第51讲 抛物线-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第51讲 抛 物 线 第51讲 抛 物 线 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2. 掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解抛物线的简单应用． 抛物线的定义与标准方程 知识： 【例1】1.（2022·全国乙卷·）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【解析】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． 2． 抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________． 【解析】　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中， 得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， 则2p＝，2p1＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. 思维升华 求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法． (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论． 3.　★（2024·全国新Ⅱ卷·）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【解析】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 故选：ABD 【拓展练习】1.(2024·T8联考)设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上的三个点,若=0, 则||=( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 【解析】　设A(x1，y1),B(x2，y2),C(x3，y3),则=0, 所以x1+x2+x3 , 所以| 2．（2022·全国乙卷·）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【解析】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 3.（2024·天津·）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 【解析】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即或， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 4.（2023·北京）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 抛物线的几何性质 知识： 【例2】1．（2024·上海·）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【解析】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 思维升华 (1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化． (2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2.（2022·全国新Ⅱ卷·）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 3.已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________． 【解析】　当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D， 则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42； 当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得， 解得p＝22或p＝58. 当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去． 综上，p＝42或p＝22. 【拓展练习】5．（·全国乙卷·）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 6．（2021·北京·）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【解析】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 7．（2021·全国·）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【解析】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 抛物线的切线 【例3】1.(多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形PAB”，下列结论正确的是(　　) A．P(，－2) B．PC⊥x轴 C．PA⊥PB D．PF⊥AB 【解析】　由消去y可得x2－8x－16＝0， 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16，y＝，y′＝，kPA＝， PA：y＝(x－x1)＋＝x－，PB：y＝x－， 由解得 ∴P(4，－2)，A错误；xC＝＝4， ∴PC⊥x轴，B正确；kPA·kPB＝＝－1，∴PA⊥PB，C正确；kPF＝＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，∴PF⊥AB，D正确．故选BCD. 2.已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，则实数a的值为________． 【解析】　联立方程 ①当a＝0时，此方程组恰有一组解 ②当a≠0时，消去x，得y2－y－1＝0. a．若a＝－1，方程组恰有一组解 b．若a≠－1，令Δ＝0，得1＋＝0，解得a＝－，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－. 思维升华 (1)直线与抛物线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切． (2)在讨论时应考虑全面，不要忽略二次项的系数为零的情况． 【拓展练习】8.若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为________. 【解析】当斜率k＝0时，直线y＝1平行于x轴，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点. 当斜率不等于0时，直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x联立， 消去x可得y2－＋8＋＝0， ∵直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点， ∴Δ＝－－32＝0， ∴k＝或－1. 综上，k的值为0或或－1. 【拓展练习】8．（2017·全国·）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)． 由得x＝或x＝3. 由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4 又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形 点M到直线NF的距离为故选：C. 9．（2018·全国·）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为， 与抛物线方程联立，消元整理得：， 解得，又， 所以， 从而可以求得，故选D. 弦长问题 【例4】1．（2020·山东·）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 【解析】∵抛物线的方程为， ∴抛物线的焦点F坐标为， 又∵直线AB过焦点F且斜率为， ∴直线AB的方程为： 代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得    所以 解法二： 设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 2. (2024·南京调研)已知顶点在原点，关于y轴对称的抛物线与直线x－2y＝1交于P，Q两点，若|PQ|＝，则抛物线的方程为(　　) A.x2＝－4y 　B.x2＝12y C.x2＝－4y或x2＝12y D.以上都不是 【解析】　设抛物线的方程为x2＝2ay， 则抛物线与直线x－2y＝1联立消去y，得 x2－ax＋a＝0， 所以x1＋x2＝a，x1x2＝a， 则|x1－x2|＝＝， 所以|PQ|＝|x1－x2| ＝·＝， 所以a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6， 所以x2＝－4y或x2＝12y. 