第06讲 函数的应用（一）（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第06讲 函数的应用（一） 课程标准 学习目标 ① 理解与掌握具体函数的应用的意义，掌握常见函数的模型，并能解决与常见函数相关的问题。 ②能根据实际意义，建立函数模型，并能解决实际问题.。 通过本节课的学习，能解决常见函数的具体问题的处理，能根据实际意义，建立函数模型解决相关的问题 知识点一：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点二：对钩函数（耐克函数） 1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 题型01一次函数模型的应用 【典例1】（23-24高一上·云南红河·阶段练习）若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·安徽·期中）刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表： 套餐 月租 本地话费 长途话费 套餐甲 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 套餐乙 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． (1)设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数； (2)请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐． 【变式1】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数的表达式为． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【变式2】（19-20高一上·广东揭阳·期末）某校高一（1）班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元,经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成：一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示的关系. （Ⅰ）求与的函数关系； （Ⅱ）当为120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少？ 【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象． （1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______． （2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？ （3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？ 题型02二次函数模型的应用 【典例1】（23-24高一上·北京平谷·期末）在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论： ①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多； ②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等； ③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆； ④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 ． 【典例2】（23-24高一上·广东揭阳·期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表： 时间 7 9 10 11 13 种植成本 19 11 10 11 19 为了描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系，现有以下四种函数模型供选择： ①， ②， (1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式； (2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高一上·湖北咸宁·自主招生）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 明天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） (3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围． 【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）设是定义在[m,n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m,n]称为含峰区间. (1)试判断是否为[0,6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，a、b、）是定义在[m,3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0,4]，求a的取值范围； 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表. 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79 该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字). 题型03分段函数模型的应用 【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【典例2】（23-24高一上·山东青岛·期中）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． (1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （销售利润=销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【变式1】（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与产量x（单位：百件）的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与产量x的函数关系式为 (1)求该商品的利润关于产量x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本） (2)为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？ 【变式2】（23-24高一上·新疆·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式3】（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 题型04利用对钩函数求最值或值域 【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．设长为（单位：）． (1)用表示的长度，并求的取值范围； (2)当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【典例2】（23-24高一上·云南·期末）古人云：“北人参，南三七”，三七又被誉为“南国神草”，文山是三七的主产地，是“中国三七之乡”．通过对文山某三七店铺某月（30天）每天销售袋装三七粉的调查发现：每袋的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：袋）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 5 10 15 20 25 30 50 55 60 65 60 55 (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设袋装三七粉在该月的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【变式1】（23-24高一上·四川眉山·期末）汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和，通过祭服、朝服、公服、常服以及配饰体现出来．汉服文化从三皇五帝延续（清代被迫中断），通过连绵不断的继承完善着自己，是一个非常成熟并自成体系的千年文化．在当代，汉服文化正在通过汉服运动这一民间文化运动形式逐渐复兴．近年来，盛行汉服沉浸式体验，人们喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照．