第17讲 导数与函数的极值、最值-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第17讲 导数与函数的极值、最值 第17讲 导数与函数的极值最值 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2. 会用导数求函数的极大值、极小值. 3. 掌握利用导数研究函数最值的方法. 4. 会用导数研究生活中的最优化问题． 根据函数图象判断极值 知识： 【例1】 1.（多选)(2023·连云港模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，下列说法正确的是(　　) A．f(1)为函数f(x)的极大值 B．当x＝－1时，f(x)取得极小值 C．f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减 D．当x＝3时，f(x)取得极小值 【解析】　由图象知，当x∈(－2，－1)时，f′(x)<0， 即f(x)在(－2，－1)上单调递减， 当x∈(－1,2)时，f′(x)>0， 即f(x)在(－1,2)上单调递增， 所以当x＝－1时，f(x)取得极小值， 故A错误，B正确； 当x∈(2,4)时，f′(x)<0， 即f(x)在(2,4)上单调递减，故C正确，D错误． 2.（教材原题） 函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点． 【解析】因为点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以是函数的极值点；又因为时，，时，，所以是极大值点； 因为时，，时，，所以是极小值点. 知识： 求已知函数的极值 【例2】1.（2024·全国Ⅰ卷·）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 令得， 当x变化时f 和的变化情况如下表 1 (1,3) 3 (3, + 0 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 2．（2024·上海·）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 【解析】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性． 【拓展练习】1.（教材原题） 求函数的极值． 【解析】因为，所以 ． 令，解得，或． 当x变化时，，的变化情况如表所示； x 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，并且极大值为 ； 当时，有极小值，并且极小值为 ． 函数的图象如图所示． 2.（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ． 【解析】， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有极大值. 根据极值、极值点求参数 【例3】1. （2022·全国乙卷·）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【解析】【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 2. (2024·成都模拟)若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为(　　) A．1 B．－1或－3 C．－1 D．－3 【解析】　函数f(x)＝x(x＋a)2，f′(x)＝(x＋a)2＋2x(x＋a)＝(x＋a)(3x＋a)， 由函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值， 可得f′(1)＝(1＋a)(3＋a)＝0， 解得a＝－1或a＝－3， 当a＝－1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，当x∈时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)在x＝1处有极小值，不符合题意． 当a＝－3时，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1,3)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，f(x)在x＝1处有极大值，符合题意． 综上可得，a＝－3. 【拓展练习】3．（2021·全国乙·）设，若a为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：   由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 4．(多选题）（2023·全国Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 5.（2024·高三·咸阳·期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得， 所以的取值范围为， 故选：A. 6★（2024全国Ⅱ）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【解析】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 利用导数求函数的最值问题 【例4】1．（2022·全国甲卷·）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 2．（2021·全国新Ⅰ卷·）函数的最小值为 . 【解析】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 【拓展练习】7．（2018·全国·）已知函数，则的最小值是 ． 【解析】 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. 8．（2022·全国乙卷）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【解析】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 9★．（2022·全国新Ⅰ卷·）（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【解析】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第17讲 导数与函数的极值、最值 第17讲 导数与函数的极值最值 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2. 会用导数求函数的极大值、极小值. 3. 掌握利用导数研究函数最值的方法. 4. 会用导数研究生活中的最优化问题． 根据函数图象判断极值 知识： 【例1】 1.（多选)(2023·连云港模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，下列说法正确的是(　　) A．f(1)为函数f(x)的极大值 B．当x＝－1时，f(x)取得极小值 C．f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减 D．当x＝3时，f(x)取得极小值 【解析】　由图象知，当x∈(－2，－1)时，f′(x)<0， 即f(x)在(－2，－1)上单调递减， 当x∈(－1,2)时，f′(x)>0， 即f(x)在(－1,2)上单调递增， 所以当x＝－1时，f(x)取得极小值， 故A错误，B正确； 当x∈(2,4)时，f′(x)<0， 即f(x)在(2,4)上单调递减，故C正确，D错误． 2.（教材原题） 函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点． 【解析】因为点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以是函数的极值点；又因为时，，时，，所以是极大值点； 因为时，，时，，所以是极小值点. 知识： 求已知函数的极值 【例2】1.（2024·全国Ⅰ卷·）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 令得， 当x变化时f 和的变化情况如下表 1 (1,3) 3 (3, + 0 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 2．（2024·上海·）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 【解析】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：求解后验证根的合理性． 【拓展练习】1.（教材原题） 求函数的极值． 【解析】因为，所以 ． 令，解得，或． 当x变化时，，的变化情况如表所示； x 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，并且极大值为 ； 当时，有极小值，并且极小值为 ． 函数的图象如图所示． 2.（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ． 【解析】， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有极大值. 根据极值、极值点求参数 【例3】1. （2022·全国乙卷·）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【解析】【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 2. (2024·成都模拟)若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为(　　) A．1 B．－1或－3 C．－1 D．－3 【解析】　函数f(x)＝x(x＋a)2，f′(x)＝(x＋a)2＋2x(x＋a)＝(x＋a)(3x＋a)， 由函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值， 可得f′(1)＝(1＋a)(3＋a)＝0， 解得a＝－1或a＝－3， 当a＝－1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，当x∈时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)在x＝1处有极小值，不符合题意． 当a＝－3时，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1,3)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，f(x)在x＝1处有极大值，符合题意． 综上可得，a＝－3. 【拓展练习】3．（2021·全国乙·）设，若a为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：   由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 4．(多选题）（2023·全国Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 5.（2024·高三·咸阳·期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得， 所以的取值范围为， 故选：A. 6★（2024全国Ⅱ）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【解析】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 利用导数求函数的最值问题 【例4】1．（2022·全国甲卷·）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 2．（2021·全国新Ⅰ卷·）函数的最小值为 . 【解析】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 【拓展练习】7．（2018·全国·）已知函数，则的最小值是 ． 【解析】 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. 8．（2022·全国乙卷）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【解析】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 9★．（2022·全国新Ⅰ卷·）（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【解析】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. $$