思维升华　 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： ①|AB|＝|x1－x2| ＝； ②|AB|＝|y1－y2|(k≠0)＝. 【拓展练习】10.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值； 【解析】（1）因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F（，0），所以直线l的方程为y＝（x－）. 联立消去y得4x2－20x＋9＝0， 解得x1＝，x2＝， 故｜AB｜＝×｜－｜＝2×4＝8. 11．（2023·天津·）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【解析】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 中点弦 【例5】1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为________. 【解析】　因为焦点到准线的距离为p，则p＝1， 所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2). 则 则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)， ∴kPQ＝， 又∵P，Q关于直线l对称， ∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2， ∴PQ中点的纵坐标为＝－1， 又∵PQ的中点在直线l上， ∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1. ∴线段PQ的中点坐标为(1，－1). 思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 【拓展练习】12.　设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆（x－5）2＋y2＝r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　） A.（1，3）　　B.（1，4） C.（2，3）　　D.（2，4） 【解析】　显然0＜r＜5.当直线l的斜率不存在时，存在两条满足题意的直线， ∴当直线l的斜率存在时，存在两条满足题意的直线， 设直线l的斜率为k，由抛物线和圆的对称性知，k＞0，k＜0时各有一条满足题意的直线. 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），kAB＝＝＝＝. 记圆心为C（5，0）. ∵kCM＝，kAB·kCM＝－1，∴x0＝3， ∴r2＝（3－5）2＋＞4（y0≠0），即r＞2. 另一方面，由AB的中点为M，知B（6－x1，2y0－y1）， ∴（2y0－y1）2＝4（6－x1）. 又∵＝4x1， ∴－2y0y1＋2－12＝0，∴Δ＝4－4（2－12）＞0， 即＜12， ∴r2＝（3－5）2＋＝4＋＜16， ∴r＜4.综上，r∈（2，4）. 抛物线上的最值问题 【例6】1．（2017·全国·）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号. 【拓展练习】13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A在抛物线C上，若｜AO｜＝｜AF｜＝. （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l与抛物线C交于P，Q两点，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值. 【解析】（1）因为点A在C上，｜AO｜＝｜AF｜＝， 所以点A的纵坐标为，所以＋＝， 所以p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y. （2）由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋b（b＞0），代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 所以y1＋y2＝4k2＋2b. 因为线段PQ的中点的纵坐标为1， 所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0， 所以0＜b≤1，S△OPQ＝b｜x1－x2｜＝b ＝b＝b＝（0＜b≤1）. 设y＝b3＋b2，y'＝3b2＋2b＞0，函数单调递增， 所以当b＝1时，△OPQ的面积取最大值为2. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第51讲 抛 物 线 第51讲 抛 物 线 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2. 掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解抛物线的简单应用． 抛物线的定义与标准方程 知识： 【例1】1.（2022·全国乙卷·）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【解析】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． 2． 抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________． 【解析】　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中， 得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， 则2p＝，2p1＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. 思维升华 求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法． (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论． 3.　★（2024·全国新Ⅱ卷·）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【解析】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 故选：ABD 【拓展练习】1.(2024·T8联考)设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上的三个点,若=0, 则||=( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 【解析】　设A(x1，y1),B(x2，y2),C(x3，y3),则=0, 所以x1+x2+x3 , 所以| 2．（2022·全国乙卷·）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【解析】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 3.（2024·天津·）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ． 【解析】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即或， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 4.（2023·北京）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 抛物线的几何性质 知识： 【例2】1．（2024·上海·）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【解析】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 思维升华 (1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化． (2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2.（2022·全国新Ⅱ卷·）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 3.已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________． 【解析】　当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D， 则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42； 当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得， 解得p＝22或p＝58. 当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去． 综上，p＝42或p＝22. 【拓展练习】5．（·全国乙卷·）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 6．