专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 1．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 2．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ． 3．已知抛物线，完成下列各题： (1)求抛物线与轴的两个交点（在的左侧）的坐标； (2)若该抛物线顶点为，求的面积 (3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于15？若存在，请直接写出的坐标．若不存在，请说明理由． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 1．抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶ ．．． 0 1 2 ．．． 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中，错误的是（   ） A．抛物线与 轴的一个交点坐标为 B．抛物线与 轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小 2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是抛物线上一动点，过点M作直线轴于点N，连接． (1)求A，B，C三点的坐标． (2)当点M在第四象限运动时，作点O关于直线的对称点，连接．当时，求点M的坐标． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 1．已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． （1）当抛物线经过时， ． （2）当时，时，，则m的取值范围是 ． 3．如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 1．根据如表的对应值，可判断关于的一元二次方程必有一个根满足（    ） … … … … A． B． C． D． 2．若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 ． 3．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法 复习日记卡片 内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日 举例：求一元二次方程的两个解 方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程：． 解： 方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图所示，把方程的解看成是二次 函数______的图象与x轴交点的 横坐标，即，就是方程的解． 方法三：利用两个函数图象的交点求解 （1）把方程的解看成是一个二次函数_____的图象与一个一次函数_____图象交点的横坐标； （2）画出这两个函数的图象，用，在x轴上标出方程的解． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 1．抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 3．抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标． (2)当x取什么值时，抛物线在x轴下方？ (3)当x取什么值时，y的值随x的增大而增大． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的方程有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ． 3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点和． (1)①求a，b之间的等量关系式． ②若时，总有，求a的取值范围． (2)函数的图象经过两个不同的点，． ①若，求a的值： ②若，，请说明点M和点N都在函数的图象上，并求出a的值． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 1．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（    ） A．1 B． C． D． 2．已知y是关于x的二次函数：，则下列描述正确的是 ． ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图象总过定点，； ④若在函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． 3、．已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 1．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是 ． 3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 1．已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 3．已知二次函数的图象如图所示，有下列 5 个结论： ①;②;③;④;⑤方程两根的和为2．其中正确的有 ． 4．已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知二次函数（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立，又时，，则b的值为（    ） A．1 B． C．2 D．0 8．如图，二次函数（）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为．则下面的五个结论：①；②；③当时，或；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 9．方程的两个不同的根满足，则的取值范围是 ． 10．抛物线图象如图所示，求解一元二次方程． （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； 11．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线，下面结论：①；②；③；④方程必有一个根大于且小于0．其中正确的是 ．（填序号） 12．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③当时，；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程为常数，的根为整数，则t的值只有3个．其中正确的是 ． 13．已知抛物线的顶点为点A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M为坐标轴上一点，且，则点M的坐标是 ． 14．定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ． 15．在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 16．如图，抛物线经过坐标原点O和点A，点A在x轴上． (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； (2)连接，，求； (3)若点C在抛物线上，且，求点C的坐标． 17．已知二次函数的图象和x轴有两个交点． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标． (3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，抛物线（）顶点为Q． (1)求抛物线顶点Q的坐标． (2)在平面内有三点，点C是由点B向下平移4个单位得到的； ①直接写出点C的坐标； ②若抛物线（）与三角形有2个交点，结合图象，直接写出m的取值范围． 19．已知二次函数． (1)若，试求该二次函数图像与轴的交点坐标． (2)若该二次函数图像的顶点坐标为 ，求证：． (3)若，且当自变量满足时，，求的值． 20．