第10讲 对数与对数函数 解析版-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第10讲 对数与对数函数 第10讲 对数与对数函数 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1 . 理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2 . 通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3 . 了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 对数式的运算 知识： 【例1】1．（2022天津）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2022浙江）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 3.（2024全国甲理）已知且，则 ． 思维升华 解决对数运算问题的常用方法 1拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并. 2合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 3转化：ab＝N⇔b＝logaNa＞0，且a≠1是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【拓展练习】1．（2023北京）已知函数，则 ． 2. （2021·天津·）若，则（    ） A． B． C．1 D． 3.（2024·重庆·三模）若正实数，满足，，则 . 知识： 对数函数的图象及应用 【例2】1.(RJA1改)已知函数 的图像如右图所示, 则，，三个函数图象分别是( ) A.(1),(2),(3) B. (3),(2), (1) C. (3), (1), (2) D. (2), (3), (1) 2. (2023·开封模拟)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 思维升华 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【拓展练习】4.已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 比较对数式的大小 【例3】1.(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　A　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 2.（2021全国II）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【拓展练习】5．（2024·天津·）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（2022天津）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 解对数方程、不等式 【例4】1. (2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【拓展练习】7.不等式的解集是 ． 对数函数的性质及应用 【例5】1．（2023全国Ⅱ）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【拓展练习】8.（2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] $$ “功夫”2025届第一轮精练 第10讲 对数与对数函数 第10讲 对数与对数函数 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1 . 理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2 . 通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3 . 了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 对数式的运算 知识： 【例1】1．（2022天津）化简的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 【解析】原式 ，故选：B 2．（2022浙江）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【解析】因为，，即，所以． 故选：C. 3．（2024全国甲理）已知且，则 ． 【解析】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 思维升华 解决对数运算问题的常用方法 1拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并. 2合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 3转化：ab＝N⇔b＝logaNa＞0，且a≠1是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【拓展练习】1．（2023北京）已知函数，则 ． 【解析】函数，所以. 故答案为：1 2. （2021·天津·）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【解析】，， . 故选：C. 3.（2024·重庆·三模）若正实数，满足，，则 . 【解析】由于，整理得，①， 又，②， 所以①+②得：； 即 对于取常用对数可得，， 故. 知识： 对数函数的图象及应用 【例2】1.(RJA1改)已知函数 的图像如右图所示, 则，，三个函数图象分别是( ) A.(1),(2),(3) B. (3),(2), (1) C. (3), (1), (2) D. (2), (3), (1) 【分析】：2×5=10 取x=10，用换底公式化为同底对数后，比较三个函数值 【解析】：当时 == ∵ ∴ ∴答案为(3),(2), (1) 即 B。 2. (2023·开封模拟)已知函数f(x)＝|log3x|，若a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 【解析】　画出f(x)＝|log3x|的图象如图所示， 因为a<b，且f(a)＝f(b)， 所以－log3a＝log3b， 故＝b，且0<a<1， 令y＝a＋4b，所以y＝a＋， 由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0,1)上单调递减， 故y＝a＋>1＋＝5， 故a＋4b的取值范围是(5，＋∞)． 思维升华 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【拓展练习】4.已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 【解析】由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c， b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A. 比较对数式的大小 【例3】1.(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　A　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【解析】因为a＝log323<log39＝＝c，b＝log533>log525＝＝c，所以a<c<b. 2.（2021全国II）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】，即. 故选：C. 【拓展练习】5．（2024·天津·）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 6．（2022天津）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【解析】因为，故. 故答案为：C. 解对数方程、不等式 【例4】1. (2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【解析】　由2a>2，可得a>1. 由>0，可得>loga1， ∴或解得a>1或0<a<. 因此“2a>2”是“”的充分不必要条件． 【拓展练习】7.不等式的解集是 ． 【解析】设，其定义域为， 和在均为增函数， 则在为增函数，且， ，即，， 不等式的解集是. 对数函数的性质及应用 【例5】1．（2023全国Ⅱ）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数.故选：B. 【拓展练习】8.（2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0] 【解析】　由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)， 而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1， 所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)， 又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 所以a∈[2，＋∞)． $$