（2021·北京·）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【解析】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 7．（2021·全国·）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【解析】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 抛物线的切线 【例3】1.(多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形PAB”，下列结论正确的是(　　) A．P(，－2) B．PC⊥x轴 C．PA⊥PB D．PF⊥AB 【解析】　由消去y可得x2－8x－16＝0， 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16，y＝，y′＝，kPA＝， PA：y＝(x－x1)＋＝x－，PB：y＝x－， 由解得 ∴P(4，－2)，A错误；xC＝＝4， ∴PC⊥x轴，B正确；kPA·kPB＝＝－1，∴PA⊥PB，C正确；kPF＝＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，∴PF⊥AB，D正确．故选BCD. 2.已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，则实数a的值为________． 【解析】　联立方程 ①当a＝0时，此方程组恰有一组解 ②当a≠0时，消去x，得y2－y－1＝0. a．若a＝－1，方程组恰有一组解 b．若a≠－1，令Δ＝0，得1＋＝0，解得a＝－，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－. 思维升华 (1)直线与抛物线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切． (2)在讨论时应考虑全面，不要忽略二次项的系数为零的情况． 【拓展练习】8.若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为________. 【解析】当斜率k＝0时，直线y＝1平行于x轴，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点. 当斜率不等于0时，直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x联立， 消去x可得y2－＋8＋＝0， ∵直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点， ∴Δ＝－－32＝0， ∴k＝或－1. 综上，k的值为0或或－1. 【拓展练习】8．（2017·全国·）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)． 由得x＝或x＝3. 由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4 又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形 点M到直线NF的距离为故选：C. 9．（2018·全国·）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为， 与抛物线方程联立，消元整理得：， 解得，又， 所以， 从而可以求得，故选D. 弦长问题 【例4】1．（2020·山东·）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 【解析】∵抛物线的方程为， ∴抛物线的焦点F坐标为， 又∵直线AB过焦点F且斜率为， ∴直线AB的方程为： 代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得    所以 解法二： 设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 2. (2024·南京调研)已知顶点在原点，关于y轴对称的抛物线与直线x－2y＝1交于P，Q两点，若|PQ|＝，则抛物线的方程为(　　) A.x2＝－4y 　B.x2＝12y C.x2＝－4y或x2＝12y D.以上都不是 【解析】　设抛物线的方程为x2＝2ay， 则抛物线与直线x－2y＝1联立消去y，得 x2－ax＋a＝0， 所以x1＋x2＝a，x1x2＝a， 则|x1－x2|＝＝， 所以|PQ|＝|x1－x2| ＝·＝， 所以a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6， 所以x2＝－4y或x2＝12y. 思维升华　 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： ①|AB|＝|x1－x2| ＝； ②|AB|＝|y1－y2|(k≠0)＝. 【拓展练习】10.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值； 【解析】（1）因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F（，0），所以直线l的方程为y＝（x－）. 联立消去y得4x2－20x＋9＝0， 解得x1＝，x2＝， 故｜AB｜＝×｜－｜＝2×4＝8. 11．（2023·天津·）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【解析】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 中点弦 【例5】1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为________. 【解析】　因为焦点到准线的距离为p，则p＝1， 所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2). 则 则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)， ∴kPQ＝， 又∵P，Q关于直线l对称， ∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2， ∴PQ中点的纵坐标为＝－1， 又∵PQ的中点在直线l上， ∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1. ∴线段PQ的中点坐标为(1，－1). 思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 【拓展练习】12.　设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆（x－5）2＋y2＝r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　） A.（1，3）　　B.（1，4） C.（2，3）　　D.（2，4） 【解析】　显然0＜r＜5.当直线l的斜率不存在时，存在两条满足题意的直线， ∴当直线l的斜率存在时，存在两条满足题意的直线， 设直线l的斜率为k，由抛物线和圆的对称性知，k＞0，k＜0时各有一条满足题意的直线. 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），kAB＝＝＝＝. 记圆心为C（5，0）. ∵kCM＝，kAB·kCM＝－1，∴x0＝3， ∴r2＝（3－5）2＋＞4（y0≠0），即r＞2. 另一方面，由AB的中点为M，知B（6－x1，2y0－y1）， ∴（2y0－y1）2＝4（6－x1）. 又∵＝4x1， ∴－2y0y1＋2－12＝0，∴Δ＝4－4（2－12）＞0， 即＜12， ∴r2＝（3－5）2＋＝4＋＜16， ∴r＜4.综上，r∈（2，4）. 抛物线上的最值问题 【例6】1．（2017·全国·）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号. 【拓展练习】13.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A在抛物线C上，若｜AO｜＝｜AF｜＝. （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l与抛物线C交于P，Q两点，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值. 【解析】（1）因为点A在C上，｜AO｜＝｜AF｜＝， 所以点A的纵坐标为，所以＋＝， 所以p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y. （2）由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋b（b＞0），代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 所以y1＋y2＝4k2＋2b. 因为线段PQ的中点的纵坐标为1， 所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0， 所以0＜b≤1，S△OPQ＝b｜x1－x2｜＝b ＝b＝b＝（0＜b≤1）. 设y＝b3＋b2，y'＝3b2＋2b＞0，函数单调递增， 所以当b＝1时，△OPQ的面积取最大值为2. $$