第12章 全等三角形综合复习-2024-2025学年八年级上册数学同步辅导（人教版）

复习课 典例精析 【例1】如图12-1，在等腰直角三角形 【例3】如图12-3，已知AB=AE,∠B ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针 ∠E,BC=ED,点F是CD的中点.试说明AF⊥ 旋转60°后得到△AB'C',则∠BAC'等于 CD. 思路分析：欲说明AF⊥CD,就是要说明 A.60° B.105° C.120° D.135 ∠AFC=∠AFD,连接AC,AD,说明△AFC≌ 思路分析：由图形的旋转性质知△ABC≌ △AFD便能达到目的，先从说明△ABC≌ △AB'C',.∠BAC=∠B'AC'.又，△ABC为 △AED入手. 等腰直角三角形，·∠BAC=45°，∴.∠BAC'= 解：连接AC、AD,在△ABC和△AED 45°.由题意知∠BAB为旋转角，∴.∠BAB= (AB=AE, 60°，∴.∠BAC=∠BAB+∠BAC'=60°+45°= 中，∠B=∠E, 105°.故选B. BC=ED, 答案：B .△ABC≌△AED(SAS),.AC=AD. F为CD的中点，.CF=DF AC=AD, 在△AFC和△AFD中，CF=DF, AF=AF. 图12-1 图12-2 图12-3 ∴.△AFC≌△AFD(SSS), 【例2】如图12-2，D是△ABC的边AB .∠AFC=∠AFD. 上任意一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC∥ 而C,F,D在同一直线上， AB,试说明AE=CE. .∠AFC=∠AFD=90°，即AF⊥CD 思路分析：欲证AE=CE,可说明△AED≌ 【例4】如图12-4，在△ABC △CEF,已知DE=FE,图形本身有∠AED= 中，AB=AC,AD⊥BC于点D, ∠CEF,由FC∥AB可得∠ADE=∠CFE,由 BE⊥AC于点E,交AD于点H, “ASA”可得到△AED≌△CEF,从而AE= 且AE=BE.求证：AH=2BD. CE. 思路分析：要说明AH 图12-4 解：，FC∥AB,∴.∠ADE=∠CFE 2BD,可把2BD转化成一条边，而 I∠ADE=∠CFE, 根据条件可知△ABD≌△ACD,可得BD= 在△AED和△CEF中，DE=FE CD,所以2BD转化为BC,而BC和AH又分 ∠AED=∠CEF, 别是△BCE、△AHE的边，因此，只要证出 '.△AED≌△CEF(ASA),∴.AE=CE. △BCE≌△AHE即可. 证明：，AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC= ∠2=∠1. 90° 在R△AHE和R△BCE中，AE-BE, AB=AC. ∠AEH=∠BEC, 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AD-AD. ∴.Rt△AHE≌Rt△BCE(ASA) .Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) ∴.BC=AH(全等三角形的对应边相等). .BD=CD(全等三角形的对应边相等). ..AH=BD+CD=2BD. ,BE⊥AC,∴.∠AEH=∠BEC=90 点拨：灵活选择不同的方法证三角形全等 .∠C+∠1=90°. 是解决证角相等或线段相等的重要方法」 又：∠C+∠2=90°，∴.∠1=∠2. 综合复习 1.若两个三角形全等，则下列结论不正确的是 A.它们的最小角相等 B.它们的对应外角相等 C.它们是直角三角形 图12-6 图12-7 D.它们的最长边相等 5.如图12-7，已知∠1=∠2，AC=AD,增加下 2.下列说法中不正确的是 列条件：①AB=AE:②BC=ED:③∠C= A.全等三角形的对应高相等 ∠D:④∠B=∠E.其中能使△ABC≌ B.全等三角形的面积相等 △AED成立的条件有 () C.全等三角形的周长相等 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 D.周长相等的两个三角形全等 6.如图12-8，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC 3.