第5讲 一元二次不等式-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第5讲 一元二次不等式 第5讲 一元二次不等式 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2. 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3. 了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 不含参的不等式 知识： 【例1】1．（2024·上海）已知则不等式的解集为 ． 2.（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集为 ． 【拓展练习】1．（2015·广东·）不等式的解集为 ．（用区间表示） 2．（2019·天津·） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 含参的不等式 知识： 【例2】1．（2014江苏）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 2．已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 【拓展练习】 3．（2007北京理）已知集合，．若，则实数的取值范围是 4.★(2017·天津·）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 三个二次之间的关系 【例3】1. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 思维升华 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负． 2. (多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．－1<x1<x2<3 D．x2－x1>4 【解析】　由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2 【拓展练习】5. 已知的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 一元二次不等式恒成立问题 【例4】1. （2024·西安·模拟）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 【拓展练习】6．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 7．若存在x∈[0,1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为(　　) A．0 B．1 C．－3 D．3 $$ “功夫”2025届第一轮精练 第5讲 一元二次不等式 第5讲 一元二次不等式 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2. 结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3. 了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 不含参的不等式 知识： 【例1】1．（2024·上海）已知则不等式的解集为 ． 【解析】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 2.（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集为 ． 【解析】由不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 【拓展练习】1．（2015·广东·）不等式的解集为 ．（用区间表示） 【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：． 2．（2019·天津·） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 【解析】， 即， 即，故的取值范围是． 含参的不等式 知识： 【例2】1．（2014江苏）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 【解析】因为函数的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的都有成立， ，解得， 所以实数的取值范围为． 2．已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【解析】（1）若不等式的解集为R， 则， 解得， 即实数的取值范围,； （2）不等式， ①当时，即时，不等式的解集为， ②当时，即或时， 由，解得或， 所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 【拓展练习】 3．（2007北京理）已知集合，．若，则实数的取值范围是 ． 【解析】集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或x≤1 }．又，∴，解得2<a<3，实数的取值范围是(2，3)． 4.★(2017·天津·）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 三个二次之间的关系 【例3】1. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，方程的两根为2和3， 则， 则为，其解集为. 故选：D. 思维升华 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负． 2. (多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．－1<x1<x2<3 D．x2－x1>4 【解析】　由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根， 所以x1＋x2＝－＝2，故A正确； x1x2＝＝－3<－3，故B正确； x2－x1＝＝＝2>4，故D正确； 由x2－x1>4，可得－1<x1<x2<3是错误的，故C错误． 【拓展练习】5. 已知的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【解析】已知的解集为， 则的两根为和2， 所以，即， 代入不等式，化简整理得， 因为，故， 不等式的解集为或. 故选：C 一元二次不等式恒成立问题 【例4】1. （2024·西安·模拟）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【解析】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 【拓展练习】6．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 【解析】　当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R； 当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2. 综上，－1<a≤2，故a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 7．若存在x∈[0,1]，不等式x2－4x－m≥0成立，则m的最大值为(　　) A．0 B．1 C．－3 D．3 【解析】　由题意得，当x∈[0,1]时，m≤(x2－4x)max. 令f(x)＝x2－4x，x∈[0,1]， 由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4可知，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0， 所以m≤0，故m的最大值为0. $$