第7章 第1节 第1课时 空间几何体及其表面积、体积(课件PPT)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

高考复习顶层设计·数学 赢在微点 高考复习顶层设计 数学 第七章 立体几何与空间向量 第一节　空间几何体 的结构特征、表面积与体积 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题;3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合等)的直观图。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 主干知识·整合 回扣知识 基础落实 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【基础梳理】 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 平行 全等 平行 相似 平行 相等 一点 一点 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 [微点清]　常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)旋转体的结构特征 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 矩形 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 　 [微点清]　球的截面的性质:①球的任何截面都是圆面;②球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.立体图形的直观图 (1)画法:常用斜二测画法。 (2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直;②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴;③平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的 。 不变 一半 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.几何体的表面积与体积公式 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 2πrl πrl π(r+r')l 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)空间几何体的表面积与体积公式 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【知识延伸】 1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系如下: S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.多面体的内切球与外接球的常用结论 (1)设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=,外接球半径R=a; (2)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=; (3)设正四面体的棱长为a,则它的高为a,内切球半径r=a,外接球半径R=a。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【小题自测】 1.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,则盛水部分的几何体是( ) A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱 解析　由几何体的结构特征知,盛水部分的几何体是四棱柱。故选C。 C 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.下列说法正确的是( ) A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 解析　由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变,正方形的直观图是平行四边形。故选D。 D 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm 解析　由题意,得S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,得r2=4,所以r=2(cm)。故选B。 B 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.一个长方体的顶点都在球面上,且长方体的棱长分别为1,2,3,则球的表面积为 。 解析　设球的半径为R,则2R=,则R=。所以S球=4πR2=4π×=14π。 14π 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 5. 如图,把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 。  解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c, 它截出棱锥的体积为V1= abc,剩下的几何体的体积V2=abc- abc,所以V1∶V2=1∶47。 1∶47 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第1课时　空间几何体 及其表面积、体积 关键能力·突破 考向探究 题型剖析 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型一　基本立体图形 ……………………………………自练自悟 角度❶:结构特征 1.(多选题)下列说法中不正确的是( ) A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 ABC 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　由圆台定义知,以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台,故A错误;由棱柱定义可知,棱柱是有两个面平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体,故B错误;底面是正多边形的棱锥,不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心,故C错误;棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的,故棱台的各侧棱延长后必交于一点,故D正确。故选ABC。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.(2024·沈阳教学质量监测) 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容。由曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。则如图所示正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为( ) A.2π B.4π C.6π D.8π B 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　因为正八面体每一个顶点都是4个正三角形的交点,所以正八面体每个顶点处的曲率为2π-,又正八面体有6个顶点,所以正八面体的总曲率为×6=4π。故选B。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 角度❷:直观图 3.(多选题)水平放置的三角形ABC的直观图A'B'C'中,D'是△A'B'C'中B'C'边上的一点,且D'C'<D'B',A'D'∥y'轴,那么原三角形ABC的AB,AD,AC三条线段中( ) A.最长的是AB B.最长的是AC C.最短的是AC D.最短的是AD AD 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　由题意得原三角形ABC的平面图如图所示,其中,AD⊥BC,BD>DC,所以AB>AC>AD,所以最长的是AB,最短的是AD,故选AD。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 4.(2024·济南市模拟)已知正三角形的边长为2,用斜二测画法画出该三角形的直观图,则所得直观图的面积为( ) A. B. C.2 D.2 B 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图①,△ABC是边长为2的正三角形,取AB的中点为O,连接OC,以O为坐标原点,分别以AB,OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系。再建立一个平面直角坐标系x'O'y',且使∠x'O'y'=45°,如图②,在x'轴上取点A',B',且使O'A'=O'B'=1,在y'轴上取点C',且使O'C'=,连接A'C',B'C',则△A'B'C'即△ABC的直观图,所以S△A'B'C'=S△A'O'C'+S△B'O'C'=2S△B'O'C'=。故选B。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段。“平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半。” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=S原图形。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 角度❸:展开图 5.长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=1,AD=AA1=2,E为棱AA1上的动点,平面BED1交棱CC1于点F,则四边形BED1F的周长的最小值为( ) A.4 B.2 C.2() D.2+4 B 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　作出长方体如图①,将其侧面展开,如图②所示,当点E为BD1与AA1的交点,点F为BD1'与CC1的交点时,截面四边形BED1F的周长最小,最小值为2BD1=2。故选B。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 6.(2024·广东省佛山市第二次调研)如图,有一个圆锥形粮堆,其轴截面是边长为8 m的等边三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食,此时小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是 m。  4 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　将圆锥沿母线AC所在直线展开,如图所示,根据题意可得△ABC是边长为8 m的正三角形,所以BC=8 m,所以圆锥底面圆周长为2π×4=8π(m)。设圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为n,点B在展开图中对应的点为B',连接AB',B'P。根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,可得8n=8π,故n=π,则∠B'AC=,所以B'P=(m),所以小猫所经过的最短路程是4 m。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 利用空间几何体的表面展开图可求几何体的表面积及表面上两点间的距离问题。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型二　空间几何体的表面积 【例1】　(1)(2023·广东省一模)已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等,若圆锥的轴截面是等边三角形,则这个圆锥和圆柱的侧面积的比值为( ) A. B. C. D. C 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　设圆锥底面圆的半径为r,则圆锥的母线长l=2r,圆柱的母线长等于圆锥的高h=r,记圆锥和圆柱的侧面积分别为S1,S2,则。故选C。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2)(2024·甘肃兰州诊断)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式,兰州市著名景点三台阁(如图①)的屋顶部分是典型的攒尖结构。如图②所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构的表面积为( ) A.(34+8)dm2 B.(34+44)dm2 C.(34+48)dm2 D.(34+8)dm2 A 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　正三棱柱的侧面积为2×2×2=8(dm2),底面积为2×(dm2)。正四棱台中,侧面梯形的高为(dm),所以正四棱台的侧面积为4×(dm2)。所以该结构的表面积为8+2=(34+8)(dm2)。故选A。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 几何体表面积的计算:根据几何体的直观图,确定几何体的形状,选择正确的平面图形的面积公式求解,注意表面积与底面积、侧面积的区别。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【变式训练】　(1)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为( ) A.81π B.100π C.168π D.169π C 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　圆台的轴截面如图,设上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,母线长为l,则它的母线长l==5r=10,所以r=2,R=8。故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π。故选C。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 (2) 如图,设正三棱锥S⁃ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,则此正三棱锥的表面积为 。  27 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,设正三棱锥的底面边长为a,斜高为h',过点O作OE⊥AB,与AB交于点E,连接SE,则SE⊥AB,SE=h'。因为S侧=2S底,所以3·a·h'=a2×2。所以a=h'。因为SO⊥OE,所以SO2+OE2=SE2。所以32+=h'2。所以h'=2,所以a=h'=6。所以S底=,S侧=2S底=18。所以S表=S侧+S底=9。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 类型三　空间几何体的体积…………………………微专题 角度❶:直接利用体积公式求体积 【例2】　(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1, AA1=,则该棱台的体积为 。  第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,过点A1作A1M⊥AC,垂足为点M,易知A1M为四棱台ABCD⁃A1B1C1D1的高,因为AB=2,A1B1=1,AA1=,则A1O1=,AO=,故AM=(AC-A1C1)=,则A1M=,所以所求体积为V=×(4+1+)×。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 规则的几何体可以直接套用柱、锥、台的体积公式求解。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 角度❷:换底法求体积 【例3】　已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中 点,则三棱锥A⁃NMD1的体积为 。  第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　如图,因为正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,所以S△AMN=,所以。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的。如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解。等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 角度❸:分割法与补形法求体积 【例4】　(一题多解)如图,在直角梯形ABCD中,AD=AB=4,BC=2,沿中位线EF折起,使得∠AEB为直角,连接AB,CD,则所得的几何体的体积为 。  6 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　解法一(分割法):如图,过点C作CM平行于AB,交AD于点M,作CN平行于BE,交EF于点N,连接MN。由题意可知四边形ABCM,BENC都是矩形,AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2,所以S△AEB=×2×2=2,因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE⁃MCN和四棱锥C⁃MNFD,又因为直三棱柱ABE⁃MCN的体积为V1=S△ABE·AM=×2×2×2=4,四棱锥C⁃MNFD的体积为V2=S四边形MNFD·BE=×(1+2)×2×2=2,所以所求几何体的体积为V1+V2=6。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解法二(分割法):如图,连接AC,EC,则几何体分割为四棱锥C⁃ADFE和三棱锥C⁃ABE,因为VC⁃ADFE=,VC⁃ABE=,所以几何体的体积为VC⁃ADFE+VC⁃ABE==6。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解法三(补形法):如图,延长BC至点M,使得CM=2,延长EF至点N,使得FN=1,连接DM,MN,DN,得到直三棱柱ABE⁃DMN,所以几何体的体积等于直三棱柱ABE⁃DMN的体积减去四棱锥D⁃CMNF的体积。因为VABE⁃DMN=×4=8, VD⁃CMNF=×2=2,所以几何体的体积为VABE⁃DMN-VD⁃CMNF=8-2=6。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 求解不规则几何体体积的方法 把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❷ ❸ 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 1.(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为( ) A.π B.π C.3π D.3π B 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　在△AOB中,∠AOB=120°,而OA=OB=,取AB的中点C,连接OC,PC,则OC⊥AB,PC⊥AB,如图, ∠ABO=30°,OC=,AB=2BC=3,由△PAB的面积为,得,解得PC=,于是PO=,所以圆锥的体积V=π×OA2×PO=π×()2×π。故选B。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 2.如图,直三棱柱ABC⁃A1B1C1的各棱长均为2,D为棱B1C1上任意一点,则三 棱锥D⁃A1BC的体积是  。  解析　因为D为棱B1C1上任意一点,所以S△BCD=×2×2=2。又点A1到平面BCC1B1的距离d=,所以。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 3.(2024·武汉市调研)半正多面体亦称“阿基米德体”,是以边数不全相同的正多边形为面的多面体。如图,将正方体沿交于一顶点的3条棱的中点截去1个三棱锥,如此共可截去8个三棱锥,得到一个有14个面的半正多面体,它的各棱长都相等,其中8个面为正三角形,6个面为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体。则得到的二十四等边体与原正方体的体积的比 值为  。  第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解析　设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a3,标记部分点如图所示,则VA⁃BCD=,所以二十四等边体的体积为a3-a3,所以二十四等边体与原正方体的体积的比值为。 第七章　第一节　第1课时　空间几何体及其表面积、体积 点击 导航 关键能力·突破 主干知识·整合 高考复习顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相 且 多边形 互相 且 侧棱 互相 且 相交于 ,但不一定相等 延长线交于 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等, 于底面 长度相等且相交于 延长线交于 轴截面 全等的 全等的 全等的 圆 侧面展开图 扇形 扇环 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧= S圆锥侧= S圆台侧= 　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底h 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底h 台体 (棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2 V=πR3 $$