如图12-5，在△ABC与△DEF中，已有条件 于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于O,AO AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC 的延长线交BC于F,则图中全等的直角三角 2△DEF,不能添加的一组条件是( 形有 () A.∠B=∠E,BC=EF A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 B.BC=EF,AC=DF C.∠A=∠D,∠B=∠E 图12-5 D.∠A=∠D,BC=EF 4.如图12-6，点P是∠BAC的平分线AD上的 图12-8 图12-9 一点，PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P17.如图12-9，BC=BA,BE=BD,∠ABC= 到AB的距离是 ( ∠DBE,若△ABC不动，把△BDE绕B点 A.3 B.4 C.5 D.6 旋转，则旋转的过程中，AE和DC的大小关 系是 ( 14.小明在墙上钉了一根木条，想检验木条是 A.AE<DC B.AE=DC 否是水平的.聪明的小明想出了这样的一 C.AE>DC D.无法确定 个办法：如图12-14，做一个三角架使AB= 8.如图12-10，∠B=∠C,BF=CD,BD=CE, AC,并在BC的中点D处挂一重锤，自然下 则∠a与∠A的关系是 垂，调整架身，使A点恰好在铅垂线上，那 A.2∠a+∠A=180 么BC就处于水平位置，你能说明理由吗？ B.∠a+∠A=90 C.∠a=180°-∠A D.2∠a+∠A=90 图12-14 B 15.如图12-15，在△ABC中，∠ACB=90°， 图12-10 图12-11 AC=BC,AE是BC边的中线，过C作 9.如图12-11，点P到∠AOB两边的距离相 CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交 等，若∠POB=30°，则∠AOB= CF的延长线于D. 10.如图12-12，AB∥CD,AC∥BD,AD与BC (1)求证：AE=CD: 相交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那 (2)若AC=12cm,求BD的长. 么图中全等三角形有 对. 11.已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm, △ABC的面积为18cm,则EF边上的高 为 图12-15 16.如图12-16，有一直角三角形ABC,∠C= 图12-12 图12-13 90°，AC=10cm,BC=5cm,PQ=AB,P,Q 12.如图12-13，若△ABC≌△EFC,且CF= 两点分别在AC上和过A点且垂直于AC 3cm,∠EFC=60°，则BC= ∠B= 的射线AM上运动，问P点运动到AC上 什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？ 13.下列语句：①有一边对应相等的两个直角 三角形全等：②一般三角形具有的性质，直 角三角形都具有：③有两边相等的两直角 三角形全等：④两直角三角形的斜边为 5cm,一条直角边都为3cm,则这两个直角 图12-16 三角形必全等.其中正确的有 个 聚焦中考 1.(甘孜州)如图12-17，已知E,B,F,C四点在 ②分别以点D,E为圆心，大于2DE的同样 一条直线上，EB=FC,∠A=∠D,添加以下 条件，不能证明△ABC≌△DEF的是( 长为半径作弧，两弧交于点F A.∠E=∠ABC B.AB=DE ③作射线BF交AC于点G C.AB∥DE D.DF∥AC 若AB=8,BC=12,△ABG的面积为18，则 △CBG的面积为 5.(永州)如图12-21，在△ABC中，已知∠1= ∠2，BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= 图12-17 图12-18 2.(宁波)△BDE和△FGH是两个全等的等边 三角形，将它们按如图12-18的方式放置在 等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的 周长，则只需知道 A.