第44讲 向量与平行、垂直、距离问题-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第44讲 向量与平行、垂直、距离问题 第44讲 向量与平行垂直距离问题 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量. 2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系. 3. 能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的一些简单定理. 4. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题. 用空间向量证明平行关系 知识： 【例1】1．（2022年天津）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面；（2）（3）略 【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 思维升华 利用空间向量证明平行关系的方法和步骤 （1）要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上； （2）要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内； （3）要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内（也可转化为证明线面平行、线线平行）. 2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN. 【证明】：如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2， 则E（1，1，0），F（1，0，1），G（2，1，1），H（1，1，2），M（1，2，1），N（0，1，1）. ∴＝（0，－1，1），＝（1，0，1），＝（0，1，－1），＝（－1，0，－1）. 设m＝（x1，y1，z1），n＝（x2，y2，z2）分别是平面EFG和平面HMN的法向量， 由得 取x1＝1，得m＝（1，－1，－1）. 由得 取x2＝1，得n＝（1，－1，－1）. 于是有m＝n，∴m∥n，故平面EFG∥平面HMN. 【拓展练习】1.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________. 【解析】　如图，设＝a，＝b，＝c， 则＝a＋c－b， 由题意知＝b－c， ＝－ ＝a－b＋c. 因此＝＋， ∴，，共面. 又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN. 知识： 用空间向量证明垂直关系 【例2】1.　如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：平面DEA⊥平面ECA. 【证明】建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，不妨设CA＝2， 则CE＝2，BD＝1，C（0，0，0），A（，1，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1）. 所以＝（，1，－2），＝（0，0，2），＝（0，2，－1）. 分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）， 则即 解得 即解得 不妨取n1＝（1，－，0），n2＝（，1，2）， 因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2. 所以平面DEA⊥平面ECA. 思维升华 利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤 （1）要证明线线垂直，需证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零； （2）要证明线面垂直，需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或先通过向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明； （3）要证明面面垂直，需证明两个平面的法向量垂直. 2.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论. 【解析】（1）证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），P（0，0，a），F（，，），＝（－，0，），＝（0，a，0）. ∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD. （2）G为线段AD的中点. 证明如下：设G（x，0，z）， 则＝（x－，－，z－）， 若使GF⊥平面PCB，则 即得 ∴G点坐标为（，0，0），即G为线段AD的中点. 【拓展练习】2.已知A（3，2，0），B（0，4，0），C（3，0，2），则平面ABC的一个法向量是（　　） A.（1，1，1）　B.（2，2，3）C.（2，3，3）　 D.（，－，） 【解析】　由题可知＝（－3，2，0），＝（0，－2，2）.设n＝（x，y，z）是平面ABC的法向量，则即得取z＝3，则x＝2，y＝3.于是n＝（2，3，3）是平面ABC的一个法向量.故选C. 利用向量法求距离 【例3】1. (2024·长沙市模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A．2 B. C. D. 【解析】连接EG，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，所以＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)． 设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1，0，2)． 所以点G到平面D1EF的距离d＝＝＝.故选D. 2.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为(　　) A. B. C. D. 【解析】　如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)， 则＝(－3，0，1)，＝(－3，4，0)， 故点P到直线BD的距离d＝ ＝＝， 所以点P到直线BD的距离为. 3．(2024·长沙模拟)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3，1)，N(3，－2，2)，则点P到直线MN的距离为(　　) A．2　　　B．2 C．3 D．2 【解析】　空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3，1)，N(3，－2，2)，故＝(1，1，1)，∴的一个单位方向向量为n＝(1，1，1)， 连接PM，则＝(1，－1，3)， ∴||＝＝， ·n＝(1－1＋3)＝， ∴点P到直线MN的距离为＝＝2.