第16讲 导数与函数的单调性-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第16讲 导数与函数的单调性 第16讲 导数与函数的单调性 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 3. 会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用． 不含参函数的单调性 知识： 方法： 【例1】1. (2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ． 【解析】函数的定义域为， ， 由得或（因为，故舍去）， 所以在区间上单调递增． 2. (2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 【解析】当时，, 由，解得，所以在区间上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 所以在区间上单调递增. 故答案为：. 思维升华 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 【拓展练习】1.（2024·高三·松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B．（0,1) C． D． 【解析】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 故答案为： 2. 函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________． 【解析】　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ln x－2， 当x∈(0，e2)时，f′(x)<0， 当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)． 知识： 含参数的函数的单调性 【例2】1．（2023·全国新Ⅱ卷·）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2．（2023·全国乙卷·）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立． (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集． 【拓展练习】3．（2019·北京·）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 【解析】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 4．（2017·山东·）若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是 A． B． C． D． 【解析】 对于A,令,,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A. 利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 【例3】1.（2024·重庆·模拟）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（    ） A B C D 【解析】由可得 对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合； 对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则. 又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合. 故选：C. 2.（2024·广州·一模）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（    ） A B C D 【解析】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项. 当时，从左向右，是递增、递减、递增， 对应导数的符号为，由此排除C选项， 所以A选项正确. 故选：A 思维升华 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）； 原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）． 【拓展练习】 5.（2024·高三·西安·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【解析】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，时，时， 所以不等式的解集为. 故选：A 6.（2024·海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解析】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 故选：D. 比较大小或解不等式 【例4】1.(多选)(2024·深圳模拟)若0<x1<x2<1，则(　　) A．>ln B．<ln C． D． 【解析】　令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0,1)， 则f′(x)＝ex－>0， 故f(x)在区间(0,1)上单调递增， 因为0<x1<x2<1，所以f(x1)<f(x2)， 即－ln(x1＋1)<－ln(x2＋1)， 故>ln ，所以A正确，B错误； 令f(x)＝且x∈(0,1)，则f′(x)＝<0， 故f(x)在区间(0,1)上单调递减， 因为0<x1<x2<1，所以f(x1)>f(x2)， 即，故， 所以C正确，D错误． 2．（2021·全国乙卷·）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【解析】， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. 常见组合函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果． 典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x 【解析】　依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数． 对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0， 当x∈时，g′(x)<0，∴g(x)在上单调递减， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x， 当x∈时，g′(x)<0， ∴g(x)在上单调递减， 故D中函数不是“F函数”． 【拓展练习】7. (2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集为________． 【解析】　令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x， 定义域为R，且g(－x)＝e－x－ex＋2x＝－g(x)， 所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x为奇函数， f(2x－3)＋f(x)>2变形为f(2x－3)－1>1－f(x)，即g(2x－3)>－g(x)＝g(－x)， g′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0， 当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立， 所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x在R上单调递增，所以2x－3>－x，解得x>1， 所以所求不等式的解集为(1，＋∞)． $$ “功夫”2025届第一轮精练 第16讲 导数与函数的单调性 第16讲 导数与函数的单调性 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 3. 会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用． 不含参函数的单调性 知识： 方法： 【例1】1. (2024·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为 ． 【解析】函数的定义域为， ， 由得或（因为，故舍去）， 所以在区间上单调递增． 2. (2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 【解析】当时，, 由，解得，所以在区间上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 所以在区间上单调递增. 故答案为：. 思维升华 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 【拓展练习】1.（2024·高三·松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B．（0,1) C． D． 【解析】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 故答案为： 2. 函数f(x)＝xln x－3x＋2的单调递减区间为________． 【解析】　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ln x－2， 当x∈(0，e2)时，f′(x)<0， 当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)． 知识： 含参数的函数的单调性 【例2】1．（2023·全国新Ⅱ卷·）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2．（2023·全国乙卷·）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立． (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集． 【拓展练习】3．（2019·北京·）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 【解析】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 4．（2017·山东·）若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是 A． B． C． D． 【解析】 对于A,令,,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A. 利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 【例3】1.（2024·重庆·模拟）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（    ） A B C D 【解析】由可得 对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合； 对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则. 又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合. 故选：C. 2.（2024·广州·一模）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（    ） A B C D 【解析】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项. 当时，从左向右，是递增、递减、递增， 对应导数的符号为，由此排除C选项， 所以A选项正确. 故选：A 思维升华 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）； 原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）． 【拓展练习】 5.（2024·高三·西安·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【解析】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，时，时， 所以不等式的解集为. 故选：A 6.（2024·海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解析】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 故选：D. 比较大小或解不等式 【例4】1.(多选)(2024·深圳模拟)若0<x1<x2<1，则(　　) A．>ln B．<ln C． D． 【解析】　令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0,1)， 则f′(x)＝ex－>0， 故f(x)在区间(0,1)上单调递增， 因为0<x1<x2<1，所以f(x1)<f(x2)， 即－ln(x1＋1)<－ln(x2＋1)， 故>ln ，所以A正确，B错误； 令f(x)＝且x∈(0,1)，则f′(x)＝<0， 故f(x)在区间(0,1)上单调递减， 因为0<x1<x2<1，所以f(x1)>f(x2)， 即，故， 所以C正确，D错误． 2．（2021·全国乙卷·）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【解析】， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. 常见组合函数的图象 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果． 典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x 【解析】　依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数． 对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0， 当x∈时，g′(x)<0，∴g(x)在上单调递减， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x， 当x∈时，g′(x)<0， ∴g(x)在上单调递减， 故D中函数不是“F函数”． 【拓展练习】7. (2023·成都模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集为________． 【解析】　令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x， 定义域为R，且g(－x)＝e－x－ex＋2x＝－g(x)， 所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x为奇函数， f(2x－3)＋f(x)>2变形为f(2x－3)－1>1－f(x)，即g(2x－3)>－g(x)＝g(－x)， g′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0， 当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立， 所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x在R上单调递增，所以2x－3>－x，解得x>1， 所以所求不等式的解集为(1，＋∞)． $$