8.1.2样本相关系数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.1.2 样本（线性）相关系数 【引例】下面两幅散点图中，哪幅图的线性相关程度更高？ 【思考】散点图只能定性分析，有没有什么方法能够定量分析线性相关程度的呢？ 散点图只能定性分析两变量是否具有线性关系，但却不能定量描述线性相关程度有多高，因此我们有必要引入一个量去刻画两变量的线性相关程度高低，怎么操作呢？需要分两步走。 2 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1, y1), (x2, y2),‧‧‧, (xn, yn)，其中x1, x2, ‧‧‧, xn和y1, y2,‧‧‧, yn的均值分别为 和 . 将数据以 为零点进行平移，得到平移后的成对数据为 并绘制散点图. 1.中心化 年龄/岁 脂肪含量/% 中心化 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 -25 -21 -9 -7 -3 1 2 5 6 8 9 10 12 13 -17.5 -9.2 -5.8 -1.1 0.5 -0.699999999999999 1.2 2.6 3.2 4.4 3.8 6.5 8.2 7.6 通过绘图分析可得，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如图 (1)所示； 如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多，如图(2)所示. 利用散点 的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量 一般情形下，Lxy>0表明成对样本数据正相关；Lxy <0表明成对样本数据负相关. 在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高单位由米改为厘米，单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程度。 我们发现， 的大小与数据的度量单位有关，所以不能直接用它度量成对样本数据线性相关程度的大小。 【思考】Lxy的大小是否一定能说明成对样本数据的相关程度不同? 因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小. 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理(将数据化为均值为0，方差为1）. 我们用 2.标准化 【思考】对于标准化后的散点图中，什么情况表示线性相关程度最高？ Y 值 -6 -4 -2 0 2 4 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 样本相关系数： 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它反映了两个随机变量之间的线性相关程度. r的符号反映了相关关系的正负性. |r|的大小反映了两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度. 样本相关系数： 相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. ② |r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. 注意：若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强； 若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般； 若|r|≤0.3，则认为y与x的线性相关程度较弱 图(1) 中成对样本数据的正线性相关程度很强. 图(2) 中成对样本数据的负线性相关程度比较强. 图(3)中 对样本数据的线性相关程度很弱. 图(4)中成对样本数据的线性相关程度极弱. 【思考】中心化后数据形态不改变，但标准化后会相对变化，那为何可用标准化后的数据表示原数据的线性相关程度？二者有无区别？ 练习1 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系．(　　) (2)散点图越接近某一条直线，线性相关程度越强，样本相关系数越大．( ) (3)散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性．(　　) (4)若变量x，y满足函数关系，则这两个变量线性相关．(　　) × √ × √ 练习2 已知求得甲、乙、丙3组不同的数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中________(填甲、乙或丙)组数据的线性相关程度最强． 乙 例1 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 解: 由样本数据可得 由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 例1 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 解: 由样本数据可得 由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 变式1 在一次试验中，测得(x, y)的4组值分别为(1, 2), (2, 0), (4, －4), (－1,6), 则y与x的样本相关系数为_______. 解： 由样本数据可得 【练】以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据. 房屋大小x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据的散点图； 【例2】(1)对四组成对样本数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是 A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3 C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3 √ 【练】甲、乙、丙、丁四位同学各自对a，b两变量的线性相关性做试验，并分别求得样本相关系数r如下表：则____同学的试验结果体现a，b两变量有更强的线性相关性.   甲 乙 丙 丁 r －0.82 －0.78 －0.69 －0.85 丁 线性相关强弱的判断方法 (1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，线性相关性越强. (2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强. 小结： 1. 样本相关系数： 2.相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. ② |r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. (2)求样本相关系数r，并作出评价.(精确到0.01，已知＝60 975，＝2 756.8，iyi＝12 952) $$