近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量H（件）与日租赁价格S（元/件）都是时间t（天）的函数，其中（），．每件汉服的综合成本为10元． (1)写出该店日租赁利润W与时间t之间的函数关系； (2)求该店日租赁利润W的最大值．（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 【变式2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）已知一种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，且每万台的销售收入(万元)与年产量(万台)的函数关系式满足：． (1)写出年利润(万元)关于年产量(万台)的函数解析式(年利润＝年销售收入－总成本)． (2)每年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大． 【变式3】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评估，当待岗员工人数不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗? A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若幂函数在上为减函数,则m的值为（　  　） A．1或3 B．1 C．3 D．2 2．（23-24高一·全国·单元测试）2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为 级数 全月应纳税所得额 税率(%) 1 不超过元 3 2 元 10 注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额. A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元 3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 5．（23-24高一·全国·课后作业）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一·全国·课后作业）据调查，某自行车存车处，在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 二、多选题 9．（23-24高一·全国·课后作业）(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（    ） A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元 B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元 C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用 D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km 10．（23-24高一上·福建福州·期末）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本的数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（    ） A．取得最大值时每月产量为台 B．边际利润函数的表达式为 C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 三、填空题 11．（23-24高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 12．（23-24高一·全国·课后作业）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 四、解答题 13．（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 14．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某超市引进，两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货千克．假设A，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克． (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利（单位：元）的表达式； (2)若，求的取值范围． B能力提升 1．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米．如果池四周围壁建造单价为400元/米，中间两道隔壁墙建造单价为248元/米，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计．设污水池的长为米，总造价为(元)，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期中）若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ；（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. (1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? C新定义题型 1．（23-24高一上·北京西城·期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． (1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）； ①；     ②； (2)若是函数的“区间”，求m的取值范围； (3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 函数的应用（一） 课程标准 学习目标 ① 理解与掌握具体函数的应用的意义，掌握常见函数的模型，并能解决与常见函数相关的问题。 ②能根据实际意义，建立函数模型，并能解决实际问题.。 通过本节课的学习，能解决常见函数的具体问题的处理，能根据实际意义，建立函数模型解决相关的问题 知识点一：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点二：对钩函数（耐克函数） 1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 题型01一次函数模型的应用 【典例1】（23-24高一上·云南红河·阶段练习）若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主元变换，构造关于的函数.根据函数性质，只需与都大于即可. 【详解】由题意知，，恒成立， 设函数， 即，恒成立. 则，即， 解得，或. 故选：C. 【典例2】（23-24高一上·安徽·期中）刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表： 套餐 月租 本地话费 长途话费 套餐甲 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 套餐乙 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． (1)设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数； (2)请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐． 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题可知他每月接打本地电话时间为，接打长途，结合条件即得； （2）利用作差法，然后分类讨论即得. 【详解】（1）因为刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍， 所以他每月接打本地电话时间为，接打长途． 若选择套餐甲，则月租12元，本地话费，长途话费， 则； 若选择套餐乙，则月租0元，本地话费，长途话费， 则． （2）∵， 当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱； 当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱； 当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样． 【变式1】（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数的表达式为． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据关于x的不等式的解集为列出方程，解之即可求解； （2）关于的一次函数大于零恒成立，只需两端点的值大于零即可，解不等式组即可求解. 