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． (3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，先根据二次函数，该二次函数的对称轴为，求出，根据函数图象与轴其中一个交点为，求出，令新的二次函数解析式为：，求出当时，，当时，，根据一元二次方程在范围内只有一个解，得出当时和当时，y的值异号，求出，然后验证当时， 当时，是否符合题意，最后验证当一元二次方程，即只有一个解时，k的值是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，该二次函数的对称轴为， ∴， 解得：， ∵函数图象与轴其中一个交点为， ∴， 解得：， 令新的二次函数解析式为：， 把，代入得：， 当时，， 当时，， ∵一元二次方程在范围内只有一个解， ∴当时和当时，y的值异号， ∴， 解得：， 当，方程的解为或，不符合题意； 当，方程的解为或，在范围内只有一个解，符合题意； 当一元二次方程，即只有一个解时， ， 解得：， 且当时，方程的解为，在范围内； 综上分析可知：一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是或． 故选：C． 1．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 2．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键． 根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据、关于对称轴对称，可得点坐标． 【详解】解：令，得到， ， ，得函数图象的对称轴是直线， 设点坐标为，由、关于对称轴， 得， 解得， 即点坐标为， 故答案为：． 3．已知抛物线，完成下列各题： (1)求抛物线与轴的两个交点（在的左侧）的坐标； (2)若该抛物线顶点为，求的面积 (3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于15？若存在，请直接写出的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图形和性质，是解题的关键： （1）令，求出交点的坐标即可； （2）求出顶点坐标，利用三角形的面积公式，进行计算即可； （3）根据三角形的面积公式，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：； （3）解：∵的面积， ∴， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴或． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，对称性，与y轴的交点问题，增减性问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 由图象得抛物线与y轴交于可判断A选项；由对称轴及可求抛物线必过点；由对称轴及开口方向可判断C选项；由对称轴及抛物线过点，可求与x轴另一交点为，再由开口方向即可判断D选项． 【详解】解：由图象得抛物线与y轴交于代入得，故本选项不符合题意； B、∵对称轴为直线，设关于对称轴的对称点为，则，解得，∴对称点为，故本选项不符合题意； C、∵对称轴为直线，且开口向上，∴当时，y随x增大而减小，，故本选项不符合题意； D、由抛物线过点，对称轴为直线，则与x轴另一交点为，且开口向上，∴当时，，故本选项符合题意． 故选：D． 1．抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶ ．．． 0 1 2 ．．． 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中，错误的是（   ） A．抛物线与 轴的一个交点坐标为 B．抛物线与 轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到A、B正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故C正确；根据 ，得到抛物线开口向下，然后利用二次函数的增减性即可判断D错误；即可求解． 【详解】解：根据表格中信息，得： 当 时， ，当时 ， ， ∴点，在抛物线上，故A、B正确，故本选项不符合题意； 根据表格中信息，得： 当 时， ， 当 时，， ∴抛物线的对称轴为 ，故C正确，故本选项不符合题意； ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故D错误，故本选项符合题意； 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴交点，待定系数法求函数解析式，注意分类讨论思想的应用． 先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线的解析式为，把点C坐标分别代入求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴点纵坐标为， 当时，， 解得：，， ∴， ∴， ∵， 当点C在线段上时， ∴，， ∴， 当点C在线段延长线上时， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 综上，的值为或． 故答案为：或． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是抛物线上一动点，过点M作直线轴于点N，连接． (1)求A，B，C三点的坐标． (2)当点M在第四象限运动时，作点O关于直线的对称点，连接．当时，求点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点问题，面积问题等知识点，熟练掌握二次函数的性质，正确得出各点的坐标是解本题的关键． （1）分别令和，即可求出求A，B，C三点的坐标； （2）设，则，表示出，，然后利用代入解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ∴当时， ∴ 当时，， 解得， ∵点A在点B的左侧 ∴，； （2）设，则 ∵点O关于直线的对称点 ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 解得或 ∴或． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，得；当时，得：， ∴，， ∴， ∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为， 当时，， 解得：或， ∴点， ∵为锐角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 1．已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得：当时，即， 解得：， ∵， ∴图象开口向上， ∵， ∴或 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． （1）当抛物线经过时， ． （2）当时，时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 或1 / 【分析】（1）将点代入即可得； （2）将代入可得二次函数的解析式为，再求出时，或；时，，然后结合二次函数的图象即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 解得或， 故答案为：或1； （2）当时，， 当时，，解得或， 由二次函数的性质可知，当时，， 如图，当时，， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 3．如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再化成顶点式即可求解； （）把代入得，，解方程得到，，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点式，二次函数的性质，利用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线为， ∴此抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入得，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 1．根据如表的对应值，可判断关于的一元二次方程必有一个根满足（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图像与一元二次方程的解之间的关系．