第12讲 函数的零点与方程的解-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第12讲 函数的零点与方程的解 第12讲 函数的零点与方程的解 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 理解函数的零点与方程的解的联系. 2. 理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3. 了解用二分法求方程的近似解． 函数零点所在区间的判定 知识： 【例1】 1. (2023·宣城模拟)方程－＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A．(1,2) B．(2，e) C．(e,3) D．(3,4) 【解析】　对于方程－＋1＝0， 有x>0，可得x＋ln x－e＝0， 令f(x)＝x＋ln x－e，其中x>0， 因为函数y＝x－e，y＝ln x均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln 2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0， 由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内，则方程－＋1＝0的根所在的区间是(2，e)． 2.（2024·高三·太原·期中）已知是函数的零点，则 . 【解析】由题可知，， 所以， 令,则单调递增，且, 所以，所以， 所以.故答案为： 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【拓展练习】1. 用二分法求方程－＋1＝0在区间(2,3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为，故有<0.1，解得n≥4， ∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 2. (2014·北京文 6) 已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) 【解析】 方法一：对于函数f(x)＝－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C. 方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝与g(x)＝log2x的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)． 知识： 函数零点个数的判定 【例2】1. (2023·咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 【解析】　当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1； 当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0， f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. 2.（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个. 【解析】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点. 故答案为：4. 思维升华 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【拓展练习】3. (2015湖北文13)函数的零点个数为___. 【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点. 4. (2014·天津文14) 已知函数 f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________． 【解析】 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像 相切时，联立 整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有1<a<2. 根据函数零点个数求参数 【例3】1．（2022北京）若函数的一个零点为，则 ； ． 【解析】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 2. （2024全国Ⅱ）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解析】令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 【拓展练习】 5.（2024·北京西城·一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 6.（2017·全国·）已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【解析】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C. ★7．（2022天津）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 . 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 二分法 【例4】1.（2024·大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（    ） A． B． C． D． 【解析】令，则， 令，即，可得， 迭代关系为， 取，则，， 故选：D. 2.（2024·梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， ， 所以函数在区间上有唯一零点， 所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是. 故选：B. 【拓展练习】8.一块电路板的线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（　　） A．次 B．次 C．次 D．次 【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要次检测，则， 即，因为，故的最小值为，即至少需要检测次.故选：B. 等高线问题 【例5】（2024咸阳·模拟）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C $$ “功夫”2025届第一轮精练 第12讲 函数的零点与方程的解 第12讲 函数的零点与方程的解 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 理解函数的零点与方程的解的联系. 2. 理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3. 了解用二分法求方程的近似解． 函数零点所在区间的判定 知识： 【例1】 1. (2023·宣城模拟)方程－＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A．(1,2) B．(2，e) C．(e,3) D．(3,4) 【解析】　对于方程－＋1＝0， 有x>0，可得x＋ln x－e＝0， 令f(x)＝x＋ln x－e，其中x>0， 因为函数y＝x－e，y＝ln x均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln 2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0， 由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内，则方程－＋1＝0的根所在的区间是(2，e)． 2.（2024·高三·太原·期中）已知是函数的零点，则 . 【解析】由题可知，， 所以， 令,则单调递增，且, 所以，所以， 所以.故答案为： 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【拓展练习】1. 用二分法求方程－＋1＝0在区间(2,3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为，故有<0.1，解得n≥4， ∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 2. (2014·北京文 6) 已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) 【解析】 方法一：对于函数f(x)＝－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C. 方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝与g(x)＝log2x的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)． 知识： 函数零点个数的判定 【例2】1. (2023·咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 【解析】　当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1； 当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0， f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. 2.（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个. 【解析】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点. 故答案为：4. 思维升华 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点． (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等． (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 【拓展练习】3. (2015湖北文13)函数的零点个数为___. 【解析】函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点. 4. (2014·天津文14) 已知函数 f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________． 【解析】 在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x|的图像，如图所示，当y＝a|x|与y＝f(x)的图像 相切时，联立 整理得x2＋(5－a)x＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a＝1或a＝9(舍去)，∴当y＝a|x|与y＝f(x)的图像有四个交点时，有1<a<2. 根据函数零点个数求参数 【例3】1．（2022北京）若函数的一个零点为，则 ； ． 【解析】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 2. （2024全国Ⅱ）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解析】令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 【拓展练习】 5.（2024·北京西城·一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 6.（2017·全国·）已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【解析】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C. ★7．（2022天津）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 . 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 二分法 【例4】1.（2024·大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（    ） A． B． C． D． 【解析】令，则， 令，即，可得， 迭代关系为， 取，则，， 故选：D. 2.（2024·梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， ， 所以函数在区间上有唯一零点， 所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是. 故选：B. 【拓展练习】8.一块电路板的线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（　　） A．次 B．次 C．次 D．次 【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要次检测，则， 即，因为，故的最小值为，即至少需要检测次.故选：B. 等高线问题 【例5】（2024咸阳·模拟）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C $$