第4课时 “ASA”和“AAS”-2024-2025学年八年级上册数学同步辅导（人教版）

第4课时 “ASA”和“AAS” 基础巩固 1. 如图12-4-1,BAC=EDF,C- F, 4. 如图12-4-4,点A、B、C、D在同一条直线 要使ABC2DEF,所缺的条件是 上,BE/DF,A=F,AB=FD.求证$$ A. B- E B.1-2 AE-FC. C.AC-DF D.C-F #### 图12-4-4 图12-4-1 图12-4-2 2. 如图12-4-2,AB、CD相交于点O,AB= CD,试添加一个条件使得△AOD△COB. 5. 如图12-4-5,在△ABC中,ACB=90{, 你添加的条件是 .(只需填一个) CD AB于点D,点E在AC上,CF=BC 3. 如图12-4-3,已知点D在AB上,点E在AC 过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点 上,BE、CD相交于点O,AB=AC.B=C. F.求证:AB-FC (1)试判断BD与CE有什么关系,请说明 # 理由; (2)试判断OB与OC有什么关系,请说明 理由: #.# 图12-4-5 图12-4-3 6. 如图12-4-6,DCE-90*,DAC-90$ BE AC于点B,且DC=EC.试证明AB+ AD-BE. 图12-4-6 能力提升 1. 如图12-4-7.AB-AC.BE.CF DE的长为 A.6 分别为AC、AB边上的高,则图 B.7 C.8 ( 中全等的三角形有 __→ D.以上都不对 A.0对 B.1对 6. 如图12-4-11,在△ABC和△DEF中, 图12-4-7 C.2对 D.3对 A- D,AC-DF,若添加条件 /。 或 2. 如图12-4-8,已知△ABC的六个元素,则 ,可根据角 甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是 边角条件得到△ABC△DEF;若添加 条件 或 ( / ) ###A# ,可根据角角边条件得到△ABC △DEF. 7. 如图12-4-12,D是BC的中点,AD平分 BAC,B=C,DE 1AB于点E,DF] 图12-4-8 AC于点F,则△BDE△CDF,根据是 A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.乙 ;可得到△ADE△ADF,根据是 3. 下列判断中错误的是 , ;还可以得到的全等三角形是 A.有两角和一边对应相等的两个三角形 ,于是可知ADC= 全等 B.有两边和一角对应相等的两个三角形 全等 C.有两边和其中一边上的中线对应相等的 图12-4-12 两个三角形全等 图12-4-13 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等 8. 如图12-4-13,若AB BC于点B,AE DE 4. 如图12-4-9,某同学把一块三角形的玻璃打 于点E,AB=AE,ACB= ADE,ACD 碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全 ADC=70{*$, BAD=60{*,则 BAE=$$ 一样的玻璃,那么最省事的办法是 A.带①去 B.带②去 9. 如图12-4-14.ABC=DCB,BD、CA分 C.带③去 D.带①和②去 别是 ABC、DCB的平分线.求证:AB 2#_#__# DC. 图12-4-9 图12-4-10 图12-4-11 图12-4-14 5. 如图12-4-10,在△ABC中,BAC=90*, AB一AC,分别过B、C两点作过点A的线段 DE的垂线段BD、CE,若BD=4.CE-3.则 10. 如图12-4-15,点C在线段BD上,且AB 精影一题 BD.DE BD,AC ICE.BC=DE. 求证: (1)问题探究 AB-CD 如图12-4-17甲,分别以△ABC的边AC 与边BC为边向外作正方形ACD.E 和正方形 BCD.E,过点C作直线KH交直线AB于点H 使 AHK=ACD,作D M KH,DN1 KH.垂足分别为点M.N.试探究线段D.M与 图12-4-15 线段D。N的数量关系,并加以证明 (2)拓展延伸 ①如图12-4-17乙,若将“问题探究”中的 正方形改为正三角形,过点C作直线KH K.H,分别交直线AB于点H,H,使 AH K =BHK=ACD ,作D M$ K. H .D.NIKH.垂足分别为点M,N.线段 D.M与线段D。N的数量关系是否仍成立?若 成立,给出证明;若不成立,请说明理由 ②如图12-4-17丙,若将①中的“正三角 形”改为“正五边形”,其他条件不变,线段D.M 11. 如图 12-4-16,AD/BC,AD=BC,DE 与线段D。N的数量关系是否仍成立?(要求; AC于点E,BF 1AC于点F.求证:DE= 在图12-4-17丙中补全图形,注明字母,直接写 BF. 出结论,不需证明 图12-4-16 丙 图12-4-17(2)解：，'∠ACD+∠DCE+∠BCE= ..AD=AE. 180°， 又'AB=AC,.BD=CE: .∠ACD=∠DCE=∠BCE=60° (2)OB=OC.理由如下： ,△ACD≌△BCE, 由(1)知BD=CE, .∠E=∠D=50°. 又∠B=∠C,∠BOD=∠COE .在△BCE中，∠B=180°-∠BCE- ∴.△BDO≌△CEO(AAS). ∠E=70. ..OB=OC. 精彩一题 4.证明：BE∥DF,∴.∠ABE=∠D. 解：(1)AC⊥CE.理由如下： 在△ABE和△FDC中， .AB⊥BD,DE⊥BD, ∠ABE=∠D, ∴.