观察表格可知，随的值逐渐增大，的值先增大、后减小，当和时，方程的值相同，在之间由负到正，故在之间由正到负，即可判断时，对应的的值在或之间．解题的关键是观察表格，确定函数值由负到正或由正到付时，对应的自变量取值范围． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在或之间． 故选：D． 2．若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用． 作函数的图象，从而利用数形结合解得． 【详解】的根的个数即函数与的图象的交点个数， 由题意作函数的图象如图： 结合图象可知， 当过点或与相切时，两函数图象有三个交点， 将代入得 联立和得：， 则， 解得： 或 故答案为：或． 3．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法 复习日记卡片 内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日 举例：求一元二次方程的两个解 方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程：． 解： 方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图所示，把方程的解看成是二次 函数______的图象与x轴交点的 横坐标，即，就是方程的解． 方法三：利用两个函数图象的交点求解 （1）把方程的解看成是一个二次函数_____的图象与一个一次函数_____图象交点的横坐标； （2）画出这两个函数的图象，用，在x轴上标出方程的解． 【答案】方法一：见解析；方法二：；方法三：（1），；（2）见解析． 【分析】方法一：利用因式分解法求解． 方法二：将转化为图象，即函数与的交点横坐标为方程的解， 方法三：（1）将方程整理为，进而求解． （2）分别画出的图象与图象． 【详解】解：方法一：因式分解法， 因式分解，得：， 解得：，． 方法二：等式左边可看作函数，等式右边可看作， ∴方程的解可看作抛物线与x轴的交点横坐标， 故答案为：． 方法三：（1）将方程整理为， ∴方程的解看成是一个二次函数的图象与一个一次函数图象交点的横坐标； 故答案为：，． （2）当时，，， 当时，，， 如图所示，即为所求：    【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，及方程的解与函数图象的交点的关系． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，由题意得出，且，结合为正整数，得出，从而得出二次函数为，再结合二次函数的性质分两种情况讨论：当时；当时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：，且， ∵为正整数， ∴， ∴二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，， ∵当时，对应函数值的取值范围是， ∴， ∴当时，函数在上随着的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，当时，取到最小值，为，即， 解得：（符合题意）； 故选：B． 1．抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数，总有； ④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系判断①，由抛物线对称轴及二次函数性质判定②，根据抛物线平移特征判断③，根据平移特征和抛物线性质判定④． 【详解】解：①抛物线，，为常数，经过，两点， 一元二次方程的根为：，，则结论①正确； ②抛物线的对称轴为直线， 当时的函数值与的函数值相等， ， 当，随的增大而减小， ， ，②结论错误； ③当时，，则抛物线顶点的纵坐标为：，且， 将抛物线向下平移个单位得到新的抛物线解析式为： ，由二次函数图象特征可知，的图象位于轴下方，顶点恰好在轴上，即恒成立， 对于任意实数总有，即，③正确； ④将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线解析式为，函数对应的一元二次方程， 若方程的根为整数，则其根只能是，或，或，对应的值只有三个，则结论④错误． 综上，结论正确的有①③． 故选：． 2．若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，确定的符号是解题的关键．根据题意得到，求出的值，即可得到结论． 【详解】解：一次函数的图像经过第二、三、四象限， ， ， ， 故与x轴的交点有个． 故答案为：． 3．抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线与x轴的交点坐标． (2)当x取什么值时，抛物线在x轴下方？ (3)当x取什么值时，y的值随x的增大而增大． 【答案】(1)，x轴的交点坐标为， (2)当或时，抛物线在x轴下方 (3)当时，y随着x的增大而增大 【分析】考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键． （1）把已知点的坐标代入中可求出m，从而得到抛物线解析式为，通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标； （2）利用抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围； （3）先求出抛物线的对称轴，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：将 代入，可得， ， 令，即，解得， x轴的交点坐标为，； （2）根据的图像，如下图： 如图可知， 当或时，抛物线在x轴下方； （3）， 抛物线开口朝下， 抛物线对称轴为， 根据二次函数的性质可知， 当时，y随着x的增大而增大． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与轴的交点坐标等知识，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．由函数图像可确定，，，即可判断结论①；由，易得，即可判断结论②；由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，结合对称轴为直线，可得函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，故方程（）必有一个根大于且小于0，即可判断结论④；由函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，可知当时，，即可判断结论③． 【详解】解：由函数图像可知，该函数图像开口向下， ∴， ∵该函数图像的对称轴为直线， ∴可有， ∴， ∵该函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴当时，可有， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； 由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴为直线， ∴函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴方程（）必有一个根大于且小于0，故结论④正确； ∵函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，， ∵， ∴，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个． 故选：C． 1．将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据函数值确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．分别求出新图象与直线的交点有3个时a的值，再结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 在中，令得， 解得：或， ∴， 由图可知，当直线经过B时，新图象与直线的交点有3个， 此时， ∴， 当直线为直线时，新图象与直线的交点有3个， 此时有两个相等实数根， 即的判别式， ∴， ∴， 由图可知，若新图象与直线的交点少于4个，则或， 故选：D． