 31．（2024·江苏盐城·三模）中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 33．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的是 ．（填序号） 34．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； (2)根据图象回答：当x取何值时，？ (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标． 35．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的对称性及最值问题（四大题型，35题） 目录 题型一：已知抛物线上对称的两点求对称轴 1 题型二：根据二次函数的对称性求函数值 10 题型三：y=ax²+bx+c的最值 21 题型四：利用二次函数对称性求最短路径 35 一、题型一：已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象经过，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线经过点，，求得抛物线对称轴为，再根据二次函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵点离对称轴较近，点、点离对称轴较远，且， ∴， 故选：C． 2．（2024·浙江·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．先判断出抛物线开口方向下，求出对称轴范围即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ，即， 解得：， ，， ， ， ，， 抛物线的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， 点和也在此抛物线上， 若恒成立，则； 若恒成立，则； 故选：A． 3．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数（其中，，是常数，且）的图象过点，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及通过不等式的性质确定式子的范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由与轴的交点坐标为，又因为图象过，根据抛物线的对称性求得对称轴为，得到，将，代入二次函数，得到，，从而得到，，通过的范围，推出的范围以及的范围，从而推出的范围． 【详解】将代入得到， 与轴交点为， 又该图像过， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 将，三个点代入二次函数，得 ， ， ，， 若，则， ， 若，则， 又， ， ． 故选：A． 4．（23-24九年级上·重庆潼南·期末）关于的一元二次方程的两根是，则抛物线的对称轴是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，根据方程的解，得出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线的对称性，即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根是， ∴抛物线与x轴的交点坐标， ∴该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x 0 2 4 5 m 则m 0（填“”或“”）. 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据找出对称轴，进而根据增减性判断m的值． 【详解】解：由表可知，和时对应的函数值相等， 二次函数图象的对称轴为：直线， 时，，时，，， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）若关于的二次函数的图象过点，，其中是常数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征，二次函数的对称性，利用二次函数的对称性得到，进而得到，得到，把代入二次函数解析式计算即可求出，根据二次函数的对称性得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象过点，， ∴，关于直线对称， ∴， ∴， 把点代入得， ， 故答案为：． 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于轴对称．其中半圆与轴相交于点，两支抛物线的顶点分别为，，与轴分别相交于点，． 已知，，，则图案中这段抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据轴对称图形的性质得出点E坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 记与y轴的交点为F，根据图像关于y轴对称且直径，得出点，再根据对称性求得点A坐标，将点A坐标代入抛物线解析式，求出a的值即可即可解答． 【详解】解：记与y轴的交点为F， ∵且半圆关于y轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴左侧抛物线的顶点E坐标为， ∵且关于y轴对称， ∴, 设，则有，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴图案中这段抛物线的函数表达式为 故答案为：． 8．（2024·浙江宁波·模拟预测）设二次函数（，b，c是实数），其图象上有两点，且图象的对称轴为直线． (1)当时，求二次函数图象与y轴交点的坐标及t的值． (2)点在函数图象上，若，求t的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)；2 (2)的取值范围为，的取值范围为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）当时，，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为，根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； ∵， ∴点关于对称轴对称， ∴； （2）解：当时，， ∴抛物线与y轴交点坐标为， ∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当点，点，均在对称轴的右侧时， ， ∵， ∴，即（不合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，，对称轴为， ∴， ∴，解得：， ∴的取值范围为，的取值范围为． 