专题05 三角形全等的判定（十大题型，65题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题05 三角形全等的判定（十大题型，65题）（原卷版） 目录 题型一：用SSS证明三角形全等 1 题型二：全等的性质和SSS综合 2 题型三：用SAS证明三角形全等 5 题型四：全等的性质和SAS综合 6 题型五：用ASA（AAS）证明三角形全等 8 题型六：全等的性质和ASA（AAS）综合 11 题型七：用HL证全等 13 题型八：全等的性质和HL综合 15 题型九：添加条件使三角形全等 17 题型十：灵活选用判定方法证全等 18 题型一：用SSS证明三角形全等 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角痕迹如图所示，则作图的依据是 ．    3．（22-23八年级上·江苏·周测）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是 ．                   4．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点， (1)求证； (2)若，，求的度数． 5．（22-23八年级上·湖北黄冈·期中）如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，．求证：． 题型二：全等的性质和SSS综合 6．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A．70° B．85° C．110° D．25° 7．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知点A，B，D，E在同一直线上，，，，若，则的度数为 ．    8．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知，，若，则 度． 9．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在与中，在边上，，，，若，则 ， ． 10．（2024·四川南充·三模）如图，，点P在的内部，满足．求证：． 11．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知与，连接，且，求证：． 12．（2024·吉林白城·一模）如图，点E、F在上，且，求证：． 13．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）在中，的中点分别是E，F，G，是高，求证：． 14．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由． 15．（23-24八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 题型三：用SAS证明三角形全等 16．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使，，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道，小红是根据来判断的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（    ） A． B． C． D． 17．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，M是的中点，平分，，若，，则的长为 ． 18．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，F是高和高的交点． (1)求证：． (2)写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 19．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，， ，点恰好落在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（22-23八年级上·山东潍坊·阶段练习）已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若，．    (1)求证：≌； (2)求的周长． 题型四：全等的性质和SAS综合 21．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图．在和中，在同一直线上，，，．求证：． 22．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证： (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 23．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，，F为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图:交于O点，.求证:. 25．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 题型五：用ASA（AAS）证明三角形全等 26．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（    ）    A． B． C． D．不能确定 28．（22-23八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，，且平分，则利用（    ）可说明与全等．    A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 30．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．    证明：∵（    ）， ∴____________， ∴______， 在和中，， ∴（    ）． 31．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，D为上一点，，的角平分线交于点F．      (1)求证：； (2)G为上一点，当平分，求证：； (3)在（2）的基础上，连接求证：． 32．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：，，，，垂足分别为点D，点E．    (1)如图1， ①证明； ②证明． (2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段，，之间的数量关系并说明理由． 33．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证：    (1)； (2)． 34．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，和的边、在同一直线上（D点在C点的左边），已知，，．求证：．    35．（22-23八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过作的垂线，垂足为，过作交的延长线于点． (1)求证：： (2)，求的长． 题型六：全等的性质和ASA（AAS）综合 36．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，， D 为延长线上一点，， 且， 与的延长线交于点 F， 若， 则的值为 .    38．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 39．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 40．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，作分别交于于点，延长至点，连接，使得，若，    (1)求证：； (2)若平分，且，求的度数． 题型七：用HL证全等 41．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，于点D，于点F，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 42．（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（    ）    A． B． C． D． 43．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）    A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 44．（22-23八年级下·广西来宾·期末）如图，已知，．则证明的理由是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，，垂足分别为E、F， （1）若，且，则，其根据是 ． （2）若，且，则，其根据是 ． （3）若，且，则，其根据是 ．    46．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，，于点D，于点E，，若，则 ．    47．（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是 （写出一个条件即可）． 48．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，，垂足分别为D、C，，．求证：．    49．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 50．（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，在中，，为上一点，，，垂足分别为、，且．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．    (1)你选择的是：____________________； (2)证明： 题型八：全等的性质和HL综合 51．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 52．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 53．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 54．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知：如图，，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 55．（23-24八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在中，，，为延长线上一点，点在上，且．求证：． 题型九：添加条件使三角形全等 56．（2024·河北唐山·三模）在和中，，，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 57．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件：；；；，其中能判定的有（     ）    A． B． C． D． 58．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　） A． B． C． D． 59．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，交于点，添加以下四个条件中的一个，其中不能使的条件是（   ）    A． B． C． D． 60．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，．再添加一个条件能使，此条件可以是 或 或 或 或 题型十：灵活选用判定方法证全等 61．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 62．