第49讲 椭圆-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第49讲 椭　圆 第49讲 椭　圆 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2. 掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3. 掌握椭圆的简单应用． 椭圆的定义及其应用 知识： 【例1】1. (2023·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为(　　) A．4 B．8 C．10 D．20 【解析】　由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 2．（2022全国甲文）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【拓展练习】1.(2014·大纲全国文)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A . B. ＋y2＝1 C. D. ＋＝1 【解析】由已知e＝＝， 又△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋(|AF2|＋|BF2|)＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4， 解得a＝，故c＝1，b＝＝， 故所求的椭圆方程为＋＝1，故选A. 2.(2023·眉山模拟)已知P是椭圆＋＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为________． 【解析】　因为a＝5，b＝3，c＝＝4， 所以||＋||＝10， 因为cos〈，〉＝＝， 且0°≤〈，〉<180°，所以∠F1PF2＝60°， 由余弦定理可得cos 60°＝cos〈，〉 ＝ ＝＝， 所以||||＝12， 则＝||||sin 60°＝×12×＝3. 3.（2023·全国甲卷·）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 4. （2022·全国Ⅰ）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 椭圆的方程 【例2】1．（2024全国Ⅱ）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ）知识： 方法： A．（） B．（） C．（） D．（） 思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝λ 或＋＝λ(a>b>0，λ>0)． 2.（2015四川文20节选）如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且＝－1 (Ⅰ)求椭圆E的方程； 【拓展练习】 4.(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【解析】　由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2， 焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1. 椭圆的几何性质 【例3】1．(2023·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为(　　) A．2－ B.－1 C. D. 【解析】　因为过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，则有∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°， 因此，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|＝|F1F2|cos 30°＝c，|PF2|＝|F1F2|sin 30°＝c， 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，则e＝＝＝－1， 所以椭圆E的离心率为－1. 2 .(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】　设P(m，n)(n≠0)， 则Q(－m，n)，易知A(－a,0)， 所以kAP·kAQ＝·＝＝.(*) 因为点P在椭圆C上， 所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)， 代入(*)式，得＝， 所以e＝＝＝. 思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 3．（2020·山东）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 、 【拓展练习】5．（2024·泉州·二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 椭圆有关的范围(最值)问题 【例4】1. 2021·全国乙理）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 2. (多选)已知椭圆＋＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　) A．的最大值为4 B．|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2] C．不存在点P使PF1⊥PF2 D．|PB|的最大值为2 【 思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 【拓展练习】6．（2021·全国乙·文）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 7．（2021·全国新Ⅰ卷·）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 8．（2018·浙江·）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大． 综合题 【例5】1．（2024年全国Ⅰ卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 2．（2023年全国甲理）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【拓展练习】9．（2024.北京卷）已知椭圆方程C：，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D． (1)求椭圆方程和离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t． 10．（2024天津卷）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第49讲 椭　圆 第49讲 椭　圆 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2. 掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3. 掌握椭圆的简单应用． 椭圆的定义及其应用 知识： 【例1】1. (2023·郑州模拟)若F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为(　　) A．4 B．8 C．10 D．20 【解析】　由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝(|AF2|＋|AF1|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4a＝20. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 2．（2022全国甲文）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 【拓展练习】1.(2014·大纲全国文)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A . B. ＋y2＝1 C. D. ＋＝1 【解析】由已知e＝＝， 又△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋(|AF2|＋|BF2|)＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4， 解得a＝，故c＝1，b＝＝， 故所求的椭圆方程为＋＝1，故选A. 2.(2023·眉山模拟)已知P是椭圆＋＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为________． 【解析】　因为a＝5，b＝3，c＝＝4， 所以||＋||＝10， 因为cos〈，〉＝＝， 且0°≤〈，〉<180°，所以∠F1PF2＝60°， 由余弦定理可得cos 60°＝cos〈，〉 ＝ ＝＝， 所以||||＝12， 则＝||||sin 60°＝×12×＝3. 3.（2023·全国甲卷·）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 4.（2022·全国Ⅰ）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴， ∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示， ∵，∴，∴为正三角形， ∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线， ∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为 椭圆的方程 【例2】1．（2024全国Ⅱ）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ）知识： 方法： A．（） B．（） C．（） D．（） 【解析】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为.故选：A 思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝λ 或＋＝λ(a>b>0，λ>0)． 2.（2015四川文20节选）如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且＝－1 (Ⅰ)求椭圆E的方程； 【解析】(Ⅰ)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b) 又点P的坐标为(0，1)，且＝－1 于是，解得a＝2，b＝ 所以椭圆E方程为. 【拓展练习】 4.(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2)，F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【解析】　由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2， 焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1. 椭圆的几何性质 【例3】1．(2023·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为(　　) A．2－ B.－1 C. D. 【解析】　因为过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，则有∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°， 因此，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|＝|F1F2|cos 30°＝c，|PF2|＝|F1F2|sin 30°＝c， 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，则e＝＝＝－1， 所以椭圆E的离心率为－1. 2 .(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】　设P(m，n)(n≠0)， 则Q(－m，n)，易知A(－a,0)， 所以kAP·kAQ＝·＝＝.(*) 因为点P在椭圆C上， 所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)， 代入(*)式，得＝， 所以e＝＝＝. 思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 3．（2020·山东）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【解析】椭圆的长轴长为10，焦距为8， 所以，，可得，， 所以，可得， 所以该椭圆的短轴长，故选：B. 【拓展练习】5．（2024·泉州·二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【解析】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或.故选：D 椭圆有关的范围(最值)问题 【例4】1. 2021·全国乙理）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ； 当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 2. (多选)已知椭圆＋＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　) A．的最大值为4 B．|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2] C．不存在点P使PF1⊥PF2 D．|PB|的最大值为2 【解析】　依题意知，a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴顶点时，()max＝×2c×b＝4，故A正确； 由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确； 对于C，sin∠F2BO＝＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误； 对于D，设P(x0，y0)，所以|PB|＝， 又＋＝1，所以x＝16－4y，所以|PB|＝＝＝，又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，|PB|max＝＝，故D错误． 思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 【拓展练习】6．（2021·全国乙·文）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【解析】设点，因为，， 所以， 而，所以当时，的最大值为． 故选：A． 7．（2021·全国新Ⅰ卷·）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【解析】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 8．（2018·浙江·）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大． 【解析】【通性通法】设线＋韦达定理 由条件知直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立得，根据韦达定理得，由知，代入上式解得， 所以． 此时，又，解得． 综合题 【例5】1．（2024年全国Ⅰ卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【解析】（1）由题意得，解得， 所以. （2），则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 2．（2023年全国甲理）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【解析】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【拓展练习】9．（2024.北京卷）已知椭圆方程C：，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D． (1)求椭圆方程和离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t． 【解析】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符， 同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 10．（2024天津卷）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. $$