第05讲 3.3幂函数（知识清单+12类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第05讲 3.3幂函数 课程标准 学习目标 ①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式； ②掌握常见幂函数的图像； ③利用幂函数的单调性比较指数式大小。 ④利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解 通过本节课的学习，要求掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数. 知识点01一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 【即学即练1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点02：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【即学即练2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 题型01判断函数是否为幂函数 【典例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】（多选）（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（多选）（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02求幂函数的值 【典例1】（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 【变式2】（23-24高一下·广西·开学考试）已知是幂函数，则 . 题型03求幂函数的解析式 【典例1】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ． 题型04根据函数是幂函数求参数 【典例1】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ． 题型05求幂函数的定义域 【典例1】（23-24高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【典例2】（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·北京延庆·期末）下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 题型06求幂函数的值域 【典例1】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【典例2】（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【变式1】（2024高一·上海·专题练习）求函数的定义域、值域，并判断其单调性 【变式2】（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 题型07幂函数的图象的判断及应用 【典例1】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 题型08幂函数过定点问题 【典例1】（23-24高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【典例2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若幂函数的图象经过点，则 ． 【变式1】（23-24高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）函数的图象过定点 ． 题型09幂函数的奇偶性 【典例1】（23-24高二上·全国·阶段练习）下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 【典例3】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·期中）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是 （只要写一个即可） 【变式3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 题型10根据幂函数的单调性求参数 【典例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 【变式2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）幂函数在上单调递增，则 ． 题型11根据幂函数的单调性解不等式 【典例1】（23-24高一下·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【典例2】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【典例3】（23-24高一上·云南大理·期末）已知幂函数. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【变式2】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3】（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型12根据幂函数的单调性比较大小 【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知幂函数的图象不经过原点． (1)求的值； (2)若，试比较与的大小． 【变式1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） 【变式2】（2023高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 4．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）当时，函数为减函数的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 8．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·全国·期中）下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若函数的定义域为，且，则实数的值为 12．（23-24高一上·广西百色·期末）已知幂函数为奇函数.则 . 四、解答题 13．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 14．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域． B能力提升 1．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)在时，解不等式； (3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. C新定义题型 1．（23-24高一上·安徽六安·期末）安徽省六安第二中学始建于1923年，悠悠历史翻开新篇：2023年，六安二中迎来百年校庆——百年二中，桃李芬芳；海峰传人，扬帆起航.2023年12月29日在海峰堂举行了盛大的百年校庆庆典活动，若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，，不等式恒成立，且，设为“海峰函数”，则满足“海峰函数”的的取值范围是 . 2．（23-24高一上·湖南·阶段练习）设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，当的最小值是0时，求m的值； (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 3.3幂函数 课程标准 学习目标 ①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式； ②掌握常见幂函数的图像； ③利用幂函数的单调性比较指数式大小。 ④利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解 通过本节课的学习，要求掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数. 知识点01一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 【即学即练1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 知识点02：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【即学即练2】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数的图象与坐标轴无交点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出即得. （2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或， 由的图象与坐标轴无交点，得，则， 所以的解析式是. （2）显然函数是偶函数，且在上单调递减， 不等式， 因此，解得且， 所以原不等式的解集为且. 