第47讲 圆的方程-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第47讲 圆的方程 第47讲 圆的方程 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程. 2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 圆的方程 知识： 【例1】1．（2022·全国甲文）设点M在直线上，点和(0,1)均在上，则的方程为 ． 【解析】由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 2．（2022·全国乙理）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 3.（2020·北京·）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 思维升华 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【拓展练习】1．（2018·天津·）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ． . 与圆有关的轨迹问题 【例2】直接法 1. 已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是________．知识： 【解析】　设M(x，y)，则|MA|＝， |MB|＝. 因为|MA|＝2|MB|， 所以＝2， 整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0， 即x2＋y2－x＋4＝0. 所以点M的轨迹是圆，方程为x2＋y2－x＋4＝0. 命题点2　定义法 2. (2023·茂名模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x 【解析】　因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1,1)，半径r＝1， 因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1， 又AM与圆相切，且|AM|＝2， 则|AC|＝＝， 设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5， 即x2＋y2－2x－2y－3＝0， 所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 命题点3　相关点法 3. 已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 【解析】　设P(x，y)，N(x0，y0)， ∵四边形MONP为平行四边形， 则＝＋， 即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)， 即则 又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴x＋y＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 易知直线OM的方程为y＝－x， 联立 得或 ∴点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点和 . 思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 与圆有关的最值问题 【例3】1．（2024·全国甲理）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（2023·全国乙卷）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 3．（2022·全国Ⅱ卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【拓展练习】2.（2021·北京）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 3．（2021·全国Ⅰ）（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【解析】圆的圆心为，半径为， 【点睛】若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 10．（2020·全国·）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2019·江苏·）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 12．（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（    ） A．面积的最大值为12 B．的最大值为72 C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分 $$ “功夫”2025届第一轮精练 第47讲 圆的方程 第47讲 圆的方程 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程. 2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 圆的方程 知识： 【例1】1．（2022·全国甲文）设点M在直线上，点和(0,1)均在上，则的方程为 ． 【解析】由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 2．（2022·全国乙理）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【解析】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设点 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； 3.（2020·北京·）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】设圆心，则， 化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号，故选：A. 思维升华 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【拓展练习】1．（2018·天津·）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ． 【解析】设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则： ，解得：，则圆的方程为. 与圆有关的轨迹问题 【例2】直接法 1. 已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是________．知识： 【解析】　设M(x，y)，则|MA|＝， |MB|＝. 因为|MA|＝2|MB|， 所以＝2， 整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0， 即x2＋y2－x＋4＝0. 所以点M的轨迹是圆，方程为x2＋y2－x＋4＝0. 命题点2　定义法 2. (2023·茂名模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x 【解析】　因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1,1)，半径r＝1， 因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1， 又AM与圆相切，且|AM|＝2， 则|AC|＝＝， 设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5， 即x2＋y2－2x－2y－3＝0， 所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 命题点3　相关点法 3. 已知O为坐标原点，点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 【解析】　设P(x，y)，N(x0，y0)， ∵四边形MONP为平行四边形， 则＝＋， 即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)， 即则 又N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴x＋y＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 易知直线OM的方程为y＝－x， 联立 得或 ∴点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去点和. 思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 与圆有关的最值问题 【例3】1．（2024·全国甲理）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.  故选：C 2．（2023·全国乙卷）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【解析】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 3．（2022·全国Ⅱ卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【拓展练习】2.（2021·北京）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【解析】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得.故选：C. 3．（2021·全国Ⅰ）（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【解析】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 10．（2020·全国·）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 11．（2019·江苏·）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 12．（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（    ） A．面积的最大值为12 B．的最大值为72 C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分 【解析】对于A，设点，由，得， 化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆， 所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，设线段AB的中点为N，， 当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确； 对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误； 对于D，由，，有，当点M不在x轴上时， 由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确． 故选：ABD． $$