【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为， 所以，解得：， 所以实数的值为. （2）因为当时，不等式恒成立， 则，即，解得：或， 所以实数的取值范围为或. 【变式2】（19-20高一上·广东揭阳·期末）某校高一（1）班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元,经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成：一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示的关系. （Ⅰ）求与的函数关系； （Ⅱ）当为120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少？ 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少. 【解析】(Ⅰ)根据题意设出直线方程,再代入图示数据,即可得出与的函数关系; (Ⅱ)分别求出两种情形下的年花费费用,进行比较即可. 【详解】(Ⅰ)根据题意,可设, 时,;时,, ,解得, 所以与的函数关系为:; (Ⅱ)该班学生购买饮料的年费用为(元), 由(Ⅰ)知,当时,, 故该班学生购买纯净水的年费用为:(元),比购买饮料花费少, 故该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少. 【点睛】本题考查函数模型的选取及实际应用,属于简单题. 【变式3】（2024高三下·全国·专题练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象． （1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______． （2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？ （3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？ 【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min 【分析】（1）设出对应的函数表达式，将代入列方程组，解方程组求得 对应的函数关系式.（2）设出小明爸爸所走路程与时间的函数关系式，将代入列方程组，解方程组求得明爸爸所走路程与时间的函数关系式，联立这个关系式和（1）中求得的关系式，解方程组求得第三次相遇的时间.（3）先求得小明爸爸全程所用的时间，由此求得小明在步行过程中停留的时间需减少的时间. 【详解】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b， 将（30，800），（60，2000）代入得， ，解得， ∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400． （2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n， 则，解得． 即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200， 解方程组，得， 即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇． （3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75， ∵75–60=15， ∴小明希望比爸爸早18 min到达公园， 则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min． 【点睛】本小题主要考查一次函数的实际应用问题，考查二元一次方程组的解法，考查图像分析的方法，属于中档题. 题型02二次函数模型的应用 【典例1】（23-24高一上·北京平谷·期末）在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论： ①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多； ②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等； ③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆； ④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】因为分母是二次函数，通过分析二次函数的单调性来分析整个函数的单调性，可判断①②的正确性；通过自变量的范围分析分母的范围，从而得出整个函数的值域，可判断③④的正确性. 【详解】对于①，因为， 令； 则在内单调递减，在内单调递增， 所以先增后减，命题①错误； 对于②，因为是二次函数，函数图象的对称轴是，所以， 所以，命题②正确； 对于③，因为的最小值是， 所以的最大值是， 即在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆，命题③正确； 对于④，因为， ，且，所以的最小值为， 即在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆，命题④正确. 综上，所有正确结论的序号是②③④. 故答案为：②③④. 【点睛】结论点睛： （1）函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调； （2）如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数. 【典例2】（23-24高一上·广东揭阳·期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表： 时间 7 9 10 11 13 种植成本 19 11 10 11 19 为了描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系，现有以下四种函数模型供选择： ①， ②， (1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式； (2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数的取值范围. 【答案】(1)选②，理由见解析， (2) 【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （2）通过二次函数的性质即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增， 因为，，，都是单调函数，所以不符合题意， 因为可以先单调递减后单调递增，故选②， 由表格数据可知在图象上， 得，解得，则， ∵，， ∴也在图象上， 所以. （2）由（1）知，故其图象的对称轴为，且开口向上， ， 所以，即实数的取值范围是． 【变式1】（23-24高一上·湖北咸宁·自主招生）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 明天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） (3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围． 【答案】(1) (2)50元/件；9000 (3) 【分析】（1）根据表格中数据进行描点作图，并猜想函数关系为一次函数，从而求解； （2）求出利润的关系式，从而可求解； （3）求出捐赠后的利润，根据二次函数性质求得，从而可求解. 【详解】（1）如下图，由图猜想与是一次函数，设这个函数为， 又这个函数图象过两点，， 所以，解得， 所以函数关系式为. （2）由（1）知总销售额为，设利润为， 所以总利润为， 当时，有最大值元. （3）由题意可得设扣除捐赠后的利润为， 因为，所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大。 所以时，有最大值， 又因为当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大， 所以，解得，又因为， 所以的取值范围为. 【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）设是定义在[m,n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m,n]称为含峰区间. (1)试判断是否为[0,6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，a、b、）是定义在[m,3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0,4]，求a的取值范围； 【答案】(1)是“含峰函数”， 峰点为； (2). 【分析】（1）由“含峰函数”的定义，结合二次函数性质即可判断是否为“含峰函数”， 并确定峰点； （2）由二次函数性质及峰点、值域可得且，再讨论、应用最小值求参数a范围. 