专题3.2 函数的性质（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题3.2 函数的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的概念及表示 3 考点二：相等函数 5 考点三：求函数的定义域 7 考点四：求函数的解析式 8 考点五：分段函数 10 【考纲要求】 1.理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性 2.能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象． 【考向预测】 1. 判断函数的单调性 2. 判断函数的奇偶性 3. 已知单调性求参数取值范围 4. 函数的单调性与奇偶性综合问题 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 【考点分类剖析】 考点一：函数的单调性 例1．已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 例2．下列函数在上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1. 定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的单调区间是 D．不是增函数就是减函数 3．函数的增区间为 . 考点二：已知单调性求参数取值范围 例1．函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 例2．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 例3．若函数在R上是减函数，且，则a与b的大小关系是 . 【变式探究】1．若函数在上是增函数，则（     ）. A． B． C． D． 2．若函数在R上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则函数的单调递增区间是 . 考点三：函数的奇偶性 例1．图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 例2．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 例3．设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为 . 【方法规律】判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中． 【变式探究】1．定义在R上的奇函数在上的图象如图所示．      (1)请在坐标系中补全函数的图象； (2)结合图象求不等式的解集． 2．判断下列函数是否具有奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 3．已知，，且是奇函数，则 ． 考点四：函数的单调性与奇偶性综合问题 例1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 例3．若函数是偶函数，则的单调递增区间是 ． 【变式探究】1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的概念及表示 3 考点二：相等函数 5 考点三：求函数的定义域 7 考点四：求函数的解析式 8 考点五：分段函数 10 【考纲要求】 1.理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性 2.能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象． 【考向预测】 1. 判断函数的单调性 2. 判断函数的奇偶性 3. 已知单调性求参数取值范围 4. 函数的单调性与奇偶性综合问题 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 【考点分类剖析】 考点一：函数的单调性 例1．已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和. 故选：B 例2．下列函数在上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】解：对于A：在定义域上单调递增，故A错误； 对于B：在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C：在定义域上单调递减，故C正确； 对于D：，函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：C 例3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果. 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 【变式探究】1. 定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可. 【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：B 2．下列说法中，正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的单调区间是 D．不是增函数就是减函数 【答案】D 【分析】根据函数的单调性逐一分析即可. 【详解】在上单调递减，在上单调递增，故错误； 在和上是增函数，故错误； 的单调区间为和，故错误； 时，是增函数， 时，是减函数，故正确. 故选：. 3．函数的增区间为 . 【答案】 【分析】配方后结合开口方向和对称轴，求出单调递增区间. 【详解】，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 故答案为： 考点二：已知单调性求参数取值范围 例1．函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得， 故选：B． 例2．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示出二次函数的对称轴，然后列出不等式即可求解. 【详解】开口向下的二次函数的对称轴是， 因为函数在区间上为严格增函数， 所以，解得. 故答案为：. 例3．若函数在R上是减函数，且，则a与b的大小关系是 . 【答案】 【分析】由减函数的定义判断即可. 【详解】由减函数的定义可知， 若函数在R上是减函数，且，则. 故答案为：. 【变式探究】1．若函数在上是增函数，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是增函数，求解参数范围. 【详解】因为在上是增函数， 则,即. 故选：A 2．若函数在R上是增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用函数单调性的定义，列不等式进行求解即可. 【详解】∵函数在R上是增函数，且， ∴由函数单调性的定义可知，， 解得， ∴实数的取值范围是． 故选：C． 3．已知，则函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】画出函数的图象，根据图象可得结果． 【详解】由题意得，画出函数的图象如下图所示． 由图象可得，函数的单调递增区间为．（填也可）． 考点三：函数的奇偶性 例1．图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据函数定义域和函数为奇函数得到； （2）根据函数图象和奇偶性画出函数图象； （3）结合函数图象和单调性得到大小关系. 【详解】（1）为定义在上的奇函数，故； （2）图象如下：    （3）由函数图象可以看出在上单调递增， 故. 例2．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数. 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （3）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. 例3．设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为 . 【答案】0 【分析】根据函数的奇偶性的定义可得答案. 【详解】解：因为函数（）是偶函数，所以， 所以，得，所以， 故答案为：0. 【方法规律】判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中． 【变式探究】1．定义在R上的奇函数在上的图象如图所示．      (1)请在坐标系中补全函数的图象； (2)结合图象求不等式的解集． 【答案】(1)作图见解析 (2). 【分析】（1）由奇函数图象关于原点对称即可作出的图象； （2）分和观察图象可得. 【详解】（1）因为为奇函数，所以图象关于原点对称，故图象如图所示：    （2）不等式可化为或， 结合图象可知或， 故不等式的解集为. 2．判断下列函数是否具有奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义分别判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数； （2）函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数； （3）函数的定义域为， 因为， 所以， 所以函数是非奇非偶函数； （4）因为函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. 3．已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可求参数. 【详解】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 考点四：函数的单调性与奇偶性综合问题 例1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断. 【详解】是奇函数，它在区间上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的； 是偶函数，所以选项B是错误的； 既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的； 满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的； 故选：D. 例2．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果. 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5， 所以， 又为奇函数， 所以函数在区间上是增函数，且有最大值. 故选：A 例3．若函数是偶函数，则的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】由函数是偶函数，可得，求得，再利用二次函数的单调性即可得出其单调区间． 【详解】解：∵函数是偶函数， ∴， ∴， 化为，此式对于任意实数都成立， ． ， ∴函数的递增区间是． 故答案为：． 【变式探究】1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性和单调性进行判断. 【详解】对于A，由解析式可知函数为偶函数，其图象开口向下，在上单调递减，符合题意； 对于B,C，由指数函数和对数函数的性质可知两者均不是偶函数，不合题意； 对于D，当时，，不是单调函数，不合题意. 故选：A. 2．已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数为偶函数，得到. 【详解】因为函数是偶函数，且该函数的图像经过点， 所以，D正确，其他选项不对. 故选：D 3．下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性定义和指数函数与幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于，根据幂函数的图像和性质，知是偶函数，图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数，故正确； 对于，是偶函数，图象关于轴对称，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是偶函数，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是奇函数，图象关于原点对称，故错误. 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$