第13讲 函数模型的应用-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第13讲 函数模型的应用 第13讲 函数模型的应用 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2. 理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3. 能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 用函数图象刻画变化过程 知识： 【例1】 1. (多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 【解析】　从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．答案　ABC 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 2.　(2024·北京门头沟区检测)在声学中,音量模型被定义为Lp=20lg,其中Lp是音量(单位:dB),p0是基准声压,为2×10-5 Pa,p是实际声压。人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值。经过研究表明,人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值,如图所示,其中240 Hz对应的听觉下限阈值为20 dB,1 000 Hz对应的听觉下限阈值为0 dB。则下列结论正确的是(D) A.音量同为20 dB的声音,30~100 Hz的低频比1 000~10 000 Hz的高频更容易被人们听到 B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 C.240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002 Pa D.240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为1 000 Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍 【解析】　对于A,30~100 Hz的低频对应图象的听觉下限阈值高于20 dB,1 000~10 000 Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20 dB,所以对比可知高频更容易被听到,故A错误。对于B,从图象上看,听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大,故B错误。对于C,240 Hz对应的听觉下限阈值为20 dB,p0=2×10-5 Pa,令20lg=20,此时p=10p0=0.000 2 Pa,故C错误。对于D,1 000 Hz的听觉下限阈值为0 dB,令20lg =0,此时p=p0,所以240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为1 000 Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍,故D正确。故选D。 【拓展练习】1. 在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 【解析】　由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型． 2. (多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是(CD) A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗8 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【解析】对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1 L汽油,行驶里程都超过5 km,故A错误。对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,B错误。对于C选项:甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1 h,消耗了汽油80×1÷10=8(L),故C对。对于D选项:速度在80 km/h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对。故选CD。 【教材原题】 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么： （1）10h后还剩百分之几的污染物？ （2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？ （3）画出P关于t变化的函数图象. (参考数据 ) 【解析】（1）当时，，当时，，即. ，当时，， 即10h后，还剩81%的污染物. （2）设污染物减少50%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少50%大约需要花33h. （3）图象大致如图所示. 已知函数模型的实际问题 知识： 方法： 【例2】1．（2020山东）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【解析】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 2. (2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的(　　) A．6倍 B． 102倍 C．103倍 D．106倍 【解析】　设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1， 里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2， 则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8； lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8， ＝＝103. 思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 【拓展练习】3. （2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C．6min D． 【解析】由题可知，函数， 令，则， 两边同时取对可得：，即， 即. 故选：B. 4.（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的e倍，那么的值为（e为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【解析】由，得到， 当时，； 当时，. 依题意，明年的产量将是今年的倍，得：， ，即，解得. ，. 5.（指数型）（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（    ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【解析】令，，， ∵， ∴他在考试前半小时复习即可， ∴他复习背诵时间需大约在14：30， 故选：A. 6.（指数型）（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ． （参考数据：，） 【解析】设至少需要过滤次，可得，即， 两边取对数，可得，所以， 又因为，所以，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为次． 故答案为：. 构造函数模型的实际问题 【例3】1. (2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)． 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 【解析】　(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3)． (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5,0.9]，30＋v＋<90恒成立． 易知当v＝0时，满足题意； 当0<v≤33.3时，有<－对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立， 由k∈[0.5,0.9]，得∈ 所以－>， 即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20， 所以0<v<20. 综上，0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下． 思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 【拓展练习】（2024·高三·江西赣州·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（    ）（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以，即. 故选：B. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第13讲 函数模型的应用 第13讲 函数模型的应用 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2. 理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3. 能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 用函数图象刻画变化过程 知识： 【例1】 1. (多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 【解析】　从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．答案　ABC 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 2.　(2024·北京门头沟区检测)在声学中,音量模型被定义为Lp=20lg,其中Lp是音量(单位:dB),p0是基准声压,为2×10-5 Pa,p是实际声压。人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值。经过研究表明,人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值,如图所示,其中240 Hz对应的听觉下限阈值为20 dB,1 000 Hz对应的听觉下限阈值为0 dB。则下列结论正确的是(D) A.音量同为20 dB的声音,30~100 Hz的低频比1 000~10 000 Hz的高频更容易被人们听到 B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 C.240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002 Pa D.240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为1 000 Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍 【解析】　对于A,30~100 Hz的低频对应图象的听觉下限阈值高于20 dB,1 000~10 000 Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20 dB,所以对比可知高频更容易被听到,故A错误。对于B,从图象上看,听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大,故B错误。对于C,240 Hz对应的听觉下限阈值为20 dB,p0=2×10-5 Pa,令20lg=20,此时p=10p0=0.000 2 Pa,故C错误。对于D,1 000 Hz的听觉下限阈值为0 dB,令20lg =0,此时p=p0,所以240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为1 000 Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍,故D正确。故选D。 【拓展练习】1. 在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 【解析】　由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型． 2. (多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是(CD) A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗8 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【解析】对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1 L汽油,行驶里程都超过5 km,故A错误。对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,B错误。对于C选项:甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1 h,消耗了汽油80×1÷10=8(L),故C对。对于D选项:速度在80 km/h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对。故选CD。 【教材原题】 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么： （1）10h后还剩百分之几的污染物？ （2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？ （3）画出P关于t变化的函数图象. (参考数据 ) 【解析】（1）当时，，当时，，即. ，当时，， 即10h后，还剩81%的污染物. （2）设污染物减少50%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少50%大约需要花33h. （3）图象大致如图所示. 已知函数模型的实际问题 知识： 方法： 【例2】1．（2020山东）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【解析】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 2. (2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的(　　) A．6倍 B． 102倍 C．103倍 D．106倍 【解析】　设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1， 里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2， 则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8； lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8， ＝＝103. 思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 【拓展练习】3. （2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C．6min D． 【解析】由题可知，函数， 令，则， 两边同时取对可得：，即， 即. 故选：B. 4.（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的e倍，那么的值为（e为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【解析】由，得到， 当时，； 当时，. 依题意，明年的产量将是今年的倍，得：， ，即，解得. ，. 5.（指数型）（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（    ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【解析】令，，， ∵， ∴他在考试前半小时复习即可， ∴他复习背诵时间需大约在14：30， 故选：A. 6.（指数型）（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ． （参考数据：，） 【解析】设至少需要过滤次，可得，即， 两边取对数，可得，所以， 又因为，所以，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为次． 故答案为：. 构造函数模型的实际问题 【例3】1. (2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)． 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 【解析】　(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3)． (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5,0.9]，30＋v＋<90恒成立． 易知当v＝0时，满足题意； 当0<v≤33.3时，有<－对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立， 由k∈[0.5,0.9]，得∈ 所以－>， 即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20， 所以0<v<20. 综上，0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下． 思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解． (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 【拓展练习】（2024·高三·江西赣州·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（    ）（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以，即. 故选：B. $$