第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：沪教版第16-17章）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） 考查范围：沪教版第16-17章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2024八年级上·上海·专题练习）计算：（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列各根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海·模拟预测）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．由于不知道m的值，无法确定 5．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 6．（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24八年级上·上海普陀·期末）化简： ． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）方程的根是 ． 9．（22-23七年级下·上海·期末）比较大小： ． 10．（2024·山东青岛·三模）计算的结果是 ． 11．（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 12．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内分解因式： ． 13．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：则xy+1＝ ． 14．（22-23八年级上·上海青浦·期中）当 时，最简根式与是同类二次根式． 15．（23-24八年级上·上海·阶段练习）代数式如果有意义，则x的取值范围为 ． 16．（23-24八年级上·上海·期末）设是方程的两个根， ． 17．（2024·上海·模拟预测）关于x的方程：，有两个相等实数根，则 ，有两个不相等实数根，k的取值范围为 ，两根之和为 ，两根之积为 ． 18．（23-24八年级上·上海青浦·期中）某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了 . 从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张. 如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为 ，则根据题意可列方程为 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24八年级上·上海松江·期末）计算：． 20．（2024八年级上·上海·专题练习）先化简，再求值： 已知，求的值． 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) (2) 22．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 23．（2024八年级上·上海·专题练习）从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 24．（23-24八年级上·上海金山·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    (1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； (2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 25．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） 考查范围：沪教版第16-17章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2024八年级上·上海·专题练习）计算：（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 2．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列各根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级上·上海·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足三个条件：（1）整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0．依此即可求解． 【详解】解：A、，当时，是一元一次方程，故错误； B、，整理后符合要求，故正确； C、不是一元二次方程，故错误； D、是分式方程，故错误． 故选：B． 4．（2024·上海·模拟预测）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．由于不知道m的值，无法确定 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等实数根， 故选A． 5．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵同时满足和， 关于的方程两个 实数根为 ， 或， 的根为或 ， 与互为“同伴方程”， 或． 故答案为： 1或． 6．（2024·上海嘉定·二模）关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴k的取值范围为． 故选：B． 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24八年级上·上海普陀·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据题意知，然后根据平方根的 性质化简． 本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解答此题的关键． 【详解】由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海崇明·期末）方程的根是 ． 【答案】0或 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：0或． 9．（22-23七年级下·上海·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，要比较的两个数都是带根号的无理数时，应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数．也可以采用求近似值的方法来进行比较． 因为相比较的两个数都带根号，所以应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴ 故答案为： 10．（2024·山东青岛·三模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用二次根式的乘法法则及化简的法则进行运算即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】 本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解． 【详解】解：时，， ， 故答案为：． 13．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：则xy+1＝ ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可确定的值，进而求得的值，代入代数式求解即可． 【详解】， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，求得的值是解题的关键． 14．（22-23八年级上·上海青浦·期中）当 时，最简根式与是同类二次根式． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为： 15．（23-24八年级上·上海·阶段练习）代数式如果有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·上海·期末）设是方程的两个根， ． 【答案】177 【分析】 本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．根据根与系数的关系及根的定义得到，，然后利用整体代入的方法计算计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：177． 17．（2024·上海·模拟预测）关于x的方程：，有两个相等实数根，则 ，有两个不相等实数根，k的取值范围为 ，两根之和为 ，两根之积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可． 【详解】解：∵关于x的方程：有两个相等实数根， ∴， 解得，； ∵关于x的方程：有两个不相等实数根， ∴， 解得，； ∵， ∴两根之和为，两根之积为； 故答案为：，，，． 18．（23-24八年级上·上海青浦·期中）某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了 . 从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张. 如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为 ，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程应用，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 先计算出二月份的产量，设3月份、4月份的平均增长率为x，然后再根据“”以及四月份产量达到648张即可列出方程． 【详解】解：根2月份生产课桌张， 设3月份、4月份的平均增长率为x，则3月份的产量是，4月份的产量是， 所以 ． 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24八年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式加减运算，先分母有理化，化简二次根式，再加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．（2024八年级上·上海·专题练习）先化简，再求值： 已知，求的值． 【答案】，3 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．先化简得，再将代入即可得． 【详解】解：原式 = 当代入得： ． 21．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法得到，再开平方即可解答； （2）根据因式分解法得到，进而可得或即可解答． 本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 22．（22-23八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析； (2)（n为任意自然数，且） 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 23．（2024八年级上·上海·专题练习）从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 【答案】(1)一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根． （1）根据一元二次方程根的定义即可求解； （2）将代入方程，验证左右两边相等，可知也是方程的一个根． 【详解】（1）解：一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； （2）由于时，，故也是方程的一个根． 即：方程还有另一个根：． 24．（23-24八年级上·上海金山·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    (1)据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； (2)为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）设这个增长率为，根据养鸡场今年养鸡只，预估后年养鸡只，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：（米），不合题意； 当时，的长为：（米）米； ∴米， 答：重建后的养鸡场的宽为米． 25．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)k的值为1 (2)①，；②猜想：当时，，证明见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义； （1）根据根与系数的关系即可求出答案． （2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，，，根据一元二次方程的解的定义可得，进而求得； ②根据题意，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ 解得：， 由根与系数的关系可知∶， ，即， 整理得：， 解得： (舍去)， ， ∴k的值为1． （2）①由根的定义可知，， 又∵是一元二次方程的两个实数根， ， ②猜想：当时， 证明：因为为方程的根，所以有，等式两边都乘以，得 同理可得： 两式相加可得： 根据题意，，， ∴，且根据题意，因此， 所以当3时，有． 学科网（北京）股份有限公司 $$