第60讲 二项分布、超几何分布与正态分布-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第60讲 二项分布、超几何分布与正态分布 第59讲 概率的三个分布 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2. 借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 二项分布 知识： ： 【例1】1．(2024·云南联考)已知随机变量ξ~B(12,p),且E(2ξ-3)=5,则D(3ξ)=(D) A. B. 8 C. 12 D. 24 【解析】　因为E(2ξ-3)=2E(ξ)-3=2×12p-3=5,解得p, 所以D(3ξ)=32D(ξ)=9×12×=24。故选D 2．（2019·天津·）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 思维升华 二项分布问题的解题关键 (1)定型： ①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 【拓展练习】1.已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以，所以， 所以，所以，所以． 故选：C 2．（多选）已知随机变量，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】A：因为随机变量，且，所以，故A正确； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：AD. 3.（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由二项分布的知识得， 得，又，所以， 所以． 故选：D． 4.已知随机变量分别服从二项分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，，， 而，因此，AB错误，C正确； 又，D错误. 故选：C 5．（23-24高三下·河南·阶段练习）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为，乙打出8环、9环、10环的概率分别为，且甲、乙两人射击的结果相互独立． (1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率； (2)若进行三场比赛，其中场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望． 【解析】（1）解：设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A， 则事件A包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环或9环， 则． （2）解：由题可知的所有可能取值为， 由（1）知在一场比赛中，甲打出的环数多于乙打出的环数的概率为，则， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 所以期望为. 超几何分布 【例2】1．（22-23高二下·河南信阳·期末）一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（    ）知识： A． B． C． D． 【解析】记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为 ，，1，2． 所以，． 或．故选：D． 2．（2017·山东·）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率． （II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X). 【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得 (II)由题意知X可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式 得X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 进一步计算X的数学期望. 试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则 (II)由题意知X可取的值为：.则 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的数学期望是 = 【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. 思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型． 【拓展练习】6．（21-22高二上·陕西榆林·阶段练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】根据超几何分布的概率公式有, 故选:D. 7．（2023·鹰潭·模拟）设随机变量（且），当最大时， . 【解析】由随机变量，则， 因为最大，所以有， 即 整理得， 又，所以，则， 故答案为：2 8.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示） （2）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列. 【解析】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为A，则P（A）＝＝， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为Y，则Y～B（4，）， ∴恰好有2个水果是礼品果的概率为P（Y＝2）＝（）2（）2＝. （2）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个， 再从中随机抽取3个，则抽到的精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3， 则P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 正态分布 【例3】1．（2022全国II）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【解析】因为，所以， 因此． 故答案为：． 2．（多选题）（2024全国Ⅰ）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 3．（2023全国Ⅰ卷）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 思维升华 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间． 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 【拓展练习】 9．（2024·长沙·三模）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【解析】根据正态曲线的对称性，由，得， 因为， 所以. 故选：A 10. (2023·长沙市明德中学模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X和骑自行车用时Y都近似服从正态分布．绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车(　　) A．有26 min可用 B．有30 min可用 C．有34 min可用 D．有38 min可用 【解析】　由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具． 根据X和Y的分布密度曲线图可知， P(X≤26)>P(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)<P(Y≤38)． 所以如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车． 10．（2024·湖南长沙·三模）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【解析】根据正态曲线的对称性，由，得， 因为， 所以. 故选：A 11．（2017·全国·）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中为抽取的第i个零件的尺寸，. 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）. 附：若随机变量Z服从正态分布，则，，. 【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974， 从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026， 故. 因此. 的数学期望为. （2）（i）如果生产状态正常， 一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026， 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件 概率只有0.0408，发生的概率很小. 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的. （ii）由， 得的估计值为，的估计值为， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外， 因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除之外的数据， 剩下数据的平均数为， 因此的估计值为. ， 剔除之外的数据， 剩下数据的样本方差为， 因此的估计值为. 【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的原则，审清题意，细心计算，属中档题. