第05讲 平方根（3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第05讲 平方根（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 题型强化 题型一．平方根 1．（2024春•渝中区校级期末）4的平方根是 　　． 2．（2024•康县模拟）的平方根是　　 A．4 B． C． D．2 3．（2024春•郧阳区校级月考）求下列各式中的值． （1）； （2）． 题型二．算术平方根 4．（2024•恩施市模拟）实数9的算术平方根为　　 A．3 B． C． D． 5．（2024•芙蓉区模拟）的算术平方根是 　　． 6．（2023秋•泗洪县期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，，其结果6、3、2都是整数，所以、、这三个数称为“完美组合数”． （1）、、这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值． 题型三．非负数的性质：算术平方根 7．（2023秋•道县期末）若，为实数，且，则的值为　　 A．0 B．1 C． D． 8．（2024•秦安县校级三模）若，则　　． 9．（2024春•凉州区期中）若，求代数式的值． 分层练习 一、单选题 1．下列各数中，为无理数的是（   ） A． B．4.5 C． D．0 2．已知正方形的面积为4，则该正方形的边长为（    ） A． B．2 C． D．16 3．若，则a的值为（    ） A． B． C．6 D．3 4．下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 5．若一个正数有两个不同的平方根为和，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．1或 D． 6．实数a，b满足，求的算术平方根． 7．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B． C．1 D． 8．若是169的算术平方根，是121的负的平方根，则（＋）2的平方根为（ ） A．2 B．4 C．±2 D．±4 9．已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 10．下列说法中正确的有（  ） ①一个数的算术平方根一定是正数； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ③ 的平方根记为； ④ 表示的平方根． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题 11．当 时，有最小值． 12．，则 ． 13．已知，，则是的 倍． 14．一个正数有 个平方根； 有 个平方根，是 ；负数 平方根． 15．定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 16．若是m的一个平方根，则的平方根是 ． 17．若单项式与是同类项，则的平方根是 ． 18．将边长为1的正方形拼在一起，形成如图所示的长方形，通过剪一剪、拼一拼，该长方形可以拼成一个面积相同的大正方形，则大正方形的边长等于 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．一个正数x的两个平方根分别是与，则a是多少，x是多少？ 21．已知实数x、y满足关系式． (1)求x、y的值； (2)判断是有理数还是无理数，并说明理由． 22．求下列各式中的值： (1)； (2)． 23．物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离与时间可用公式来估计． (1)把这个公式变形成用s表示t的公式； (2)有一只野兔从山崖边不慎跌入深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？ 24．已知正实数x的平方根分别是和（），若，求的平方根． 25．已知正数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 26．先填写表，通过观察后再回答问题： a … 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中_______，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________； (3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平方根（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点3．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 题型强化 题型一．平方根 1．（2024春•渝中区校级期末）4的平方根是 　　． 【分析】根据平方根的知识得出结论即可． 【解答】解：4的平方根是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平方根的计算，熟练掌握平方根的计算方法是解题的关键． 2．（2024•康县模拟）的平方根是　　 A．4 B． C． D．2 【分析】根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：，4的平方根是． 故选：． 【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 3．（2024春•郧阳区校级月考）求下列各式中的值． （1）； （2）． 【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）移项得，， 两边都除以9得，， 由平方根的定义得，； （2）， 由平方根的定义得，， 即或． 【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提． 题型二．算术平方根 4．（2024•恩施市模拟）实数9的算术平方根为　　 A．3 B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：， 的算术平方根是3． 故选：． 【点评】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 5．（2024•芙蓉区模拟）的算术平方根是 　2　． 【分析】根据算术平方根，即可解答． 【解答】解：，4的算术平方根是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 6．（2023秋•泗洪县期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，，其结果6、3、2都是整数，所以、、这三个数称为“完美组合数”． （1）、、这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值． 【分析】（1）根据算术平方根以及“完美组合数”进行计算即可； （2）分类讨论，即若、，根据这两个数乘积的算术平方根为15，得到，进而求出的值，再验证是否为：完美组合数、是“完美组合数”的进行解答即可． 【解答】解：（1）、、三个数都是负数，且，，， 、、这三个数是“完美组合数”； （2）若、这两个数乘积的算术平方根为15，则， 解得， 而、、是“完美组合数”， ； 若、这两个数乘积的算术平方根为15，则， 解得（不是整数，舍去）， 综上所述，． 【点评】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 题型三．非负数的性质：算术平方根 7．（2023秋•道县期末）若，为实数，且，则的值为　　 A．0 B．1 C． D． 【分析】根据绝对值与算术平方根的和为零，可得绝对值与算术平方根同时为零，可得、的值，即可得到答案 【解答】解：由题可知，， 则，， 即．， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了非负数的性质，利用绝对值与算术平方根的和为零得出绝对值与算术平方根同时为零是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数． 8．（2024•秦安县校级三模）若，则　12　． 【分析】首先根据非负数的性质可求出、的值，进而可求出、的和． 【解答】解：，，， ，， ，； 因此． 故答案为12． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 9．（2024春•凉州区期中）若，求代数式的值． 【分析】首先利用绝对值、平方和二次根式的非负性和已知条件即可得到关于、、的方程组，解方程组即可求得、、的值，然后代入所求代数式中计算即可． 【解答】解：，，， 且， ，， ，， ． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，掌握绝对值、平方和二次根式的非负性是解决此类问题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列各数中，为无理数的是（   ） A． B．4.5 C． D．0 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的无限不循环小数． 【详解】解：是分数，属于有理数，故选项A不合题意； 4.5是有限小数，属于有理数，故选项B不合题意； 是无理数，故选项C符合题意． 0是整数，属于有理数，故选项D不合题意； 故选：C． 2．已知正方形的面积为4，则该正方形的边长为（    ） A． B．2 C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，利用正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：正方形的面积是4，则正方形的边长是， 故选：B 3．若，则a的值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是平方根的含义，平方差公式的应用，本题先把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故选A 4．