9．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数． (1)若a为整数，二次函数图象过点（其中n是正整数），求抛物线的对称轴． (2)若，为抛物线上两个不同的点． ①当时，，求a的值． ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、二次函数的对称轴公式， （1）把代入，求得，，从而可得，再代入对称轴公式求解即可； （2）①根据对称轴为直线，进行求解即可； ②根据二次函数的图象与性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得，，． ∵n是正整数，a为整数， （舍去），．则， ∴对称轴为直线． （2）解：①时，， ，两点关于抛物线的对称轴对称， 则对称轴为直线， ． ②由题意可知，对于任意的，y随x的增大而增大， 可得， 解得． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在二次函数中． (1)若它的图像过点，则t的值为多少？ (2)当时，y随x的增大而减小，求t的取值范围； (3)若，，均在此二次函数的图像上，且．求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入中，即可求出t的值． （2）根据抛物线的对称轴公式可得的对称轴为，且开口向上，由抛物线的开口方向可得抛物线的增减性，由此可求得t的取值范围． （3）由A、C 两点的纵坐标相同且都在二次函数的图像上可知A、C两点是对称点，由此可求的抛物线的对称轴为，也为．由可得，即．由A、C 两点的坐标可知A点在对称轴左侧，C点在对称轴右侧，由于抛物线与y轴的交点坐标为，其关于对称轴的对称点为．又由于，因此B点可能在A点左边，也可能在C点右边．分两种情况分别求出m的取值范围即可． 【详解】（1）将点代入中，得 ， 解得． （2）由得抛物线的对称轴为， ， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， 又∵时，y随x的增大而减小， ． （3）∵和的纵，坐标相同，且均在此二次函数的图像上， ∴二次函数的对称轴为，也为， ． ， ， ． ，     ∴A点在对称轴左侧，C点在对称轴右侧， 由得抛物线与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为． ， ∴B点可能在A点左边，也可能在C点右边． ①当B点可能在A点左边时， ， 解得． ②当B点在C点右边时， ， 解得． 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，二次函数图像的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，二次函数的对称性、增减性．分类讨论是解题的关键． 二、题型二：根据二次函数的对称性求函数值 11．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，认真观学会利用表格信息解决问题是解题的关键． 根据表格信息找出函数值时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案． 【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，或， ∴当时，x的取值范围为或， 故选C． 12．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（k，c为实数）的图象过点，，三点，且，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及开口方向、对称轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出对称轴，结合，，得，，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴为 ∵， ∴设点到对称轴的距离为，互为相反数 ∴ ∵， ∴ 当时，函数的开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∴，故D选项是正确的； 当时，函数的开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∴， 故三个选项是错误的； 故选：D 13．（2024·浙江宁波·模拟预测）设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方向是解题的关键．根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据选项中所给出的m的值都a的正负依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数解析式可知， 抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为和在抛物线上， 则点关于直线的对称点为， 因为，， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大， 则抛物线的开口向上，即．故A不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下，即．故B选项不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下，即． 故C选项符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为， 所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的， 则抛物线的开口向下，即．故D选项不符合题意． 故选：C． 14．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则当自变量x取时的函数值与（    ） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象性质，利用二次函数的对称性解决问题是关键．由题意可得以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．求出，代入求出y，再分别把每项的函数值y，看看y值是否相等即可． 【详解】解：∵的对称轴为直线， ∵自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则以、为横坐标的两点关于直线对称， ∴， 代入二次函数的解析式得：， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知和时，多项式的值相等，则当时，多项式的值为 . 