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）判断两个三角形全等的方法不正确的有（   ） A．两边和一个角分别相等的两个三角形 B．两个角和一个边分别相等的两个三角形 C．三边分别相等的两个三角形 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 63．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在等腰中，，为腰上的高线，则图中全等的直角三角形有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 64．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 65．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形全等的判定（十大题型，65题）（解析版） 目录 题型一：用SSS证明三角形全等 1 题型二：全等的性质和SSS综合 5 题型三：用SAS证明三角形全等 12 题型四：全等的性质和SAS综合 16 题型五：用ASA（AAS）证明三角形全等 21 题型六：全等的性质和ASA（AAS）综合 31 题型七：用HL证全等 37 题型八：全等的性质和HL综合 46 题型九：添加条件使三角形全等 50 题型十：灵活选用判定方法证全等 54 一、题型一：用SSS证明三角形全等 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应用判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【详解】解：如图示排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形： ，，，，，，，，，，．共11个. 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角痕迹如图所示，则作图的依据是 ．    【答案】/边边边 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和基本作图，熟练掌握全等三角形判定定理是解此题的关键． 从作图可知，，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【详解】解：从作图可知，， 在和中 ， ， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·江苏·周测）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是 ．                   【答案】 【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC=∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解． 【详解】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∴AE就是∠PRQ的平分线， 故答案为：SSS． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． 4．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点， (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由，可得，利用即可证明； （）如图，由（）知，，则，得到，进而推导出，由三角形内角和定理可得，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； （2）解：如图， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（22-23八年级上·湖北黄冈·期中）如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据SSS定理得出（SSS），故，再根据是的外角，可知，可得出，故可得出答案． 【详解】解：在和中， ∴（SSS） ∴； ∵， ∴ 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键． 二、题型二：全等的性质和SSS综合 6．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A．70° B．85° C．110° D．25° 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 7．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知点A，B，D，E在同一直线上，，，，若，则的度数为 ．    【答案】/85度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由“”可证，可得，可证，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知，，若，则 度． 【答案】105 【分析】本题考查邻补角定义，全等三角形性质及判定．根据题意可证，继而得到，再利用邻补角定义计算度数即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：105． 9．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在与中，在边上，，，，若，则 ， ． 【答案】 【分析】证明，得出，，进而可得，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ，， ， ， ，， ． 故答案为：，． 10．（2024·四川南充·三模）如图，，点P在的内部，满足．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先依据“”判定和全等得，再根据等腰三角形三线合一定理即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， 即是等腰三角形顶角的角平分线， 根据等腰三角形三线合一定理得：． 11．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知与，连接，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查“等角对等边”、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．由，得，而，即可根据“”证明，得，则． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2024·吉林白城·一模）如图，点E、F在上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据，得，利用证，再利用全等三角形性质即可证明结论，明解题的关键是学会利用全等三角形解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ， ． 13．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）在中，的中点分别是E，F，G，是高，求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了三角形的中位线，直角三角形的性质，以及三角形全等的判定与性质，掌握斜边的中线等于斜边的一般，三角形的中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键；先连接，利用中位线的性质和直角三角形的性质可证，，进而可证，由全等三角形性质即可得证． 【详解】 证明：连接， 的中点分别是E，F，G ， ，为的中位线， ，， 是的高， ， G是的中点，E是的中点， ，， ，， ， ， ． 14．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是先证明，得到，即可求解． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴． 15．（23-24八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）实践小组的判断对，理由见解答． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）证明，得，即可解决问题； （2）根据等腰三角形的三线合一可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 是的平分线； （2）解：实践小组的判断对，理由如下： 是等腰三角形，， 由（1）知：平分， ， 是铅锤线， 是水平的． 门框是水平的． 实践小组的判断对． 三、题型三：用SAS证明三角形全等 16．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使，，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道，小红是根据来判断的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答． 【详解】解：在和中，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 17．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，M是的中点，平分，，若，，则的长为 ． 【答案】2.5 【分析】延长交于点D，易得，利用全等三角形的性质可得，N是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长． 【详解】如图，延长交于点D． ∵，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴，， ∴N是的中点． ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案是：2.5． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线． 18．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，F是高和高的交点． (1)求证：． (2)写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等解答即可； （2）由题意得，则，证明即可． 【详解】（1）证明：∵F是高和高的交点， ∴， ∴； （2）解：，证明如下； ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了同角的余角相等，三角形内角和定理，等角对等边，全等三角形的判定等知识．熟练掌握同角的余角相等，三角形内角和定理，等角对等边，全等三角形的判定是解题的关键． 19．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，， ，点恰好落在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由可得，进而由即可证； （）由可得，又根据可得，进而由全等三角形的性质可得，再利用角的和差即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（22-23八年级上·山东潍坊·阶段练习）已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若，．    (1)求证：≌； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是 【分析】（1）利用角平分线平分角，以及，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，对应边相等和三角形的周长公式，进行计算即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ． （2）解：，，， ， ， 的周长是． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 四、题型四：全等的性质和SAS综合 21．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图．在和中，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质得出，再利用“”证明即可得证． 【详解】证明：， ，即， ， ， 在和中 ． 22．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证： (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据角平分线的定义以及可得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵在和中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，，F为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． （1）由，即可利用证得≌； （2）由，即可求得与的度数，即可得的度数，又由，即可求得的度数，则由即可求得答案． 【详解】（1）证明：， 在和中， ， ∴； （2）解：， ， 又， 由（1）知：， ， ． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图:交于O点，.求证:. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据根据“”可证成为解题的关键． 根据“”可证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴． 25．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）①根据已知条件得到，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形性质得到即可得到结论； （2）根据角的和差得到，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）猜想：， 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 五、题型五：用ASA（AAS）证明三角形全等 26．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，根据可证明． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ ∴， 又， ∴ ∴选项D正确； 而选项A、B、C都无法证明三角形全等， 故选：D． 27．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】如图所示，延长，交于点D，   ， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴， ∵和同底等高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定． 28．（22-23八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，，且平分，则利用（    ）可说明与全等．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据定理即可得． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中，， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 29．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由可得，利用即可证明； （），可得，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴． 30．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．    证明：∵（    ）， ∴____________， ∴______， 在和中，， ∴（    ）． 【答案】已知，，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再由证即可． 【详解】解：（已知）， ， ， 在和中， ， ． 故答案为：已知，，，，． 31．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，D为上一点，，的角平分线交于点F．      (1)求证：； (2)G为上一点，当平分，求证：； (3)在（2）的基础上，连接求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】利用三角形外角的性质得, 从而证明结论; 利用内错角相等，两直线平行证明即可； 利用证明,得到，然后再利用证明，从而得出结论. 【详解】（1）证明: ∵是的角平分线, ∴, ∵分别是的外角, ∴, 又∵, ∴； （2）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）   ∵平分, ∴, ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴， 又∵,， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键. 32．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：，，，，垂足分别为点D，点E．    (1)如图1， ①证明； ②证明． (2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立， 【分析】（1）①由，得到，再证明即可证明全等； ②由①得得到，即可证明； （2）先证明，得到，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ， ， ， 在，中， ， ； ②由①得， ，， ， ， ； （2）； 证明：，， ， ， ， ， ， 在，中， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 33．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得； （2）由已知可得，又因为，所以根据可判定． 【详解】（1）证明：，， ， 即； （2）解：， ， 即． ，， ． 【点睛】此题考查学生对三角形内角和定理及全等三角形的判定的理解及运用，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 34．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，和的边、在同一直线上（D点在C点的左边），已知，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】通过两直线平行，内错角相等，证明和的一组角相等，通过等量代换得到一组边相等，结合已知条件即可通过证得两个三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：三边对应相等的三角形是全等三角形；两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形；两角及其夹边对应相等的三角形全等；两角及其一角的对边对应相等的三角形全等． 35．（22-23八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过作的垂线，垂足为，过作交的延长线于点． (1)求证：： (2)，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7cm 【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经，，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答； （2）由是边上的中线，可知，再根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）∵是边上的中线 ∴ ∵， ∴ 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法证明即可． 六、题型六：全等的性质和ASA（AAS）综合 36．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别是D、E，、交于点．已知，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ 又， ∴， 故选：C． 37．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，， D 为延长线上一点，， 且， 与的延长线交于点 F， 若， 则的值为 .    【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与与性质、灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 作于M，通过证明得到，再根据已知条件证明，从而得到，设，找出和与x的关系即可得解答． 【详解】解：如图：作于M，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 39．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）由可得，结合可推出，由，结合三角形的外角性质可得，即可证明； （2）由（1）可知，根据全等三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， ， ． 40．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，作分别交于于点，延长至点，连接，使得，若，    (1)求证：； (2)若平分，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】（1）利用平行线的性质得出，然后利用证明 ，即可证明． （2）设，则，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，由三角形外角定理得出，再由三角形内角和定理求得，进一步即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ （2）设，则， ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定以及性质，角平分线的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键． 七、题型七：用HL证全等 41．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，于点D，于点F，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵于点D，于点F， ∴， ∵， ∴当添加时，根据“”即可判断． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键． 42．（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，根据直角三角形全等的判定定理，可证，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】由题意知，，， 在和中， ∴， ∴， 故选：． 43．