第14讲 抽象函数的性质-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第14讲 抽象函数的性质 第14讲 抽象函数的性质 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。 抽象函数求值 知识： 【例1】1．（2021·全国新Ⅱ卷·）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 思维升华 抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令 ,,,0,1, 等特殊值求抽象函数的函数值. 2．（2018·全国·）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 【解析】因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 【拓展练习】1.（2021·全国甲卷·）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 2．（2024·全国新Ⅰ卷·）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确.故选：B. 知识： 抽象函数的单调性与抽象不等式 【例2】1．（2017·天津·理）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 【解析】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数， ， ，又，则，所以即， ， 所以，故选C． 思维升华 （1）抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用与的大小关系构造出一个大于（或小于）0的数. （2）在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“”，而是常数，则应将常数转化为函数值. 2．（多选）（2024·茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【解析】因为函数是奇函数， 则不等式，可变形为， 因为函数在上单调递增， 则不等式成立，则， 解得，1，2符合题意， 故选：CD. 【拓展练习】 3.（2017·全国·）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 【解析】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 4．（2019·全国·）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 【解析】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 抽象函数与具体函数 【例3】1.（山东高考·）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（   ） A． B． C． D． 【解析】对于A，因，则满足，A不是； 对于C，因， 则满足，C不是； 对于D，因， 则满足，D不是； 对于B，显然不能变形，，因此不满足三个等式中任一个，B是. 故选：B 2.（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以， 故可设，则，显然A，D错误，选BC. 【拓展练习】5.（23-24·长春·模拟）函数满足：任意，.且.则的最小值是（    ） A．1775 B．1850 C．1925 D．2000 【解析】因为，所以有， 设，那么， 因此， 因此， 取，得到.所以. 设，等号成立！故选：C. 6. （2022·全国新Ⅱ卷·）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解析】【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ， 所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． $$ “功夫”2025届第一轮精练 第14讲 抽象函数的性质 第14讲 抽象函数的性质 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。 抽象函数求值 知识： 【例1】1．（2021·全国新Ⅱ卷·）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 思维升华 抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令 ,,,0,1, 等特殊值求抽象函数的函数值. 2．（2018·全国·）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 【解析】因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 【拓展练习】1.（2021·全国甲卷·）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 2．（2024·全国新Ⅰ卷·）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确.故选：B. 知识： 抽象函数的单调性与抽象不等式 【例2】1．（2017·天津·理）已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 【解析】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数， ， ，又，则，所以即， ， 所以，故选C． 思维升华 （1）抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用与的大小关系构造出一个大于（或小于）0的数. （2）在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“”，而是常数，则应将常数转化为函数值. 2．（多选）（2024·茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【解析】因为函数是奇函数， 则不等式，可变形为， 因为函数在上单调递增， 则不等式成立，则， 解得，1，2符合题意， 故选：CD. 【拓展练习】 3.（2017·全国·）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 【解析】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 4．（2019·全国·）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 【解析】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 抽象函数与具体函数 【例3】1.（山东高考·）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（   ） A． B． C． D． 【解析】对于A，因，则满足，A不是； 对于C，因， 则满足，C不是； 对于D，因， 则满足，D不是； 对于B，显然不能变形，，因此不满足三个等式中任一个，B是. 故选：B 2.（2022·全国新Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以， 故可设，则，显然A，D错误，选BC. 【拓展练习】5.（23-24·长春·模拟）函数满足：任意，.且.则的最小值是（    ） A．1775 B．1850 C．1925 D．2000 【解析】因为，所以有， 设，那么， 因此， 因此， 取，得到.所以. 设，等号成立！故选：C. 6. （2022·全国新Ⅱ卷·）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解析】【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ， 所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． $$