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，令，可知对称轴为直线，根据题意，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵当和时，的值相等， ∴ 即 解得：， 即当时，多项式的值为． 故答案为：． 16．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数． (1)若函数经过点，求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）. (3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由经过点，可得，再由对称轴是，进而可以判断得解； （2）依据题意，抛物线的对称轴是直线，结合的开口向上，从而抛物线上点离对称轴越近函数值就越小，又，故可判断得解； （3）依据题意，令，又当时，始终成立，即当时，恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线，进行分类讨论即可判断得解． 【详解】（1）解：经过点， ． ． 抛物线的对称轴是直线． （2）解：由题意，抛物线的对称轴是直线． 的开口向上， 抛物线上点离对称轴越近函数值就越小． ， ． 故答案为：． （3）解：由题意，令， 又当时，始终成立， 当时，恒成立． 又抛物线的对称轴为直线， 可分以下情形讨论． ①当时，即． ， 当时，随的增大而减小． 当时，． ． 此时无解． ②当时，即． ， ． ． ． 此时． ③当时，即． ， 当时，随的增大而增大． 当时，． ． 故此时无解． 综上，． 17．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的表达式． (2)若和都是二次函数图象上的点，且，求 的最小值． (3)若点和都在二次函数的图象上，且． 对于某一个实数，若的最小值为1，则的最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据图象上点的坐标特征得出，由可知，即可求得，利用二次函数的性质即可求得最小值； （3）由题意可知当点和在对称轴的同侧时的值最小，当点和在异侧是的值最大，据此求解即可． 【详解】（1）解： 二次函数的图象过点， ， ， 二次函数的表达式为； （2）解：，和，都是二次函数图象上的点， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是； （3）解：抛物线， 图象开口向上，对称轴为直线， 点和都在二次函数的图象上，且．对于某一个实数，若的最小值为1， 点和在对称轴的右侧，此时，则， ①，②， ②①得， ， 此时点，和，， 当点是点，的对称点时，则的值最大， 对称轴为直线， 点，的对称点为，， 此时， 的最大值为：． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如表： (1)直接写出的值，并求该二次函数的解析式； (2)根据你的解题经验，直接写出的解集． 【答案】(1)，二次函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据表格中的数据，可得出抛物线的对称轴，据此可求出的值，再利用待定系数法可求出函数的解析式； （2）先求出时，的值，再利用二次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：由所给表格可知，二次函数的图象经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 又因为， 所以时和时的函数值相等， 所以． 将点，，代入函数解析式得：， 解得， 所以二次函数的解析式为． （2）解：由得：， 将代入二次函数的解析式得：， 解得，． 又因为抛物线的开口向上， 所以当时，二次函数的图象在直线的下方，即， 所以的解集为． 19．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查抛物线的对称性，根据题意，可知，抛物线的对称轴为的中垂线，即，点关于对称轴对称，即可；利用对称性求出对称轴，是解题的关键 （2）本题考查圆的确定，根据圆心为线段的中垂线的交点，即可得出结果．掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵经过三点有一条抛物线，， ∴抛物线的对称轴为：， ∴当关于对称轴对称时，满足题意， ∴； 故答案为：； （2）∵经过三点有一个圆，圆心为点，则点为线段的中垂线的交点， 如图：的中垂线的解析式为：，的中垂线的解析式为：， ∴当时，， ∴； 故答案为：． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（b，c是常数）过点三点． (1)若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式； (2)已知， ①若，求的取值范围； ②若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．需要熟练掌握二次函数的性质方可解答该题． （1）根据顶点式写出即可； （2）①由抛物线过点A，得到，由，可知，得到，即可得到，由，可得；②由，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为二次函数的顶点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴ ，得， 将代入，得到， ， ， ； ②， ， ，， ∴， ， ． 三、题型三：y=ax²+bx+c的最值 21．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．先分析和时导出，根据最小值可得最小值为，通过配方得到，再根据确定的取值． 【详解】解：当时，，，当，， ， 当时，，，当，， ， 的最小值为2， 最小值为， ， 当时，取得最小值，即， ， 由题意知，所以， 当时，，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意， 故选：D 22．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值； 【详解】由题意得，， ， 当时，m 有最小值，当时，m有最大值， ， ，， 当时，n随着b的增大而减小， 当时，n 有最小值1， 当时，n有最大值4， ， ， ， ， 解得：， ， ， n有最大值3，最小值1； 故选：C． 23．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数（，为常数且），当时，随的增大而增大，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，由随的增大而增大的取值范围可得与的数量关系，进而求解． 