第8章 第8节 第3课时 定点问题(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第八章 平面解析几何 第八节　核心专题突破 第3课时　定点问题 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　直线过定点 【例1】　(2024·杭州联考)已知M是椭圆=1的左顶点,过M作两条射线,分别交椭圆于点A(x1,y1),B(x2,y2),交直线x=4于点C(4,y3),D(4,y4)。 (1)若∠AMB=45°,求|CD|的最小值; (2)若,求证:直线AB过定点。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)由题意知,M(-2,0),不妨设点C在点D的上方,点A在点B的上方,则tan 45°=tan(∠AMx+∠BMx)==1,可得6(y3-y4)=36+y3y4,即y4=,所以|CD|=y3-y4=y3--12=12(-1),当且仅当y3=6(-1)时取“=”。所以|CD|的最小值为12(-1)。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)证明:由题意知,直线AB的斜率不为0,故可设直线AB的方程为x=ty+m,代入=1可得,(3t2+4)y2+6tmy+3m2-12=0,由Δ=(6tm)2-4(3t2+4)(3m2-12)>0,得m2<3t2+4,故y1+y2=　①,y1·y2=　②。易知直线MC的方程为y=(x+2),所以y3=,同理得y4=,即2ty1y2+(m-4)(y1+y2)=0,将①②代入,整理得m=1,经验证符合题意。故直线AB的方程为x=ty+1,所以直线AB过定点 (1,0)。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1.引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点。 2.特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　已知双曲线C的渐近线方程为y=±x,且过点P(3,)。 (1)求C的方程; (2)设Q(1,0),直线x=t不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证:直线AD过x轴上的一定点。 解　(1)因为渐近线方程为y=±x,且点P靠近x轴,所以可设双曲线C的方程为=λ(λ≠0),将点P(3,)代入得=λ,解得λ=,所以双曲线C的方程为-y2=1。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)证明:显然直线BQ的斜率不为零,设直线BQ的方程为x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,-y1),联立消x整理得(m2-3)y2+2my-2=0。依题意得m2-3≠0且Δ=4m2+8(m2-3)>0,即m2>2且m2≠3,y1+y2=-,y1y2=-,直线AD的方程为y+y1=(x-x1),令y=0,得x==3。所以直线AD过x轴上的定点(3,0)。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　曲线过定点 【例2】　已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1)。 (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B。求证:以线段AB为直径的圆经过y轴上的两个定点。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2。所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1。 (2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1)。设直线l的方程为y=kx-1(k≠0)。由得x2+4kx-4=0。设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4。直线OM的方程为y=x。令y=-1,得点A的横坐标xA=-。同理得点B的横坐标xB=-。设点D(0,n),则,,· 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 +(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=-4+(n+1)2。令·=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3。综上,以线段AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3)。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 以曲线上的点为参数,设点P(x1,y1),利用点在曲线f(x,y)=0上,即f(x1,y1)=0消参。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　已知椭圆C:=1(a>b≥1)的离心率为,其上焦点到直线bx+2ay-=0的距离为。 (1)求椭圆C的方程; (2)过点P的直线l交椭圆C于A,B两点,试探究以线段AB为直径的圆是否过定点。若过,求出定点坐标;若不过,请说明理由。 解　(1)由题意,得e=,又a2=b2+c2,所以a=b,c=b。又,a>b≥1,所以b2=1,a2=2,故椭圆C的方程为+x2=1。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)当AB⊥x轴时,以线段AB为直径的圆的方程为。当AB⊥y轴时,以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=1。可得两圆交点为Q(-1,0)。由此可知,若以线段AB为直径的圆恒过定点,则该定点为Q(-1,0)。下证点Q(-1,0)符合题意。设直线l的斜率存在,且不为0,其方程为y=k,代入+x2=1,并整理得(k2+2)x2-k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 x1+x2=,x1x2=,所以k2=(1+k2)x1x2+ (x1+x2)+1+k2=(1+k2)··k2=0,故,即点Q(-1,0)在以线段AB为直径的圆上。综上,以线段AB为直径的圆恒过定点(-1,0)。 第八章　第八节　第3课时　定点问题 点击 导航 关键能力·突破 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$