【详解】（1）是在[0,6]上的“含峰函数”，理由如下， 由，开口向下且对称轴为， 所以区间[0,6]上，函数在上递增，在上递减，且峰点为， 所以为[0,6]上的“含峰函数”， 峰点为. （2）由题设，，则， 又值域为[0,4]，故， 综上，且， 当时，，则； 此时，故； 当时，，则； 综上，. 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表. 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79 该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字). 【答案】12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品；约为4.6万元. 【分析】先画出散点图，根据变化规律分别选用二次函数与一次函数模型进行模拟，再根据数据待定系数法求函数解析式，最后应用求出的函数模型求解纯利润的最大值. 【详解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．      观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示． 取为最高点，则， 再把点代入，得， 解得，所以. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示． 设，取点和代入， 得，解得. 所以. 设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为万元，万元，总利润为万元， 那么 ， 当x＝3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元． 故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元. 题型03分段函数模型的应用 【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一； （2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值. 【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 . 所以年利润. （2）由（1）当时， （百辆）时（万元）， 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【典例2】（23-24高一上·山东青岛·期中）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． (1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式； （销售利润=销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【答案】(1)； (2)当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元 【分析】（1）分、分别求解即可； （2）根据、及二次函数、基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 所以； （2）解：当时，， 当时，y取得最大值，最大值为500万元； 当时，， 当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为560万元． 综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元 【变式1】（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与产量x（单位：百件）的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与产量x的函数关系式为 (1)求该商品的利润关于产量x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本） (2)为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？ 【答案】(1) (2)为使该商品的利润最大化，产量为百件. 【分析】（1）利用求出利润函数即可； （2）先求出在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量. 【详解】（1）由题意，利润， 所以. （2）由（1）知，当时，， 在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减， 所以. 综上，为使该商品的利润最大化，产量为百件. 【变式2】（23-24高一上·新疆·期中）党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本） (2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元． 【分析】（1）根据已知条件及年利润年销售收入固定成本变动成本即可求解； （2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 所以； （2）当时，， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下， 所以当时，取得最大值为； 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 因为， 所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元． 【变式3】（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. (1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； (2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 【答案】(1) (2)当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元. 【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解； （2）当，时，求得万元；当，时，结合基本不等式，即可求. 【详解】（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元， 利润为，解得， 则. （2）当，，，对称轴为， 则函数在，上单调递增，故当时，， 当，时， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元. 题型04利用对钩函数求最值或值域 【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．设长为（单位：）． (1)用表示的长度，并求的取值范围； (2)当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)，； (2)当时，总造价最小为240000元. 【分析】（1）根据题意结合矩形的面积分析求解； （2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：矩形的面积为，因此， 因为，所以． （2）由题意可得： ，（） 由基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 【典例2】（23-24高一上·云南·期末）古人云：“北人参，南三七”，三七又被誉为“南国神草”，文山是三七的主产地，是“中国三七之乡”．通过对文山某三七店铺某月（30天）每天销售袋装三七粉的调查发现：每袋的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：袋）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示： 5 10 15 20 25 30 50 55 60 65 60 55 (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设袋装三七粉在该月的日销售收入为（单位：元），求的最小值． 【答案】(1)选模型④，； (2)元. 【分析】（1）根据表格数据变化趋势判断合适模型，再将数据代入求参数，即可得函数解析式； （2）由，应用基本不等式、分式型函数的单调性求最小值即可. 【详解】（1）由表格数据知：先递增后递减，显然模型①②③均不符合； 故合适的模型为④且，将数据代入可得， ，则，故， 表格其他数据也满足上述函数式， 所以. （2）由题设 ， 当，， 当且仅当时等号成立，此时最小值为元； 当，单调递减，故最小值为元； 综上，的最小值为元. 【变式1】（23-24高一上·四川眉山·期末）汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和，通过祭服、朝服、公服、常服以及配饰体现出来．