△ABC的周长 图12-21 图12-22 B.△AFH的周长 6.(江西)如图12-22，AC平分∠DCB,CB C.四边形FBGH的周长 CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC D.四边形ADEC的周长 49°，则∠BAE的度数为 3.(滨州)如图12-19，在△OAB和△OCD中， 7.(福建)如图12-23，OA=OC,OB=OD, OA=OB,OC=OD.OA>OC.ZAOB= ∠AOD=∠COB.求证：AB=CD. ∠COD=40°，连接AC,BD交于点M,连接 OM.下列结论：①AC=BD:②∠AMB=40°： ③OM平分∠BOC:④MO平分∠BMC.其中 正确的个数为 ( A.4 B.3 C.2 D.1 图12-23 图12-19 图12-20 4.(扬州)如图12-20，在△ABC中，按以下步骤 作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB,BC于点D,E 8.(大连)如图12-24，在△ABC和△ADE中，10.（宜宾）如图12-26，在△ABC中，点D是边 延长BC交DE于F.BC=DE,AC=AE, BC的中点，连接AD并延长到点E,使DE= ∠ACF+∠AED=180°.求证：AB=AD AD,连接CE. (1)求证：△ABD≌△ECD: (2)若△ABD的面积为5，求△ACE的 面积. 图12-24 图12-26 9.(陕西)如图12-25，在△ABC中，∠B=50°， ∠C=20°过点A作AE⊥BC,垂足为E,延 11.(温州)如图12-27，在△ABC中，AD是BC 长EA至点D,使AD=AC,在边AC上截取 边上的中线，E是AB边上一点，过点C作 AF=AB,连接DF,求证：DF=CB CF∥AB交ED的延长线于点F. (1)求证：△BDE≌△CDF: (2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时，求AC 的长. 图12-25 图12-27,∠FCG=∠BCE,FC为公共边， 斜边相等，再有一组直角边相等，可依据 ∴.△CFD≌△CFG. “HL”判定. ∴.FG=FD,.EF=FD. 14.解：D为BC的中点，.BD=CD.在 △ABD和△ACD中，BD=CD,AB=AC, 复习课 AD=AD,.△ABD≌△ACD(SSS), 【综合复习】 .∠ADB=∠ADC=90°.又，AD为铅 1.C2.D3.D4.A5.B6.D 垂线，∴.BC为水平线. 7.B点拨：由∠ABC=∠DBE,得∠ABC+ 15.(1)证明：'AC⊥CE,CF⊥AE, ∠CBE=∠DBE+∠CBE,即∠ABE= ∴.∠CAE=∠BCD.在△ACE和△CBD中， ∠DBC.又：AB=BC,BE=BD, '∠CAE=∠BCD. ∴.△ABE≌△CBD(SAS),.AE=CD. CA=BC, ∴.△ACE≌△CBD, 8.A点拨：由△BDF≌△CED,可知 ∠ACE=∠CBD, ∠CED=∠BDF,.∠a=180°-∠BDF ∴.AE=CD. -∠CDE=180°-∠CED-∠CDE= (2)解：由(1)△ACE≌△CBD可知 ∠C.又：∠B=∠C,∠a=号180° BD=CE,CE=2BC=)AC=2× ∠A),∴.2∠a=180°-∠A.即2∠a+ 12=6(cm),.BD的长为6cm. ∠A=180°. 16.解：因为PQ=AB,当PA=BC及PA= 9.60°10.7 AC时，都有△ABC与△APQ全等.①当 11.6cm点拨：，△ABC≌△DEF,.S△x= PA=BC时，在Rt△ABC和Rt△QPA S△，BC的对应边为EF,且对应边上的 中，因为AB=PQ,所以有Rt△ABC≌ 高也对应相等，EF边上的高为18÷ Rt△QPA(HL),此时PA=BC=5cm, 6×2=6(cm). 即P点运动到AC的中点处时，两个三 12.3cm60°点拨：，△ABC≌△EFC, 角形全等；②当PA=AC=10cm时，在 '.BC=CF=3cm,∠B=∠EFC=60°. Rt△ABC和Rt△PQA中，因为AB= 13.2点拨：①中只有两个条件，所以不能判 PQ,所以有Rt△ABC≌Rt△PQA(HL), 断：②中直角三角形是特殊三角形，所以 即当P点与C点重合时，两个三角形全 具有一般三角形的性质；③中两边相等可 等，综上所述，当P点运动到AC的中点 能会出现斜边和直角边相等的情况：④中 或P点与C点重合时，△ABC与△APQ 全等 △ODH,.OG=OH,∴.MO平分 【聚焦中考】 ∠BMC.