【详解】解：，为常数且， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ，即， ， 最大值为． 故答案为：． 24．（2024·浙江杭州·模拟预测）若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段的中点，面积的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数最值，熟练掌握化简二次根式是解答本题的关键．根据题意设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为联立方程组得到坐标，由中点坐标公式得到再根据两点间的距离公式得到的代数式，由面积公式得到，利用均值不等式得到最小值即可． 【详解】解：由，且两直线均与抛物线有两个交点，所以直线k值都存在， 设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为 直线与抛物线联立方程组为： ，消去y得 设 由根与系数的关系得： ∵为线段的中点， ∴ ∴ 同理得 ∴ ∵ ∴ 根据均值不等式，当时， 即时，的面积最小值为4． 故答案为：4． 25．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知函数（b为常数），时，函数的最大值与最小值之差为25，则b的值为 ． 【答案】或/或 【分析】利用函数的最值分四种情况讨论求解． 本题考查二次函数的图像及性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质，数形结合解题是关键． 【详解】， ∴对称轴为，顶点坐标为． ①当即时， 时，， 时，， 则， 解得，（不合题意，舍去）； ②当即时， 时，， 时，， 则 ， 解得，（不合题意，舍去）； ③当即时， 时，， 时，， 则， 解得（不合题意，舍去）； ④当即时， 时，， 时，， 则， 解得（不合题意，舍去）． 综上，b的值为或， 故答案为：或． 26．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出  ，得出，代入得，进而，即可得证． 【详解】（1）解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； （2）∵，，   ∴，   ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，     ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 27．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象经过，两点． (1)当时，求该二次函数表达式． (2)判断该函数与x轴有几个交点，并说明理由． (3)若时，有，求的最值． 【答案】(1) (2)该函数与轴没有交点，理由见解析 (3)的最小值为2，最大值为4 【分析】本题考查了二次函数的图象性质、一元二次方程式的根的判定式、二次函数的最值等知识点. （1）根据当时，求出两点坐标分别为，，再代入解析式求b、c即可； （2）把将两点坐标，代入二次函数解析式求出c，，再求即可证明； （3）求出当时，，，根据二次函数的最值取值确定m、n取值即可解答． 【详解】（1）当时，两点坐标分别为，，将这两点坐标分别代入二次函数中得出： ， 解得， 则二次函数表达式为； （2）该函数与x轴没有交点，理由如下： 将两点坐标，分别代入， 得出， ， 故二次函数解析式为： 又∵当时，即， ， 故该函数与x轴没有交点； （3）由（2）得出，则的对称轴为， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∵当时，，函数最大值为， ∴， ∵当时，即：， ∴当时，，， 根据该函数的图象性质，当，，，此时为最小值. 当，时，此时为最大值， 综上所述，的最小值为2，最大值为4． 28．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（a为常数，且）． (1)若二次函数顶点横坐标为3，求该函数表达式； (2)若点，在函数图像上，且，试比较和的大小； (3)若函数图像开口向下，当时，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，且 【分析】（1）由对称轴直线，可得，进而可得函数表达式为； （2）求出和的值，作差得 ，根据判断大小即可； （3）先求出抛物线与轴的交点，对称轴，顶点坐标，由二次函数图像开口向下，可得，然后在范围内分当和两种情况确定函数的最大值，从而得出结论． 【详解】（1）（1）图像过，， ∴对称轴直线，得， ，即； （2）（2）点，在函数图像上， ∴， ， ， ∵， ∴， ； （3）（3）∵二次函数， 由题意，当时， 解得：，， ∴对称轴． 当时， ． ∴二次函数图像的顶点坐标为． 由（1）可知：当时，， 当时，， ∵二次函数图像开口向下， ∴， ∵对称轴为， ∴当，即时，二次函数图像在顶点处取得最大值， ∴， 解得：， ， 当，即， 由题意可知，，解得：， 即， 综上所述，当时，，a的取值范围是：． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与坐标轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，采用了分情况讨论的解题方法．解题的关键是在某一范围内的函数最大值的确定． 29．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数（），记该函数在上的最大值为，最小值为．已知． (1)当时，求的值． (2)当，时，求的值． (3)已知，（为整数），若为整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了抛物线的增减性应用， 清晰的分类讨论是解本题的关键. （1）根据．结合抛物线开口向上，对称轴为直线，点与对称轴的距离越大，函数值越大，计算确定最大值为，最小值为．结合，列式计算． （2）当，时，当时，函数变成．确定抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，当时，最大值为，最小值为．当，最大值为，最小值为．当，最大值为，最小值为．计算即可． （3）根据题意，，确定时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， 最大值为，最小值为，根据整数的性质，计算即可． 【详解】（1）．∵．， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵在的范围中， ∴y的最小值为； ∵， ∴时，函数取得最大值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得． （2）当时， ∴． ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵，， ∴， 当时， 直线不在中，故取不到最小值； ∵， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时即， 当， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得都不符合题意，舍去； 当， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得都舍去； 当时即， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，符合题意的m值为或． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为， ∴最大值为，最小值为． ∴ ∵是整数， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 30．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数，记在某个范围时，函数的最小值为，最大值为，令，回答以下问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的范围． (3)当时，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质及分类讨论思想成为解题的关键． （1）先求得抛物线的对称轴，再求得函数的最大值、最小值，然后代入计算即可； （2）由（1）可知满足题意，再根据二次函数的对称性可得满足题意，则满足题意；而显然不符合题意，据此即可解答； （3）分、、、四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∴当时，函数有最小值；当时，函数有最大值， ． （2）解：由（1）知，当时，，满足题意； 根据对称性可知：当时，，最小值，最大值，此时； 满足， 当时，，不满题意； 综上，a的取值范围为． （3）解：①时，即， 当， 当， ，解得：（不符，舍去）； ②当时，，， ，解得：； ③当时，此时， ， 当时，取到最小值， （舍去）或， ④当时．此时， ， 当时，取到最小值，解得：（舍去）或（舍去）． 综上所述：或． 四、题型四：利用二次函数对称性求最短路径 31．（2024·江苏盐城·三模）中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，二次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识．过点作，交的延长线于点，根据题意可得，设，则，，由可得，进而得到，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，   ， ， 在中，设，则， ， 又， ， ， 在中，， 即， 当时，最小，此时， 的最小值为， 故选：C． 32．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 33．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】①联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B关于y轴的对称点，作点C关于x轴的对称点，连接与x轴、y轴分别交于D、E两点，最后问题可求解． 【详解】解：联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2可得：， 其中， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且，开口向下， ∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大， ∵点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上， ∴，故②错误； 由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为： ，故③正确； 当m＝1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2， ∴， 作点B关于y轴的对称点，作点C关于x轴的对称点，连接与x轴、y轴分别交于D、E两点，如图所示： ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，知最短，而BC长度一定， ∴此时四边形BCDE的周长为+BC最小， 由两点距离公式可得：， 故④错误； 综上所述：正确的有①③； 故答案为①③． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键． 34．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； (2)根据图象回答：当x取何值时，？ (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把，代入，利用待定系数法求解，，再求解点的坐标即可得到答案； （2）由，可得抛物线的图像在轴的下方，结合图象可得的取值范围，从而可得答案； （3）由，关于抛物线的对称轴对称，可得与对称轴的交点满足最小，从而可得答案． 【详解】（1）把，代入， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 由， ， ∴； （2） 抛物线与轴交于，，， 抛物线的图象在轴的下方， 结合图象可得：； （3）∵，， ∴对称轴是直线， 如图，当A、B、P三点共线时，的值最小， 此时点P是对称轴与x轴的交点，即． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键． 35．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长． （1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）先求出对称轴，得出点、关于对称轴对称，连接交对称轴于点P，连接，此时的值最小，即为的长求出即可． 【详解】（1）解：将点、、代入，得： ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）抛物线的对称轴为， 点、关于对称轴对称， 连接交对称轴于点P，连接，此时的值最小，    ， 的最小值是， 、， ， 的最小值为． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$