汉服文化从三皇五帝延续（清代被迫中断），通过连绵不断的继承完善着自己，是一个非常成熟并自成体系的千年文化．在当代，汉服文化正在通过汉服运动这一民间文化运动形式逐渐复兴．近年来，盛行汉服沉浸式体验，人们喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照．近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量H（件）与日租赁价格S（元/件）都是时间t（天）的函数，其中（），．每件汉服的综合成本为10元． (1)写出该店日租赁利润W与时间t之间的函数关系； (2)求该店日租赁利润W的最大值．（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 【答案】(1) (2)315 【分析】（1）由题意得到，得到函数关系式； （2）分与两种情况，结合二次函数和对勾函数单调性，求出最大值. 【详解】（1） ； （2）当时，， 当时，W取得最大值，最大值为， 当时， ， 令，解得， 由对勾函数性质可知在上单调递减， 在上单调递增， 且当时，， 当时，， 由于， 故时，W的最大值为， 因为，所以该店日租赁利润W的最大值为315元． 【变式2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）已知一种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，且每万台的销售收入(万元)与年产量(万台)的函数关系式满足：． (1)写出年利润(万元)关于年产量(万台)的函数解析式(年利润＝年销售收入－总成本)． (2)每年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据年利润＝年销售收入－总成本，分别求出当和时的年利润即可； （2）由（1）中分段函数，分别求出最大利润即可求解． 【详解】（1）由题意得， 当时，， 当时，， 所以． （2）当时，， 因为， 所以当时，取最大值； 当时，， (ⅰ)当时，在上单调递增，且， 所以当时，， (ⅱ)当时，， 所以，当且仅当，即时取等号， 综上，(ⅰ)当时，当年产量为m万台时，该公司获得最大利润万元； (ⅱ)当时，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润万元． 【变式3】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评估，当待岗员工人数不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗? 【答案】16名 【分析】根据题设列出企业年利润为万元关于待岗员工人数的分段函数形式，注意定义域，再由基本不等式、一次函数性质求对应区间上的最大值，并确定待岗员工人数. 【详解】设重组后，该企业年利润为万元. 当待岗人员不超过时，由且， 则； 当待岗人员超过且不超过时，由，得， 则， 综上，且， 当且时，有， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，为； 当且时，函数为减函数. 所以. 综上，当时有最大值8840.64万元，即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若幂函数在上为减函数,则m的值为（　  　） A．1或3 B．1 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由幂函数在区间上为减函数，可得，．解出即可． 【详解】函数是幂函数， 则，解得：或 又函数在区间上为减函数， 则，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查了幂函数的定义及其单调性，属于基础题． 2．（23-24高一·全国·单元测试）2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为 级数 全月应纳税所得额 税率(%) 1 不超过元 3 2 元 10 注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额. A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元 【答案】A 【分析】设此人的工资为元，则根据题设条件可得纳税额与的关系，再令，则可得此人的工资收入. 【详解】设此人的工资为元，纳税额为，则有， 当时，，故当（元）时，， 令， 则（元），故选A. 【点睛】本题考查分段函数的应用，属于基础题. 3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用函数奇偶性定义易得函数奇偶性，对于函数单调性判断，可以通过函数图象进行判断，或者等价转化简化函数解析式，再进行判断. 【详解】 对于项，为奇函数，不符合题意，故A项错误； 对于B项，为偶函数，在上单调递减，不符合题意，故B项错误； 对于C项，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意，故C项正确； 对于D项，为奇函数，不符合题意，故D项错误. 故选：C． 4．（2024·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 5．（23-24高一·全国·课后作业）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过的，按每立方米元收费；用水超过的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出用水量与电费发函数关系，再解方程. 【详解】设该职工用水时，缴纳的水费为元，由题意得， 则，解得. 答：该职工这个月实际用水为. 故选：A 【点睛】解应用题关键是找出变量之间的关系，列方程求解未知量. 6．（23-24高一·全国·课后作业）据调查，某自行车存车处，在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意存车费总收入=变速车存车总费用+普通车存车总费用即可求解. 【详解】存车费总收入=变速车存车总费用+普通车存车总费用 即，其中，. 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数的模型应用，属于基础题. 7．（23-24高一上·江西新余·期末）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围. 【详解】设为奇函数，且当时，，则时，. 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题. 8．（23-24高一上·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 【答案】B 【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【详解】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高一·全国·课后作业）(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（    ） A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元 B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元 C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用 D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km 【答案】BCD 【分析】根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案. 【详解】对于A选项：出租车行驶4 km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误； 对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确； 对于C选项：乘出租车行驶5 km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确； 对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题. 10．（23-24高一上·福建福州·期末）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本的数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（    ） A．取得最大值时每月产量为台 B．