第18讲 函数中的构造问题-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第18讲 函数中的构造问题 第18讲 函数中的构造问题 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！- 4 - .最新考题尽在“功夫”！- 5 - 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 利用f(x)与x构造函数 知识： 【例1】 1. (2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为________． 【解析】　令g(x)＝f(x)－x2－3x， 则g′(x)＝f′(x)－2x－3<0在R上恒成立， 所以g(x)是减函数． 又f(2x－3)<2x(2x－3)， 即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)<0， 又f(1)－12－3×1＝0， 即g(2x－3)<g(1)， 所以2x－3>1，解得x>2， 所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为(2，＋∞)． 思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)． (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 2. (多选)(2023·郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则(　　) A．f(1)<4f(2) B．f(－1)<4f(－2) C．16f(4)<9f(3) D．4f(－2)>9f(－3) 【解析】　令g(x)＝x2f(x)， ∵当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0， ∴当x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝ x[xf′(x)＋2f(x)]>0， ∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数， ∴g(x)＝x2f(x)为定义在R上的奇函数． ∴g(x)是增函数． 由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正确； 由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B错误； 由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C错误； 由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正确． 【拓展练习】1.（2024·荆州·三模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数的图象位于直线的下方； 【解析】（1），则， 又， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）因为，所以，要证明，只需要证明， 即证， 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故， 所以恒成立，即原不等式成立， 所以函数的图象位于直线的下方. 2． (2023·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　) A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2) 【解析】　设g(x)＝，x≠0. 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－x)＝f(x)． 因为g(－x)＝＝－＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数， 所以g(－2)＝－g(2)． 因为f(－2)＝0， 所以g(－2)＝g(2)＝0. 当x>0时，g，(x)＝<0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 此时不等式>0的解集是(0,2)． 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2)． 综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)． 知识： 利用f(x)与ex构造函数 【例2】1. (2024·吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f′(x)－2，则(　　) A．f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1) B．f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1) C．f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1) D．f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1) 【解析】　令g(x)＝， 则g′(x)＝>0， 因此函数g(x)是增函数， 于是得g(2 023)>g(2 022)，即>， 整理得f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)，故B正确． 思维升华 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)． (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 【拓展练习】3. (2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 【解析】　设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， ∴F(x)是增函数． 又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. ∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3， 即F(x)>F(3)， ∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)． 4．(2024·惠州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)>8的解集为(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2) C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞) 【解析】　令g(x)＝e3xf(x)， 函数g(x)的定义域为R， 因为3f(x)＋f′(x)<0， 所以g′(x)＝[e3xf(x)]′＝e3x[3f(x)＋f′(x)]<0， 故g(x)为减函数， 又因为f(ln 2)＝1， 所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8， 所以不等式e3xf(x)>8可化为g(x)>g(ln 2)， 所以x<ln 2， 所以e3xf(x)>8的解集为(－∞，ln 2)． 5．(2023·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　　) A．3f(2)>2f(3) B．f(1)<f(2)<f(e) C．f(x)在x＝1处取得极小值 D．f(x)无极大值 【解析】　设g(x)＝(x>0)， 则g′(x)＝＝＝， 可设g(x)＝＋c， 则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e， 故g(x)＝－e，即f(x)＝ex－ex，x>0， 令g′(x)>0，则x>1， 故g(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴g(2)<g(3)，即<， 则3f(2)<2f(3)，故A错误； 令f′(x)＝ex－e>0，得x>1， 令f′(x)＝ex－e<0，得0<x<1， 则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f(1)<f(2)<f(e)，f(x)在x＝1处取得极小值，无极大值，故B，C，D均正确． 利用f(x)与sin x，cos x构造函数 【例3】 1. 设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<2f sin x的解集为_______． 【解析】　令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)， 则g′(x)＝， ∵当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0， ∴在(0，π)上，g′(x)<0， ∴函数g(x)在(0，π)上单调递减． ∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函数， ∴函数g(x)是偶函数， ∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增． 当x∈(0，π)时，sin x>0，则不等式f(x)<2f sin x可化为<， 即g(x)<g，∴<x<π； 当x∈(－π，0)时，sin x<0，则不等式f(x)<2f sin x可化为>＝， 即g(x)>g，∴－<x<0. 综上可得，不等式的解集为. 思维升华 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝， F′(x)＝； F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝， F′(x)＝. 【拓展练习】6. 已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，若a＝f ，b＝－f ，则a与b的大小关系为________．(用“<”连接) 【解析】　设φ(x)＝f(x)sin x， 则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x， ∴当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0， 即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数， ∴φ＝φ>φ， 即f ·sin>f ·sin ， 即－f>f ， 即f <－f，∴a<b. 7．已知0<x<y<π，且eysin x＝exsin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　) A．cos x＋cos y<0 B．cos x＋cos y>0 C．cos x>sin y D．sin x>sin y 【解析】　由0<x<y<π，且eysin x＝exsin y， 得＝， 令f(x)＝(0<x<π)，则f′(x)＝， 当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当<x<π时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当f(x)＝f(y)时，0<x<，<y<π， 因为0<x<y<π，ex<ey，＝， 所以sin y>sin x>0， 所以<y<π－x<π， 所以cos y>cos(π－x)＝－cos x， 所以cos x＋cos y>0. 思维升华 构造函数解抽象不等式 (1)对于不等式f ′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f (x)－kx＋B． (2)对于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝xf (x)；对于不等式xf ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (3)对于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，构造函数g(x)＝xnf (x)；对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (4)对于不等式f ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝exf (x)；对于不等式f ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝. (5)对于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，构造函数 g(x)＝f (x)sin x；对于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)， 构造函数g(x)＝f (x)cos x. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第18讲 函数中的构造问题 第18讲 函数中的构造问题 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！- 4 - .最新考题尽在“功夫”！- 5 - 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 利用f(x)与x构造函数 知识： 【例1】 1. (2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为________． 【解析】　令g(x)＝f(x)－x2－3x， 则g′(x)＝f′(x)－2x－3<0在R上恒成立， 所以g(x)是减函数． 又f(2x－3)<2x(2x－3)， 即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)<0， 又f(1)－12－3×1＝0， 即g(2x－3)<g(1)， 所以2x－3>1，解得x>2， 所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为(2，＋∞)． 思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)． (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 2. (多选)(2023·郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则(　　) A．f(1)<4f(2) B．f(－1)<4f(－2) C．16f(4)<9f(3) D．4f(－2)>9f(－3) 【解析】　令g(x)＝x2f(x)， ∵当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0， ∴当x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝ x[xf′(x)＋2f(x)]>0， ∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数， ∴g(x)＝x2f(x)为定义在R上的奇函数． ∴g(x)是增函数． 由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正确； 由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B错误； 由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C错误； 由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正确． 【拓展练习】1.（2024·荆州·三模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数的图象位于直线的下方； 【解析】（1），则， 又， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）因为，所以，要证明，只需要证明， 即证， 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故， 所以恒成立，即原不等式成立， 所以函数的图象位于直线的下方. 2． (2023·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　) A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2) 【解析】　设g(x)＝，x≠0. 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－x)＝f(x)． 因为g(－x)＝＝－＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数， 所以g(－2)＝－g(2)． 因为f(－2)＝0， 所以g(－2)＝g(2)＝0. 当x>0时，g，(x)＝<0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 此时不等式>0的解集是(0,2)． 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2)． 综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)． 知识： 利用f(x)与ex构造函数 【例2】1. (2024·吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f′(x)－2，则(　　) A．f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1) B．f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1) C．f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1) D．f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1) 【解析】　令g(x)＝， 则g′(x)＝>0， 因此函数g(x)是增函数， 于是得g(2 023)>g(2 022)，即>， 整理得f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)，故B正确． 思维升华 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)． (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 【拓展练习】3. (2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 【解析】　设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， ∴F(x)是增函数． 又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. ∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3， 即F(x)>F(3)， ∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)． 4．(2024·惠州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)>8的解集为(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2) C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞) 【解析】　令g(x)＝e3xf(x)， 函数g(x)的定义域为R， 因为3f(x)＋f′(x)<0， 所以g′(x)＝[e3xf(x)]′＝e3x[3f(x)＋f′(x)]<0， 故g(x)为减函数， 又因为f(ln 2)＝1， 所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8， 所以不等式e3xf(x)>8可化为g(x)>g(ln 2)， 所以x<ln 2， 所以e3xf(x)>8的解集为(－∞，ln 2)． 5．(2023·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　　) A．3f(2)>2f(3) B．f(1)<f(2)<f(e) C．f(x)在x＝1处取得极小值 D．f(x)无极大值 【解析】　设g(x)＝(x>0)， 则g′(x)＝＝＝， 可设g(x)＝＋c， 则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e， 故g(x)＝－e，即f(x)＝ex－ex，x>0， 令g′(x)>0，则x>1， 故g(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴g(2)<g(3)，即<， 则3f(2)<2f(3)，故A错误； 令f′(x)＝ex－e>0，得x>1， 令f′(x)＝ex－e<0，得0<x<1， 则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f(1)<f(2)<f(e)，f(x)在x＝1处取得极小值，无极大值，故B，C，D均正确． 利用f(x)与sin x，cos x构造函数 【例3】 1. 设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<2f sin x的解集为_______． 【解析】　令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)， 则g′(x)＝， ∵当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0， ∴在(0，π)上，g′(x)<0， ∴函数g(x)在(0，π)上单调递减． ∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函数， ∴函数g(x)是偶函数， ∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增． 当x∈(0，π)时，sin x>0，则不等式f(x)<2f sin x可化为<， 即g(x)<g，∴<x<π； 当x∈(－π，0)时，sin x<0，则不等式f(x)<2f sin x可化为>＝， 即g(x)>g，∴－<x<0. 综上可得，不等式的解集为. 思维升华 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝， F′(x)＝； F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝， F′(x)＝. 【拓展练习】6. 已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sin x＋f(x)cos x<0，若a＝f ，b＝－f ，则a与b的大小关系为________．(用“<”连接) 【解析】　设φ(x)＝f(x)sin x， 则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x， ∴当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0， 即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数， ∴φ＝φ>φ， 即f ·sin>f ·sin ， 即－f>f ， 即f <－f，∴a<b. 7．已知0<x<y<π，且eysin x＝exsin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　) A．cos x＋cos y<0 B．cos x＋cos y>0 C．cos x>sin y D．sin x>sin y 【解析】　由0<x<y<π，且eysin x＝exsin y， 得＝， 令f(x)＝(0<x<π)，则f′(x)＝， 当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当<x<π时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 当f(x)＝f(y)时，0<x<，<y<π， 因为0<x<y<π，ex<ey，＝， 所以sin y>sin x>0， 所以<y<π－x<π， 所以cos y>cos(π－x)＝－cos x， 所以cos x＋cos y>0. 思维升华 构造函数解抽象不等式 (1)对于不等式f ′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f (x)－kx＋B． (2)对于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝xf (x)；对于不等式xf ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (3)对于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，构造函数g(x)＝xnf (x)；对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)． (4)对于不等式f ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝exf (x)；对于不等式f ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝. (5)对于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，构造函数 g(x)＝f (x)sin x；对于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)， 构造函数g(x)＝f (x)cos x. $$