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第60讲 二项分布、超几何分布与正态分布 第59讲 概率的三个分布 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2. 借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 二项分布 知识： ： 【例1】1．(2024·云南联考)已知随机变量ξ~B(12,p),且E(2ξ-3)=5,则D(3ξ)=(D) A. B. 8 C. 12 D. 24 【解析】　因为E(2ξ-3)=2E(ξ)-3=2×12p-3=5,解得p, 所以D(3ξ)=32D(ξ)=9×12×=24。故选D 2．（2019·天津·）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 思维升华 二项分布问题的解题关键 (1)定型： ①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 【拓展练习】1.已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以，所以， 所以，所以，所以． 故选：C 2．（多选）已知随机变量，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】A：因为随机变量，且，所以，故A正确； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：AD. 3.（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由二项分布的知识得， 得，又，所以， 所以． 故选：D． 4.已知随机变量分别服从二项分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，，， 而，因此，AB错误，C正确； 又，D错误. 故选：C 5．（23-24高三下·河南·阶段练习）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为，乙打出8环、9环、10环的概率分别为，且甲、乙两人射击的结果相互独立． (1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率； (2)若进行三场比赛，其中场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望． 【解析】（1）解：设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A， 则事件A包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环或9环， 则． （2）解：由题可知的所有可能取值为， 由（1）知在一场比赛中，甲打出的环数多于乙打出的环数的概率为，则， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 所以期望为. 超几何分布 【例2】1．（22-23高二下·河南信阳·期末）一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（    ）知识： A． B． C． D． 【解析】记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为 ，，1，2． 所以，． 或．故选：D． 2．（2017·山东·）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率． （II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X). 【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得 (II)由题意知X可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式 得X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 进一步计算X的数学期望. 试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则 (II)由题意知X可取的值为：.则 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的数学期望是 = 【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. 思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型． 【拓展练习】6．（21-22高二上·陕西榆林·阶段练习）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格的件数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】根据超几何分布的概率公式有, 故选:D. 7．（2023·鹰潭·模拟）设随机变量（且），当最大时， . 【解析】由随机变量，则， 因为最大，所以有， 即 整理得， 又，所以，则， 故答案为：2 8.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示） （2）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列. 【解析】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为A，则P（A）＝＝， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为Y，则Y～B（4，）， ∴恰好有2个水果是礼品果的概率为P（Y＝2）＝（）2（）2＝. （2）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，非精品果有6个， 再从中随机抽取3个，则抽到的精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3， 则P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 正态分布 【例3】1．（2022全国II）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【解析】因为，所以， 因此． 故答案为：． 2．（多选题）（2024全国Ⅰ）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 3．（2023全国Ⅰ卷）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 思维升华 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间． 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 【拓展练习】 9．（2024·长沙·三模）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【解析】根据正态曲线的对称性，由，得， 因为， 所以. 故选：A 10. (2023·长沙市明德中学模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时X和骑自行车用时Y都近似服从正态分布．绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车(　　) A．有26 min可用 B．有30 min可用 C．有34 min可用 D．有38 min可用 【解析】　由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具． 根据X和Y的分布密度曲线图可知， P(X≤26)>P(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)<P(Y≤38)． 所以如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车． 10．（2024·湖南长沙·三模）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【解析】根据正态曲线的对称性，由，得， 因为， 所以. 故选：A 11．（2017·全国·）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中为抽取的第i个零件的尺寸，. 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）. 附：若随机变量Z服从正态分布，则，，. 【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974， 从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026， 故. 因此. 的数学期望为. （2）（i）如果生产状态正常， 一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026， 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件 概率只有0.0408，发生的概率很小. 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的. （ii）由， 得的估计值为，的估计值为， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外， 因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除之外的数据， 剩下数据的平均数为， 因此的估计值为. ， 剔除之外的数据， 剩下数据的样本方差为， 因此的估计值为. 【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的原则，审清题意，细心计算，属中档题. $$