④正确；.OB=OA>OC,.OM 1.B 不平分∠BOC,③不正确，故正确的个数 2.A点拨：.∠AHG是△HCG的外角， 为3，故选B. ∴.∠AHG=∠AHF+∠FHG=∠CGH+ ∠GCH.:∠FHG=∠GCH=60°， ∴.∠AHF=∠CGH.又，GH=HF,∠A ∠C=60°，.△AFH≌△CHG,∴.CH= 4.275.3 AF.,△BDE和△FGH是两个全等的等 6.82°点拨：AC平分∠DCB,∴.∠BCA 边三角形，.DE=BE,FH=BD,.五边 ∠DCA.在△BCA和△DCA中， 形DECHF的周长为DE十EC+CH+ CB=CD, FH+DF=(BE+EC)+(AF+DF+BD)= ∠BCA=∠DCA,'.△BCA≌△DCA(SAS), BC十AB=2AB.由此可知只需要知道 AC=AC, △ABC的周长即可求出五边形DECHF ∴.∠BAC=∠DAC 的周长 又∠DAC+∠CAE=180°， 3.B点拨：，∠AOB=∠COD=40°， .∠DAC=180°-49°=131°. '.∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD, .∠BAC=131°，即∠BAE+∠EAC= 即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD OA=OB. 131°，.∠BAE=131°-49°=82° 中∠AOC=∠BOD,.△AOC≌△BOD, 7.证明：，∠AOD=∠COB, OC-OD, .∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD, ∴.∠OCA=∠ODB,∠OAC=∠OBD, 即∠AOB=∠COD. AC=BD.①正确：又，∠OAC=∠OBD, ∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD. ∴.∠AMB=∠AOB=40°.②正确：如图， 过点O作OG⊥MC于点G,OH⊥MB于点 H,则∠OGC=∠OHD=90°.在△OCG和 在△AOB和△COD中， ∠OCA=∠ODB, OA=OC, △ODH中，∠OGC=∠OHD,∴.△OCG≌ ∠AOB=∠COD, OC=OD. OB=OD. ∴.△AOB≌△COD(SAS), .S△AD=Saxb=5, ..AB=CD. ∴.SAAE=S△ACD十S△D=5+5=10. 8.证明：，∠ACF+∠AED=180°，∠ACF+ 11.(1)证明：.CF∥AB, ∠ACB=180°， ∠B=∠FCD,∠BED=∠F. ∴.∠ACB=∠AED ,AD是BC边上的中线， ,'BC=DE,∠ACB=∠AED,AC=AE, .'BD=CD. ∴.△ABC≌△ADE(SAS), 在△BDE和△CDF中， ∴.AB=AD. I∠B=∠FCD, 9.证明：在△ABC中，：∠B=50°，∠C=20°， ∠BED=∠F, .∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. BD=CD, ,AE⊥BC, ∴.△BDE≌△CDF ∴.∠AEC=90°. (2)解：△BDE≌△CDF, .∠DAF=∠AEC+∠C=110. .BE=CF=2, ∴.∠DAF=∠CAB. ∴.AB=AE+BE=1+2=3. 又，AD=AC,AF=AB, .AD⊥BC,BD=CD, ∴.△DAF≌△CAB(SAS). ..AC=AB=3. .DF=CB. 10.(1)证明：点D是BC的中点， 第十三章 轴对称 .BD=CD. 13.1 轴对称 在△ABD和△ECD中， BD=CD, 第1课时轴对称 ∠ADB=∠EDC, 【基础巩固】 AD=ED, 1.A2.D3.C4.A5.B6.A ∴.△ABD≌△ECD. 7.①②③①②③ (2)解：在△ABC中，，点D是BC的中点. 【能力提升】 .S△ABD=SAACD. 1.C2.B3.B4.B5.B6.B .△ABD≌△ECD, 7.(1)g0E(2)06 .S△AD=S△p: 8.图略.共同点：它们的对称轴都经过两圆的 S△ABp=5, 圆心.