故选A. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第44讲 向量与平行、垂直、距离问题 第44讲 向量与平行垂直距离问题 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量. 2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系. 3. 能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的一些简单定理. 4. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题. 用空间向量证明平行关系 知识： 【例1】1．（2022年天津）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面；（2）（3）略 【解析】（1）证明：在直三棱柱中， 思维升华 利用空间向量证明平行关系的方法和步骤 （1）要证明线线平行，首先需要证明两直线的方向向量共线，再说明其中一条直线上存在某个点不在另一条直线上； （2）要证明线面平行，首先需要证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直，或直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，再说明该直线上存在某个点不在平面内； （3）要证明面面平行，首先需要证明两平面的法向量为共线向量，再说明其中一个平面内存在某个点不在另一个平面内（也可转化为证明线面平行、线线平行）. 2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN. 【证明】：如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2， 则E（1，1，0），F（1，0，1），G（2，1，1），H（1，1，2），M（1，2，1），N（0，1，1）. ∴＝（0，－1，1），＝（1，0，1），＝（0，1，－1），＝（－1，0，－1）. 设m＝（x1，y1，z1），n＝（x2，y2，z2）分别是平面EFG和平面HMN的法向量， 由得 取x1＝1，得m＝（1，－1，－1）. 由得 取x2＝1，得n＝（1，－1，－1）. 于是有m＝n，∴m∥n，故平面EFG∥平面HMN. 【拓展练习】1.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________. 【解析】　如图，设＝a，＝b，＝c， 则＝a＋c－b， 由题意知＝b－c， ＝－ ＝a－b＋c. 因此＝＋， ∴，，共面. 又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN. 知识： 用空间向量证明垂直关系 【例2】1.　如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：平面DEA⊥平面ECA. 【证明】建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，不妨设CA＝2， 则CE＝2，BD＝1，C（0，0，0），A（，1，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1）. 所以＝（，1，－2），＝（0，0，2），＝（0，2，－1）. 分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）， 则即 解得 即解得 不妨取n1＝（1，－，0），n2＝（，1，2）， 因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2. 所以平面DEA⊥平面ECA. 思维升华 利用空间向量证明垂直关系的方法和步骤 （1）要证明线线垂直，需证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零； （2）要证明线面垂直，需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或先通过向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明； （3）要证明面面垂直，需证明两个平面的法向量垂直. 2.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论. 【解析】（1）证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），P（0，0，a），F（，，），＝（－，0，），＝（0，a，0）. ∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD. （2）G为线段AD的中点. 证明如下：设G（x，0，z）， 则＝（x－，－，z－）， 若使GF⊥平面PCB，则 即 得 ∴G点坐标为（，0，0），即G为线段AD的中点. 【拓展练习】2.已知A（3，2，0），B（0，4，0），C（3，0，2），则平面ABC的一个法向量是（　　） A.（1，1，1）　B.（2，2，3）C.（2，3，3）　 D.（，－，） 【解析】　由题可知＝（－3，2，0），＝（0，－2，2）.设n＝（x，y，z）是平面ABC的法向量，则即得取z＝3，则x＝2，y＝3.于是n＝（2，3，3）是平面ABC的一个法向量.故选C. 利用向量法求距离 【例3】1. (2024·长沙市模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A．2 B. C. D. 【解析】连接EG，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，所以＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)． 设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1，0，2)． 所以点G到平面D1EF的距离d＝＝＝.故选D. 2.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为(　　) A. B. C. D. 【解析】　如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)， 则＝(－3，0，1)，＝(－3，4，0)， 故点P到直线BD的距离d＝ ＝＝， 所以点P到直线BD的距离为. 3．(2024·长沙模拟)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3，1)，N(3，－2，2)，则点P到直线MN的距离为(　　) A．2　　　B．2 C．3 D．2 【解析】　空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3，1)，N(3，－2，2)，故＝(1，1，1)，∴的一个单位方向向量为n＝(1，1，1)， 连接PM，则＝(1，－1，3)， ∴||＝＝， ·n＝(1－1＋3)＝， ∴点P到直线MN的距离为＝＝2.故选A. $$