第9讲 指数与指数函数-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第9讲 指数与指数函数 第9讲 指数与指数函数 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 指数函数的图象及应用 知识： 【例1】1．（2024全国甲理）函数在区间的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2. (多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 思维升华 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 【拓展练习】1．（2024·山东·模拟）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 3. （2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022全国甲理）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 指数函数的性质及应用-比较大小 知识： 【例2】1.(2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>b B.c>b>a C. a>b>c D. b>a>c 2．（2024天津卷）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【拓展练习】 5. （2023全国甲文）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 6.（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 指数型复合函数的单调性 【例3】1．（2024·湖北·模拟）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ）知识：   A． B． C． D． 【解析】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为， 对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D； 对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C； 对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B. 故选：A. 2.(2023·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 【解析】　函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则有函数y=x(x-a)=在区间(0,1)上单调递减,因此 ≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞)。故选D。 【拓展练习】　7．（2024·长春·模拟）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 指数函数的应用 【例4】1.（2020全国Ⅰ）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【拓展练习】8.（2023•新高考Ⅰ）【多选】噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则　　 A． B． C． D． 参数问题 【例5】1.（2023全国乙理）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【拓展练习】9. (2015·福建文15)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________． 解简单的指数方程或不等式 【例6】1.（2024·邯郸·一模）不等式的解集为 . 【拓展练习】10．(2024·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________． $$ “功夫”2025届第一轮精练 第9讲 指数与指数函数 第9讲 指数与指数函数 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 指数函数的图象及应用 知识： 【例1】1．（2024全国甲理）函数在区间的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【解析】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 2. (多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 【解析】　由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确； 当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误． 思维升华 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 【拓展练习】1．（2024·山东·模拟）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【解析】依题意，函数的定义域为， ，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足； 当时，，则，AD不满足，C满足. 故选：C 3. （2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数图象过原点，所以， 得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交， 所以，则， 所以. 4．（2022全国甲理）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解析】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 指数函数的性质及应用-比较大小 知识： 【例2】1.(2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( ) A.c>a>b B.c>b>a C. a>b>c D. b>a>c 【解析】　因为指数函数f(x)=1.01x在R上单调递增, 且0.5<0.6,所以f(0.5)<f(0.6),即1.010.5<1.010.6,即b>a; 又因为幂函数g(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且0.6<1.01, 所以g(0.6)<g(1.01),即0.60.5<1.010.5,即a>c,由此可知,a,b,c的大小关系为b>a>c。 故选D。 2．（2024天津卷）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【拓展练习】 5. （2023全国甲文）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【解析】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即.故选：A. 6.（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 所以，因为，， 所以，所以. 故选：D. 指数型复合函数的单调性 【例3】1．（2024·湖北·模拟）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（    ）知识：   A． B． C． D． 【解析】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为， 对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D； 对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C； 对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B. 故选：A. 2.(2023·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 【解析】　函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则有函数y=x(x-a)=在区间(0,1)上单调递减,因此 ≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞)。故选D。 【拓展练习】　7．（2024·长春·模拟）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【解析】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：ABD 指数函数的应用 【例4】1.（2020全国Ⅰ）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【解析】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【拓展练习】8.（2023•新高考Ⅰ）【多选】噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意得，，， ，， ，， 可得，正确； ，错误； ，正确； ，，正确． 故选：． 参数问题 【例5】1.（2023全国乙理）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解析】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得.故选：D. 【拓展练习】9. (2015·福建文15)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________． 【解析】　∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴y＝f(x)关于x＝1对称，∴a＝1. ∴f(x)＝2|x－1|在[1，＋∞)上单调递增． ∴[m，＋∞)⊆[1，＋∞)． ∴m≥1，即m的最小值为1. 解简单的指数方程或不等式 【例6】1.（2024·邯郸·一模）不等式的解集为 . 【解析】由，可得. 令， 因为均为上单调递减函数 则在上单调递减，且， ， 故不等式的解集为. 【拓展练习】10．(2024·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________． 【解析】　∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)， ∴＋m－1＝－m＋1， ∴2m＝＋2， 构造函数y＝＋2，x0∈[－1,1]， 令t＝，t∈， 则y＝－－t＋2＝2－在单调递增，在(1,3]上单调递减， ∴当t＝1时，函数取得最大值0， 当t＝或t＝3时，函数取得最小值－， ∴y∈，又∵m≠0，∴－≤2m<0，∴－≤m<0. $$