题型01判断函数是否为幂函数 【典例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【典例2】（多选）（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可得出答案. 【详解】根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为， 是系数为5的正比例函数，不是幂函数，选项错误； 是幂函数，选项B正确； 是幂函数，选项C正确； 不是幂函数，选项错误； 故选：BC. 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数定义直接判断作答. 【详解】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B 【变式2】（多选）（23-24高一上·陕西咸阳·期中）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据幂函数定义求解. 【详解】根据幂函数的定义知，是幂函数，不是幂函数. 故选：BD 题型02求幂函数的值 【典例1】（23-24高一上·广东湛江·期中）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的解析式，然后可求出. 【详解】设，由，得， ，则. 故选：D 【典例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 . 【答案】16 【分析】设，根据 【详解】设，由可得可得. 故，则. 故答案为：16 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可. 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·广西·开学考试）已知是幂函数，则 . 【答案】4 【分析】利用幂函数解析式的特点及函数值的定义即可求解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为, 故. 故答案为：. 题型03求幂函数的解析式 【典例1】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知幂函数，若函数的图象过点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把给定点的坐标代入幂函数解析式求解即得. 【详解】幂函数的图象过点，则，即，解得， 故选：C 【典例2】（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用幂函数过的点求出的解析式，再利用单调性解不等式即可. 【详解】设幂函数，依题意，，即，因此，解得， 所以函数的解析式为； 显然函数在上单调递减，且， 于是不等式为：，解得，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【答案】 【分析】设，再代入求解即可. 【详解】设，由图像过点可得，解得. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出解析式. 【详解】设幂函数为，将点代入得，解得. 所以． 故答案为： 题型04根据函数是幂函数求参数 【典例1】（23-24高一下·河南许昌·开学考试）若幂函数在上是减函数，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式组），解得即可. 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，解得. 故选：A 【典例2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知幂函数在内是单调递增函数，则实数 . 【答案】 【分析】结合幂函数定义与单调递增性质计算即可得. 【详解】由函数为幂函数且在内单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数是幂函数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据幂函数的定义求出m的值即可. 【详解】由题意知，，解得或. 故答案为：或. 题型05求幂函数的定义域 【典例1】（23-24高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案. 【详解】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④. 故选：C 【典例2】（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得，求解即可. 【详解】由已知得，解得且，所以的定义域为. 故选：B 【变式1】（22-23高一上·北京延庆·期末）下列函数中定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案. 【详解】，定义域为，故A错误； ，定义域为，故B错误； ，定义域为，故C正确； ，定义域为，故D错误， 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 【答案】. 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域. 【详解】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 故答案为：. 题型06求幂函数的值域 【典例1】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】 结合函数解析式并利用幂函数单调性可求得其值域为. 【详解】 由幂函数性质可知在上单调递增， 又易知为偶函数， 所以当时，可知在上单调递减， 可得. 故答案为： 【典例2】（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【详解】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 【变式1】（2024高一·上海·专题练习）求函数的定义域、值域，并判断其单调性 【答案】答案见解析 【分析】将指数变形为，判断其正负，奇偶数，再判断函数的性质. 【详解】因为,，必为奇数，且大于0，所以定义域为，值域为，并且在上为增函数. 【变式2】（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 【答案】，值域为 【分析】先根据幂函数的性质求出，，再根据单调性可得的值域. 【详解】因幂函数在区间为增函数， 则，即， 解得：， 又因，所以或， 当时，为偶函数，不满足； 当时，为奇函数，满足； 故， 当时，， 即函数的值域. 题型07幂函数的图象的判断及应用 【典例1】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D 【典例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 【变式1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【详解】由题意结合图象可知. 故选：B. 【变式2】（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 题型08幂函数过定点问题 【典例1】（23-24高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 【典例2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质和定义可得出关于实数的等式与不等式，由此可求得实数的值. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，即可知恒过定点. 【详解】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】由幂函数的图象过，将代入，可求出答案. 【详解】幂函数的图象过， 将代入，可得， 所以函数的图象过定点. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数图象过定点问题，注意利用幂函数过定点的性质，属于基础题. 题型09幂函数的奇偶性 【典例1】（23-24高二上·全国·阶段练习）下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据幂函数的性质判断即可. 【详解】对于A．的定义域,，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B．，定义域为，且为偶函数，其图象关于轴对称,在区间上是严格减函数，符合题意； 对于C．，定义域为，且为奇函数，且在递增，不符合题意； 对于D．，在区间上是严格减函数，且为奇函数，不符合题意． 故选：B． 