边际利润函数的表达式为 C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 【答案】BCD 【分析】求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，， 因为函数为减函数，则，C对； 对于D选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对. 故选：BCD. 三、填空题 11．（23-24高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为： . 【答案】， 【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长，从而便可得到总造价与的解析式. 【详解】根据条件，该蓄水池的总造价元，池底一边的长度米，底面另一边长为米, ∴长方体的底面积为16，侧面积为，由题意得： ，, 故答案为：，. 12．（23-24高一·全国·课后作业）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 【答案】200 【分析】根据题意，列出分段函数，分段求最值，即可得到结论． 【详解】解：由题意， 时，， 时，； 时，， 天时，总利润最大为10000元 故答案为：200． 【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题． 四、解答题 13．（23-24高一上·浙江嘉兴·期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 【答案】(1) (2)立方米 (3)元 【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解. 【详解】（1）因为某户该月用水立方米， 按收费标准可知，当时，； 当时，； 当时，． 所以 （2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档， 所以， 解得． 所以该月的用水量为立方米． （3）因为， 所以． 当时，，此时． 所以此时两户一共需要支付的水费是元． 14．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）某超市引进，两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货千克．假设A，类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克． (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利（单位：元）的表达式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、写出分段函数即可； （2）解分段函数不等式，即可求出. 【详解】（1）当，时，； 当，时，． 故 （2）当，时，由，解得； 当，时，由，解得． 故的取值范围是． B能力提升 1．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米．如果池四周围壁建造单价为400元/米，中间两道隔壁墙建造单价为248元/米，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计．设污水池的长为米，总造价为(元)，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算池壁，池底和隔离墙的造价，得出解析式，再列不等式得出的范围即可. 【详解】由题意，污水池的宽为，则四周池壁总造价为， 池底造价为：，两道隔壁墙造价为：， 所以， 又，解得：. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数模型的应用，属于基础题. 2．（23-24高一上·重庆·期中）若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间 ；（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 或或 【解析】（1）设是区间上的共鸣区间，由解得结果即可得解； （2）根据题意转化为方程在上有两个不等的实根，然后换元，令，转化为在上有两个不等的实根，令，利用二次函数的性质列式可解得结果. 【详解】（1）设是区间上的共鸣区间，因为在上递增，且在上的值域也为， 所以，即，因为，所以或或， 函数的共鸣区间为或或. （2）因为函数在上单调递增，若存在共鸣区间，则，即，也就是方程在上有两个不等的实根， 令，得， 所以在上有两个不等的实根， 令， 则，即，解得， 故实数k的取值范围是 【点睛】关键点点睛：第二问利用等价转化思想将问题转化为二次函数的零点问题求解是解题关键. 3．（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. (1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每台型挖掘机一小时挖土30立方米，每台型挖据机一小时挖土15立方米 (2)型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元 【分析】（1）设每台A型，B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【详解】（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得 ，解得. 所以，每台型挖掘机一小时挖土30立方米， 每台型挖据机一小时挖土15立方米. （2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，得， 因为，解得， 又因为，解得， 所以. 所以，共有三种调配方案. 方案一：当时，，即型挖据机7台，型挖掘机5台； 案二：当时，，即型挖掘机8台，型挖掘机4台； 方案三：当时，，即型挖掘机9台，型挖掘机3台. ，由一次函数的性质可知，随的减小而减小， 当时，， 此时型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元. 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 【答案】(1) (2)时有最小值，最小值为. 【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数； （2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值. 【详解】（1）由题可先写出速度关于时间的函数， 代入与公式可得 解得； （2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值； ②疲劳阶段， 则有， 当且仅当，即时，“”成立， 所以疲劳阶段中体力最低值为， 由于，因此，在时，运动员体力有最小值. C新定义题型 1．（23-24高一上·北京西城·期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． (1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）； ①；     ②； (2)若是函数的“区间”，求m的取值范围； (3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”． 【答案】(1)①是，②不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论； （2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解； （3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且. 【详解】（1）对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”， 对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2， 不是函数的“区间”. （2）记， ，注意到， 因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即. 当时，在上单调递增，且， 所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意. 综上，. （3）对于任意区间，记， 依题意，在上单调递减，则. 因为，所以， 即S的长度大于的长度，故不满足性质①. 因此，如果为的“Q区间”，只能满足性质②，即， 即只需存在使得，或存在使得. 因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间" . 记，先证明函数有唯一零点； 因为在上单调递减，所以在上单调递减. 若，则为的唯一零点； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 综上，函数有唯一零点，即， 已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$