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）    A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】根据题意，结合图形有共四组． 【详解】解：∵于E，于F    ∴ ∵ ∴； ∴ ∵ ∴； ∴ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏． 44．（22-23八年级下·广西来宾·期末）如图，已知，．则证明的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到两个三角形是直角三角形，结合给出的条件：直角边和斜边分别相等，从而得出结论． 【详解】∵， ∴和是直角三角形， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用． 45．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，，垂足分别为E、F， （1）若，且，则，其根据是 ． （2）若，且，则，其根据是 ． （3）若，且，则，其根据是 ．    【答案】 【分析】（1）先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法可判断； （2）先根据垂直的定义得到，然后根据全等三角形的判定方法可判断； （3）先根据垂直的定义得到，然后根据直角三角形全等的判定方法可判断． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 46．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，，于点D，于点E，，若，则 ．    【答案】/度 【分析】证得，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴是直角三角形， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 47．（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是 （写出一个条件即可）． 【答案】或或 【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， ， 即， 又∵，， ， ∴当时，在和中， ， ∴； 当时，在和中， ， ∴； 当时，在和中， ， ∴． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可． 48．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，，垂足分别为D、C，，．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】根据得到即，后运用直角三角形全等的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 49．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，过点A作于H，利用“”可证明，得到，再利用“”可证明，得到，利用线段的和差关系即可求出的长，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于H， ， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 50．（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，在中，，为上一点，，，垂足分别为、，且．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．    (1)你选择的是：____________________； (2)证明： 【答案】(1)， (2)证明见解析． 【分析】（1）根据图形和已知条件进行选择即可； （2）由题意可知，和是直角三角形，再利用“”，即可证明全等． 【详解】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为， 故答案为：，； （2）证明：，， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 八、题型八：全等的性质和HL综合 51．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 通过证明，得出，，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故C正确，不符合题意； ∴平分，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴，故B错误，符合题意； 故选：B． 52．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)说明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ，即， 在与中， ， ， ，， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知，， 与相交于点， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点． 53．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)17 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接． ∵D在的中垂线上 ∴ ∵．平分 ∴ ∴   ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴   又∵． ∴ ∴ 由 (1) 可知    ∴的周长为： 54．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知：如图，，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理，得到，再根据全等三角形的性质，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又， 在与中： ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 55．（23-24八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）在中，，，为延长线上一点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握是解题的关键． 【详解】∵ ∴． 九、题型九：添加条件使三角形全等 56．（2024·河北唐山·三模）在和中，，，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、根据全等三角形的判定方法，不能判定，此选项不符合题意； 、由可得和不一定全等，所以与不一定相等此选项不符合题意； 、与不能判断大小，则无确定值，此选项不符合题意； 、根据三角形的内角和可得：，， 又，，则，此选项符合题意； 故选：． 57．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件：；；；，其中能判定的有（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，是解题的关键． 【详解】添加，根据能推出，符合题意； 添加，根据能推出，符合题意； 添加，根据能推出，符合题意； 添加，根据，，不能推出，不符合题意； 综上，能判定的有， 故选：． 58．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定，已知两边，若要证明，只需添加夹角相等，由此可求解． 【详解】A．∵， 若，则， ∵， ∴， 故A正确； B．当时， ∵， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角， ∴不能判断， 故B不正确； C，当时， ∵， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角， ∴不能判断， 故C不正确； D．当与不可能相等， ∴不能判断， 故D不正确； 故选：A． 59．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，交于点，添加以下四个条件中的一个，其中不能使的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可． 【详解】解：A、可利用证明，故此选项不合题意； B、由不可利用证明，故此选项符合题意； C、由可得可利用证明，故此选项不合题意； D、由、、可利用证明，故此选项不合题意； 故选：B． 60．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，．再添加一个条件能使，此条件可以是 或 或 或 或 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质； 根据全等三角形的判定定理，，进行添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴添加，可根据得到， 添加，则，可根据得到， 添加，可根据得到， 添加，可根据得到， 添加，则，可根据得到， 故答案为：，，，，． 十、题型十：灵活选用判定方法证全等 61．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键． ，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，．理由如下： 在与中，， ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中， ， ∴． 在与中，， ∴． 故选：D 62．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）判断两个三角形全等的方法不正确的有（   ） A．两边和一个角分别相等的两个三角形 B．两个角和一个边分别相等的两个三角形 C．三边分别相等的两个三角形 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．掌握普通两个三角形全等共有四个定理，即；直角三角形可用定理，但无法证明三角形全等． 直接利用三角形全等的判定条件进行判定逐项判断即可解答． 【详解】解：A、两边和一个角分别相等的两个三角形不一定全等；故本选项错误； B、两个角和一个边分别相等的两个三角形，可利用或判定全等；故本选项正确； C、三边分别相等的两个三角形；故本选项正确； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形；故本选项正确． 故选：A． 63．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在等腰中，，为腰上的高线，则图中全等的直角三角形有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的一般方法有：，全等的三角形有、、，利用全等三角形的判定可证明，结合已知条件与全等三角形的判定方法验证即可． 【详解】解：∵为腰上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵为腰上的高线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 综上所述，全等的直角三角形有3对， 故选：B． 64．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是是解题的关键． 【详解】解：如图：，过作于，过作 交延长线于，延长到使 ， ， ， ， ． 故答案为：． 65．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$