【典例2】（23-24高一上·四川·阶段练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的奇函数性质和单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以当幂函数为奇函数时，或； 而幂函数又在上单调递增知，所以， 故答案为： 【典例3】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解； （2）根据的定义域以及单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 则，即，解得或1， 又因为函数关于轴对称， 当时，则为偶函数，满足题意； 当时，则为奇函数，不满足题意； 综上所述：实数的值为. （2）函数，则函数在定义域内单调递减， 由可得:，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 【答案】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·期中）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是 （只要写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件得到可取负奇数，进而可得答案. 【详解】幂函数是奇函数，可取为奇数， 在上单调递减，可取为负数， 故可取负奇数. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 【答案】 【分析】根据题意，利用幂函数的性质，求得，再结合的图象关于y轴对称，进而确定实数的值. 【详解】由幂函数在区间上是严格增函数， 可得，即， 解得且，即， 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当时，可得，此时函数为偶函数，图象关于对称，符合题意； 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意， 综上可得，实数的值为. 题型10根据幂函数的单调性求参数 【典例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】由函数是偶函数且在上是增函数，可知函数在上单调递减，由幂函数的性质可得，结合，即可解出或或，分别代入函数，结合是偶函数即可得出答案. 【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，此时为偶函数，满足题意； 所以. 故选：B 【典例2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】先根据幂函数的定义列方程求的值，再验证是否满足题意. 【详解】由幂函数的解析式可得，即，解得或， 当时，在上是减函数，不符合题意； 当时，在上是增函数，符合题意. 综上可知，. 故答案为：2. 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数在上是减函数，则实数的值为（    ） A．2或 B． C．2 D．或 【答案】B 【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，，解得：或， 当时，，函数在上是减函数，成立， 当时，，函数在上是增函数，不成立， 所以. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）幂函数在上单调递增，则 ． 【答案】 【分析】 利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由幂函数在上单调递增，得，所以. 故答案为： 题型11根据幂函数的单调性解不等式 【典例1】（23-24高一下·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由幂函数定义求出，结合函数单调性和定义域去“”即可求解. 【详解】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求的值，再利用奇偶性与单调性即可求解取值范围. 【详解】由幂函数的图象过点得，解得， 则，定义域为. 由可得为偶函数， 又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减. 于是等价于，解得或. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【典例3】（23-24高一上·云南大理·期末）已知幂函数. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的概念求解即可； （2）由的单调性，进行分类讨论即可得出答案. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，即，所以， 解得： （2）由（1）知，的定义域为， 所以在上单调递减， 当，解得：， 当，解得：， 当，解得：， 故实数的取值范围为：. 【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数.若该函数图象经过点 ，满足条件的实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知求出幂函数的解析式，得出单调性后求解不等式． 【详解】由已知，所以， 又是正整数，故解得，即，函数定义域是， 易知是增函数， 所以由得， 解得， 故答案为：． 【变式2】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，结合单调性，确定的值，从而得到的解析式； （2）根据的单调性求解不等式. 【详解】（1）由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故. （2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又， 所以解得， 所以实数的取值范围是. 【变式3】（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知幂函数在上单调递减. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性即可求得. （2）构造函数，根据其单调性即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以，即， 则（舍去），所以. （2）因为，，则， 因为在上单调递增，所以，则， 所以实数的取值范围为. 题型12根据幂函数的单调性比较大小 【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的单调性判定即可． 【详解】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 【典例2】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知幂函数的图象不经过原点． (1)求的值； (2)若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据幂函数的定义以及性质进行求解； （2）分成，两种情况，再结合幂函数的单调性得出结果. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或． 当时，的图象不经过原点，符合题意， 当时，的图象经过原点，不符合题意， 所以． （2）由（1）得，易得在上单调递减． 当时，由，可得． 因为在上为减函数，所以． 当时，，由，可得． 因为，且在上为减函数， 所以． 综上，． 【变式1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在第一象限内是增函数，即可判断的大小. 【详解】因为，，， 又在第一象限内是增函数，， 所以，即. 故选：D. 【变式2】（2023高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）根据题意，结合幂函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，结合函数的单调性，即可求解. （2）（1）解：由幂函数在定义域为单调递减函数， 因为，所以. （2）解：由幂函数的定义域为， 且在为单调递减函数，又由， 所以函数为奇函数，所以在为递减函数， 又因为，所以. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，不符合题意； 对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意； 对于C，为偶函数，不符合题意； 对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意． 故选：B． 2．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论． 【详解】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”， 所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为， 在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为. 故选：D 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 【答案】A 【分析】令系数等于1，得到或，排除不合要求的解，得到答案. 【详解】令，解得或， 当时，，图象经过坐标原点，不合要求， 当时，，图象不经过坐标原点，满足要求. 故选：A 4．