∠ABC=∠CDE=90. AB-FD, 又，AB=CD,BC=DE, ∠A=∠F, ∴.△ABC≌△CDE, ∴.△ABE≌△FDC(ASA). ..AE=FC. ∴.∠A=∠DCE. 5.证明：，FE⊥AC于点E,∠ACB=90°， 又，∠A十∠ACB=90°， ∴.∠FEC=∠ACB=90° ∴.∠DCE+∠ACB=90°， .∠F+∠ECF=90°. ∴.∠ACE=90°，∴.AC⊥CE. 又CD⊥AB于点D, (2)成立.理由如下： .∠A+∠ECF=90°. 设AC与BE相交于点F, ∴.∠A=∠F 由(1)知∠DBE+∠ACB=90°， 在△ABC和△FCE中， ∴.∠EFC=∠DBE+∠ACB=90°， I∠ACB=∠FEC, ∴.AC⊥BE. ∠A=∠F, 第4课时“ASA”和“AAS” BC=CE, 【基础巩固】 .△ABC≌△FCE(AAS). 1.C ..AB=FC. 2.AO=CO(答案不唯一) 6.证明：BE⊥AC, 3.解：(1)BD=CE.理由如下： .∠EBC=∠DAC=90°. 在△ACD和△ABE中， 又.'∠DCE=90°， ,∠C=∠B,AC=AB,∠A=∠A, ∴.∠ACE+∠ACD=90° .△ACD≌△ABE(ASA), 又.在Rt△DAC中，∠ACD+∠D=90°， ∴.∠ACE=∠D. ∴.∠ACB+∠ECD=90°，∠ECD+∠E 在△ADC和△BCE中， 90°， |∠D=∠ACE, ∴.∠ACB=∠E. ∠DAC=∠CBE, 在△ABC和△CDE中， DC-CE, ∠ACB=∠E, ∴.△ADC≌△BCE(AAS), BC=DE. ∴.AD=BC,AC=BE. ∠B=∠D, 又.'AC=AB+BC=AB+AD, ∴.△ABC≌△CDE(ASA), ∴.AB+AD=BE. ∴.AB=CD 点拨：证明边的相等关系（线段相等）可以 11.证明：，AD∥BC,.∠DAE=∠BCF 通过三角形全等来证明， 又DE⊥AC,BF⊥AC, 【能力提升】 .∠AED=∠BFC=90° 1.D2.C3.B4.C 在△AED和△CFB中， 5.B点拨：易证△ABD≌△CAE,则AD= ,'∠DAE=∠BCF,∠AED=∠CFB, CE=3,AE=BD=4,.DE=DA+ AD=BC, AE=7. ∴.△AED≌△CFB(AAS),∴.DE=BF. 6.∠ACB∠F AC DF∠B∠DEF 精彩一题 AB DE 解：(1)DM=DV.证明如下： 7.AAS AAS△ADB≌△ADC90 ,∠ACD1=90°， 8.80° ∴.∠ACH+∠D1CK=180°-90°=90°. 9.证明：，AC平分∠BCD, :∠AHK=∠ACD1=90°， BD平分∠ABC,∠ABC=∠DCB, ∴.∠ACH+∠HAC=90°， ∴.∠ACB=∠DBC .∠DCK=∠HAC. 在△ABC和△DCB中， 在△ACH和△CD,M中， I∠ABC=∠DCB, ∠CAH=∠D,CM, BC=CB, ∠AHC=∠CMD1=90°， ∠ACB=∠DBC, AC=CD, ∴.△ABC≌△DCB(ASA), ∴.△ACH≌△CDM(AAS), ..AB=DC. .'.D M=CH. 10.证明：，AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE, 同理可证D2N=CH,.DM=D2N ∠B=∠D=∠ACE=90°， (2)①D,M=D2N成立.证明如下： 如图甲，过点C作CG⊥AB,垂足为点G, ,∠C=90°，DE⊥AB, ,∠H1AC+∠ACH1+∠AHC=180°， .∠AED=∠C=90. ∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°， .AD=AD,.△ADC≌△ADE(AAS). ∠AH1C=∠ACD1, .'DC=DE. ∴.∠H1AC=∠D1CM. 在Rt△FCD和Rt△BED中， 在△ACG和△CDM中， .BD=DF,DC=DE. I∠H1AC=∠D,CM, .Rt△FCD≌Rt△BED(HL), ∠AGC=∠CMD,=90°， ..CF=EB. AC=CD, 【能力提升】 .△ACG≌△CDM(AAS), 1.B ∴.CG=DM,同理可证CG=D2N, 2.B点拨：可证明Rt△ACD≌Rt△AED得 到AE=AC=BC,DE=DC,所以△DEB ∴.DM=D2N. 的周长为BD+DE+BE=BD+DC+ K2\D BE=BC+BE=AE+BE=AB=6cm. 3.①②③④⑤ 分 4.59点拨：由题中条件知△ABE≌△ADE, ②作图如图乙所示.DM=D2N还成立. 所以∠BAE=∠EAD=∠BAC.又因为 2 第5课时“HL” ∠C+∠BAC=90°，所以∠BAC=62°，所以 【基础巩固】 ∠EAD=31°.又因为∠AED+∠EAD= 1.C2.C3.B4.C 90°，所以∠AED=90°-31°=59 5.BC=G(答案不唯一) 5.4点拨：过点D作DF⊥BC交BC的延长 6.证明：，DE⊥AC,BF⊥AC, 线于点F,易证△ADE≌△CDF,∴.DE= ∴.∠AFB=∠CED=90°. DF.'Sg边形AD=SE方形EBF=DE=16, .AB=CD,DE=BF, .DE=4. .Rt△ABF≌Rt△CDE(HI), 6.(1)证明：，∠ABC=90°， ..AF=CE. ∴.∠CBF=∠ABE=90 ..AF-EF=CE-EF, 在Rt△ABE和Rt△CBF中， 即AE=CF. .AE=CF,AB=BC, 7.证明：，'AD是∠BAC的平分线， ∴.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). ∴.∠DAC=∠DAE. (2)解：，AB=BC,∠ABC=90°，