下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义与性质．根据平方根、算术平方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可． 【详解】解：，A选项正确； 0，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项正确． 故选：B． 5．若一个正数有两个不同的平方根为和，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．1或 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根、解一元一次方程、相反数的性质，根据一个正数有两个的平方根，且互为相反数列方程求解． 【详解】解：∵一个正数有两个不同的平方根为和， ∴，解得， 故选：A． 6．实数a，b满足，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性可得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根为：， 故答案为：． 7．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据平方根的性质列方程求解即可； 【详解】∵ 与是同一个正数的两个平方根， ∴ 与互为相反数， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键． 8．若是169的算术平方根，是121的负的平方根，则（＋）2的平方根为（ ） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【答案】C 【分析】求出m、n的值，求出m+n的值，再根据平方根定义求出即可． 【详解】解：∵m是169的算术平方根，n是121的负的平方根， ∴m=13，n=-11， ∴m+n=2， ∴（m+n）2的平方根是±=±2， 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 9．已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索，解此题的关键是能根据算术平方根得出规律，难度适中．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：… ， 故选：D． 10．下列说法中正确的有（  ） ①一个数的算术平方根一定是正数； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ③ 的平方根记为； ④ 表示的平方根． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的意义分别进行判断即可． 【详解】解：①0的算术平方根是0，故原说法错误； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，说法正确； ③ 的平方根记为，原说法错误； ④ 表示的平方根，说法正确． 综上可知正确的是②④，共2个， 故选：B 二、填空题 11．当 时，有最小值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，根据，当且仅当时取得等号可得答案． 【详解】解：∵，当且仅当时取得等号， ∴当，有最小值， 故答案为：8． 12．，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，理解概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴则，解得：， 故答案为：． 13．已知，，则是的 倍． 【答案】100 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的移位规律是解本题的关键．根据算术平方根的定义可知：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，则其算术平方根的小数点向相同的方向移动1位，从而可以解答． 【详解】解：，， 是8.73的10倍， 是的100倍． 故答案为：100． 14．一个正数有 个平方根； 有 个平方根，是 ；负数 平方根． 【答案】 1 0 没有 【分析】根据平方根的性质进行解答，本题主要考查了平方根的性质． 【详解】解：一个正数有个平方根； 有1个平方根，是0；负数没有平方根 故答案为：，1，0，没有． 15．定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 16．若是m的一个平方根，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】利用平方根的定义求出的值，确定出的值，即可求出平方根． 【详解】根据题意得：， 则的平方根为． 故答案为： 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 17．若单项式与是同类项，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，平方根，根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，可得，求出的值，再求出的值，最后利用平方根的定义即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 18．将边长为1的正方形拼在一起，形成如图所示的长方形，通过剪一剪、拼一拼，该长方形可以拼成一个面积相同的大正方形，则大正方形的边长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘方和乘法计算，算术平方根的实际应用，正确理解面积不变规律是解题的关键．由面积不变求出拼成的正方形的面积，再利用公式计算边长即可． 【详解】解：∵拼成的正方形的面积为， ∴这个正方形的边长是， 故答案为：． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的意义是解题的关键． （1）把带分数化假分数，求出算术平方根即可； （2）把带分数化假分数，求出平方根即可． 【详解】（1）解：； （2）． 20．一个正数x的两个平方根分别是与，则a是多少，x是多少？ 【答案】， 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的平方根互为相反数，得到，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴． 21．已知实数x、y满足关系式． (1)求x、y的值； (2)判断是有理数还是无理数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解答本题的关键是熟练掌握非负数的性质、有理数与无理数的定义． （1）根据非负数的性质可得，据此即可求出x与y的值； （2）将x与y的值代入待求式进行计算，然后利用有理数与无理数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：依题意得：，则， ， ； （2）解：当时，，是有理数， 当时，，是无理数． 22．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 23．物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离与时间可用公式来估计． (1)把这个公式变形成用s表示t的公式； (2)有一只野兔从山崖边不慎跌入深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． （1）先将的系数化为1，再根据算术平方根的定义可得； （2）将代入计算可得． 【详解】（1）解：， ， ； （2）当时，， 答：它落到峡谷底经过了6秒时间． 24．已知正实数x的平方根分别是和（），若，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根的概念可得的值，然后可得问题的答案． 【详解】解：正实数的平方根是和， ， ， ， ， , 的平方根是 ． 【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握其概念：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根是解答此题关键． 25．已知正数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正数平方根互为相反数即可求出m的值； （2）利用平方根的定义得到，，代入式子即可求出x值． 【详解】（1）解：正数x的平方根是m和， ， ， ， ； （2）解：正数x的平方根是m和， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平方根的定义及平方根的应用，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 26．先填写表，通过观察后再回答问题： a … 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中_______，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________； (3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论） 【答案】(1)，10 (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质，即可求解； （2）根据题意可得当扩大100倍时，扩大10倍，由，即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，10； （2）根据题意得：当扩大100倍时，扩大10倍， ∵， ∴， 故答案为：； （3）当时，，此时； 当时，根据与数位规律得：； 当时，根据与数位规律得：； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$