（23-24高一上·湖北襄阳·期末）当时，函数为减函数的m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质以及一元二次不等式的解法求解. 【详解】当时，因为函数在为减函数， 所以，解得； 当时，因为函数在为减函数， 所以函数在为增函数， 所以，解得或（舍）； 综上m的取值范围为， 故选：C. 5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】先判断出函数的奇偶性，再判断出函数为下凸函数，得到答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数，排除AB， 因为，故函数在上增长速度越来越快，为下凸函数，C正确，D错误. 故选：C 6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】把的取值逐个代入检验可得答案. 【详解】当时，若恒成立，则，即， 由于，所以恒成立，此时符合题意； 当时，若恒成立，则，即， 由于，所以恒成立，此时符合题意； 当时，若恒成立，则，即， 由于，所以不成立，此时不符合题意； 当时，若，则，不满足，不合题意. 故选：C 7．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 又在上是减函数，则，即， 所以，此时，易知其为偶函数，符合题意. 故选：B. 8．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可. 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（22-23高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，且， 所以为的奇函数，符合题意； 对于B中，函数的定义域为，且， 所以为的奇函数，符合题意； 对于C中，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以为定义域上的奇函数，符合题意； 对于D中，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以为定义域上的偶函数，不符合题意. 故选：ABC. 10．（22-23高一上·全国·期中）下列函数中，满足“，，且，，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题意得函数是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，知函数是偶函数， 由，都有，知在上单调递增， 所以在上单调递减. 对于A：不满足为偶函数，故A错误； 对于B:，符合题意，故B正确； 对于C：不满足为偶函数，故C错误； 对于D:符合题意. 故选：BD. 三、填空题 11．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若函数的定义域为，且，则实数的值为 【答案】1 【分析】利用函数的定义域求出的取值集合，再利用偶函数的特性求解即得. 【详解】由函数的定义域为，得，解得， 而，则，由，得函数为偶函数，因此， 所以实数的值为1. 故答案为：1 12．（23-24高一上·广西百色·期末）已知幂函数为奇函数.则 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义及奇偶性求出m值. 【详解】依题意，，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意， 当时，函数是奇函数，符合题意， 所以. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)为奇函数，理由见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义求出可得答案； （2）为奇函数，利用奇函数的定义判断可得答案. 【详解】（1）依题意可得， 解得，所以； （2）为奇函数． 理由如下： 的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为奇函数． 14．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）首先得到解析式，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象关于轴对称，符合题意； 当时，，函数图象关于原点对称，不符合题意； 综上可得，. （2）因为，， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以， 即在区间上的值域为. B能力提升 1．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． 2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得m的值，再利用一元二次不等式解法即可求得实数a的取值范围. 【详解】幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则为正偶数，则， 则不等式即， 整理得， 此不等式等价于或， 解之得或. 则满足的a的取值范围为或. 故选：D 3．（23-24高一上·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用幂函数的定义，结合其图象所过的点求出解析式. （2）利用（1）的结论，分离参数构造函数，再求出函数的最小值即得. 【详解】（1）设函数，由的图象过点，得，解得， 所以函数的解析式是. （2）由（1）知，，则，由，得， 即，令，依题意，任意，， 而函数在上单调递减，，因此， 所以实数的取值范围是. 4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)在时，解不等式； (3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，奇函数的性质进行求解即可； （2）运用平方法进行求解即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性，结合配方法进行求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以有，或， 当时，函数在区间上是单调递减，不符合题意； 当时，在区间上是单调递增，符合题意， 所以， 因为函数是定义域为R的奇函数，则， 所以当时， 因此的解析式为：； （2）因为时，， 所以由，又， 所以， 所以不等式的解集为； （3）当时，，此时函数单调递增，且， 当时，，此时函数单调递增，且，而， 因此奇函数是R上的增函数，于是由 恒成立， 又， 所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用奇函数的性质和单调性进行求解. C新定义题型 1．（23-24高一上·安徽六安·期末）安徽省六安第二中学始建于1923年，悠悠历史翻开新篇：2023年，六安二中迎来百年校庆——百年二中，桃李芬芳；海峰传人，扬帆起航.2023年12月29日在海峰堂举行了盛大的百年校庆庆典活动，若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，，不等式恒成立，且，设为“海峰函数”，则满足“海峰函数”的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，， 则，即， 由，得，即， 又因为函数在上单调递增，因此， 所以函数在上单调递减， 而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且， 由及，得， 因此或， 对于，可得： 当时，，，此时不等式组无解； 当时，，，不等式组的解为； 当时，，，则有，解得，即； 因此不等式组的解为； 对于，由，得，则，不等式组无解； 所以“海峰函数”的x的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可. 2．（23-24高一上·湖南·阶段练习）设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，当的最小值是0时，求m的值； (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围． 【答案】(1)； (2)-1； (3) 【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值； （2）求得，，，令，则函数转化为则，，，对分类讨论，求出最小值，即可求得的值； （3）在，上单调递减，由“佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围． 【详解】（1）（1）因为幂函数在内是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为． （2），，， 令，则，，则，，， 当，即时，的最小值为（1）， 所以，解得； 当，即时，的最小值为， 所以，解得（舍； 当，即时，的最小值为（2）， 所以，解得（舍． 综上，的值为． （3），，则在，上单调递减， 因为是“佳”函数， 所以， 令，， 则，，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以，， 所以，代入， 得， 因为，所以，得， 令，，， 所以，该函数在，上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$