第8讲 幂函数与二次函数-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第8讲 幂函数与二次函数 第8讲 幂函数与二次函数 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！- 4 - 最新考题尽在“功夫”！- 3 - 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 （1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. （2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 幂函数的定义及其图像 知识： 【例1】1.（2024·日照·二模）已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）（2024·喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【拓展练习】1. 给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 由幂函数的单调性比较大小 【例2】1.（2024·红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）知识： A． B． C． D． 2.（2024·衡水·三模）已知，，，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【拓展练习】2.(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ 3.（2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 二次函数的解析式 【例3】1. 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 思维升华 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 【拓展练习】4.（2024·海口·开学）已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 二次函数的图象、单调性与最值 【例4】 1. (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 2. （2024·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”． 【拓展练习】4 (2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 5.(2023·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是________． 6.（2024·高三·苏州·期中）满足的实数对，构成的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 $$ “功夫”2025届第一轮精练 第8讲 幂函数与二次函数 第8讲 幂函数与二次函数 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！- 4 - 最新考题尽在“功夫”！- 3 - 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 （1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. （2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 幂函数的定义及其图像 知识： 【例1】1.（2024·日照·二模）已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解析】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为；故选：B 2.（多选题）（2024·喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【解析】是幂函数， 则，解得或.故选：BC. 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【拓展练习】1. 给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A 由幂函数的单调性比较大小 【例2】1.（2024·红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）知识： A． B． C． D． 【解析】，，而， 所以a，b，c的大小关系为. 故选：C 2.（2024·衡水·三模）已知，，，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】由，得或， 由，得， 由，得， ∴当，，同时成立时，取交集得，故选：A. 【拓展练习】2.(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ 【解析】　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象： 当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝； 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2. 3.（2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数， 所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0， 解得n＝1或n＝2， 当n＝1时，f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增． 所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件． 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 二次函数的解析式 【例3】1. 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 【解析】　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 思维升华 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 【拓展练习】4.（2024·海口·开学）已知二次函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，则＝ . 【解析】因为对恒成立， 所以的图象关于对称. 又的图象在轴上截得的线段长为2， 所以的两根为或， 所以二次函数与轴的两交点坐标为和， 因此设. 又点在的图象上， 所以，则，故. 故答案为： 二次函数的图象、单调性与最值 【例4】 1. (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 【解析】　由二次函数的图象开口向下知a<0，对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0. 又因为f(0)＝c>0，所以abc<0. f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0. 2. （2024·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 【解析】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”． 【拓展练习】4 (2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 【解析】　y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)为二次函数，图象开口向上， 因为α，β(α<β)是方程y＝0的两根， 故α，β(α<β)为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，其中f(m)＝f(n)＝2 023， 画出大致图象如图所示， 显然m<α<β<n. 5.(2023·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是________． 【解析】　解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4， 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]． 若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调， 且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]， 所以b－a的最大值为4， 所以b－a的取值范围是[2,4]． 6.（2024·高三·苏州·期中）满足的实数对，构成的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【解析】由，又， 则，所以在单调递增， 故值域为， 即是的两根，解得， 当时，点为， 当时，点为， 当时，点为. 故选：C $$