第7章 第5节 空间向量及空间位置关系(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第七章 立体几何与空间向量 第五节 空间向量及空间位置关系 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置,会推导空间两点间的距离公式;2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;5.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 主干知识·整合 回扣知识 基础落实 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【基础梳理】 1.空间向量的有关概念 大小 名称 定义 空间向量 在空间中,具有 和 的量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 方向 且模 的向量 共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 。 (2)共面向量基本定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x,y),使p= 。 (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= 。其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底。 a=λb 唯一 xa+yb xa+yb+zc 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>,其范围是 ,若<a,b>=,则称a与b ,记作a⊥b。 (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b= 。 [0,π] 互相垂直 |a||b|cos<a,b> 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (3)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R; ②a·b=b·a(交换律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)。 (a1±b1,a2±b2,a3±b3) a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l ,则称此向量a为直线l的方向向量。 (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量。 平行或重合 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 u1·u2=0 u·n=0 n1·n2=0 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【知识延伸】 1.四点共面:在空间中P,A,B,C四点共面⇔(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点。 2.在利用证明MN ∥平面ABC时,必须说明M点或N点不在平面ABC内。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【小题自测】 1.若{a,b,c}是空间的一个基底,且向量m=a+b,n=a-b,则可以与m,n构成空间的一个基底的另一个基向量是( ) A.a B.b C.c D.2a 解析　由题意知,a,b,c不共面,对于选项A,a=[(a+b)+(a-b)]=m+n,故a,m,n共面,排除A;对于选项B,b=[(a+b)-(a-b)]=m-n,故b,m,n共面,排除B;对于选项D,由选项A,得2a=m+n,故2a,m,n共面,排除D。故选C。 C 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( ) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b-c D.-a-b+c 解析　()=a-b-c。故选C。 C 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 B 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析 分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系。因为A1M=AN=,所以M,N,所以 ,又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0),所以·=0,所以是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN ∥平面BB1C1C。故选B。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.若直线l的方向向量a=(1,2,-1),平面α的一个法向量m=(-2,-4,k),且l⊥α,则实数k= 。  解析　因为l⊥α,所以l的方向向量a=(1,2,-1)与平面的法向量m=(-2,-4,k)共线,所以存在实数λ,使a=λm,即 2 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且,若 P,A,B,C四点共面,则实数t= 。  解析　因为P,A,B,C四点共面,所以+t=1,解得t=。   第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　空间向量的线性运算 【例1】　在三棱柱A1B1C1⁃ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则=( ) A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.-a+b+c D 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　()=-()=-a+b+c。故选D。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 进行向量的线性运算,有以下几个关键点 1.结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各线段的几何关系。 2.正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义。 3.平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于( ) A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 解析　由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20)。故选B。 B 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,O为AC的中点。 ①化简= ;  ②用,,表示,则= 。 解析　① ()=。 ②因为(),所以 ()+。     第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　共线、共面向量定理的应用 【例2】　如图所示,在斜三棱柱ABC⁃A1B1C1中,点M,N分别在AC1和BC上,且满足,(0≤k≤1)。 (1)向量是否与向量,共面? (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行? 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)因为,,所以=k()+=k()+-k()=(1-k),所以由共面向量定理知向量,共面。 (2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内。当0<k≤1时,MN不在平面ABB1A1内,又由(1)知,共面,所以MN ∥平面ABB1A1。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　　 P,A,B三点共线 空间四点M,P,A,B共面 =λ =x+y 对空间任一点O, =+t 对空间任一点O, =+x+y 对空间任一点O, =x+(1-x) 对空间任一点O, =x+y+(1-x-y) 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n= 。  解析　因为=(3,-1,1),=(m+1,n-2,-2),且A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),所以所以m+n=-3。 -3 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数 λ=  。  解析　由题意,可设a=xb+yc,故(2,-1,3)=x(-1,4,-2)+y(7,5,λ)=(-x+7y,4x+5y,-2x+λy),即解得λ=。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　空间向量数量积的应用 【例3】　如图,已知平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°。 (1)求线段AC1的长; (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值; (3)求证:AA1⊥BD。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)设=a,=b,=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底,则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1。因为=a+b+c,所以||=|a+b+c|=。所以线段AC1的长为。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ,则cos θ=|cos<,=a+b+c,=b-c,所以·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,|。所以cos θ=。故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为。 (3)证明:因为=c,=b-a,所以·=c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,所以,即AA1⊥BD。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 空间向量数量积的3个应用 求夹角 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,进而可求两向量所在直线所成的角 求长度 (距离) 利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°。求: (1)AC1的长; (2)与夹角的余弦值。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　设=a,=b,=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基 底,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,所以a·b=b·c=c·a=。 (1)因为||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×=6,所以|,即AC1的长为。 (2)因为=b+c-a,=a+b,所以|,|,·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1,所以cos<,,即。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型四　向量法证明平行与垂直 【例4】　如图所示,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点。 (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP ∥平面B1AE? 若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)证明:以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1)。故=(0,1,1),·×0+1×1+(-1)×1=0,所以,即B1E⊥AD1。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)存在满足要求的点P,假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),0≤z0≤1,使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0)。设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z)。=(a,0,1),。因为n⊥平面B1AE,所以n⊥,n⊥,得取x=1,则故n=是平面B1AE的一个法向量。要使DP ∥平面B1AE,只需n⊥,即-az0=0,解得z0=。所以存在点P,满足DP ∥平面B1AE,此时AP=。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 运用向量知识判定空间位置关系时,离不开立体几何的相关定理。如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　如图,正方形ABCD的边长为2,四边形BDEF是平行四边形,BD与AC交于点G,O为GC的中点,FO=,且FO⊥平面ABCD。 (1)求证:AE ∥平面BCF; (2)求证:CF⊥平面AEF。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 证明　如图,取BC的中点H,连接OH,则OH ∥ BD,又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,所以OH⊥AC,故以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),C(-1,0,0),D(1,-2,0),F(0,0,),B(1,2,0)。=(-2,-2,0),=(1,0,),=(-1,-2,)。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (1)设平面BCF的法向量为n=(x,y,z)。则取z=1,得n=(-,,1)是平面BCF的一个法向量。又四边形BDEF为平行四边形,所以=(-1,-2,),所以=(-2,-2,0)+(-1,-2,)=(-3,-4,),因为·n=3=0,所以⊥n,又AE⊄平面BCF,所以AE ∥平面BCF。 (2)因为=(-3,0,),·=-3+3=0,·=-3+3=0,所以,,即CF⊥AF,CF⊥AE。又AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,所以CF⊥平面AEF。 第七章　第五节　空间向量及空间位置关系 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 向量表示 坐标表示 线性运算 a±b 数量积 a·b 共线 a=λb(b≠0,λ∈R) 垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) 模 |a|= 夹角 cos<a,b>=(a≠0,b≠0) 6.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2 l1∥l2 u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔ 直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,l⊄α l∥α u⊥n⇔ l⊥α u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn 平面α,β的法向量分别为n1,n2 α∥β n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 α⊥β n1⊥n2⇔ $$