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：①；②；③；④；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的方程有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论 ． 【答案】④⑥/⑥④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线与轴的正半轴相交， ∴， 由函数图象可知，抛物线的对称轴在轴的的右侧， ∴ ∵ ∴ 所以． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， 又因为， 所以． 故③错误． 由函数图象可知，当时，函数取得最大值， 所以当时的函数值小于时的函数值， 即， 所以，故④正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 而，且， 所以．故⑤错误． 方程的解可看成函数和直线交点的横坐标， 因为两个函数的图象有四个不同的交点， 所以方程有四个根； 又因为点A和点D，点B和点C关于直线对称， 所以，， 即，． 所以， 即方程的四个根之和为4． 故⑥正确． 故答案为：④⑥． 3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点和． (1)①求a，b之间的等量关系式． ②若时，总有，求a的取值范围． (2)函数的图象经过两个不同的点，． ①若，求a的值： ②若，，请说明点M和点N都在函数的图象上，并求出a的值． 【答案】(1)①；②或 (2)①；②见解析，． 【分析】题目主要考查待定系数法确定函数解析式及二次函数的性质，根据题意，作出相应草图，分情况分析是解题关键． （1）①把点和代入函数解析式即可；②分两种情况分析：；；分别根据二次函数的性质作出草图求解即可； （2）①根据题意得出当时，对称轴：，再由（1）②得出对称轴，然后求解即可；②根据题意分别将点点M和点N代入一次函数，即可确定点在函数图象上，然后联立一次函数与二次函数求解即可． 【详解】（1）解：①∵经过和两点， ∴， ∴， ∴c的值为，a，b满足的关系式为． ②由①可知： ∴对称轴，． 若，则 ， ∵A，B之间，y随x增大而增大， 在对称轴右边，y随x增大而增大， ∴， ∴． 若，则 ，A，B之间，y随x增大而增大， 在对称轴左边，y随x增大而增大， ∴， 解得：． ∴综上：a的取值范围：或． （2）①由题可知：当时， ∴对称轴：， 由（1）②可知： ， 对称轴， ∴， ∴． ②∵，， ∴，． ∵M在直线上， ∴， 再将代入， ∴成立， ∴N也在直线上． 联立与有两个不同的实数根， ∴， ∵， ∴． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 1．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2， 当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0， 设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2， 则x1+x2＝6，x1x2＝， ∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4， ∴|x1﹣x2|＝4， ∴（x1﹣x2）2＝16， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16， ∴36﹣4×＝16， 解得，a＝， 故选：D． 【点睛】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式. 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 2．已知y是关于x的二次函数：，则下列描述正确的是 ． ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图象总过定点，； ④若在函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，函数图像上点的坐标特征，抛物线在x轴上截得的线段长等知识；把代入函数解析式中，化成顶点式，即可对①作出判断；求出抛物线与x轴的交点坐标，求得的值，即可判断②；把函数式整理为，当时，y的值与m无关，求出x、y的值，即可判断③；当时，抛物线的对称轴为直线，由抛物线的开口方向及增减性质可判断④． 【详解】解：把代入函数解析式中，得， 即抛物线的顶点坐标为；故①正确； 令，即， 解得：， 即抛物线与x轴交点坐标为， ∵， ∴， ∴函数图象在x轴上截得的线段的长度；故②正确； 把函数式整理为， 当时，y的值与m无关， 解得：， 当时，；当时，； ∴当时，函数图象总过定点，；故③正确； 当时，抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时，y随自变量的增大而增大，即， ∴，故④错误． 综上，正确的为①②③； 故答案为：①②③． 3、．已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 【答案】(1)，在x轴上截得的线段长是 (2)有交点，见解析 【分析】（1）将点代入解析式求出m的值并得到抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴交点即可得到抛物线在x轴上截得的线段长； （2）求出判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴ ∴抛物线为， 当时，， 解得或， ∴抛物线在x轴上截得的线段长为； （2）， ∵， ∴ ∴该二次函数图像与x轴有交点． 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，判断二次函数与x轴交点个数，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可判断①；根据对称轴和开口即可判断②；由函数与轴的交点是，即可判断③；求出函数的解析式得出其顶点坐标即可判断④； 【详解】解：由图象可得：二次函数的对称轴为：， ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵函数与轴的交点是， ∴函数与轴的交点是， ∴，故③错误； ∴，故②正确； 设函数，将点代入可得： ，解得： ∴ ∴函数的顶点坐标为，翻折后为 ∴将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D 1．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定m的取值． 【详解】解：如图： 令，则 解得或， ∴， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于时，此时过点， ∴，即． ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴， 即有两个相等实根， ∴， 即． 若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是, 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想求解是解答的关键．先求得原二次函数与x轴的交点坐标，求得直线过临界点A、B时的b值，再求得翻折后的二次函数的图像与直线相切时的b值，利用图像即可得出b的取值范围． 【详解】解：如图，令，由得，， ∴，， 将点A代入得， 将点B代入得， 将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后的表达式为， 由得， 由得， 根据图像，当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是或， 故答案为：或． 3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【答案】(1)①直线解析式为；抛物线解析式为；②或 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图像法解不等式，以及图象法判断方程的根，数形结合是解答本题的关键． （1）①先用待定系数法求出抛物线解析式，再求直线的解析式； ②根据图象写出答案即可； （2）求出直线过点A时n的值和与抛物线相切时n的值即可求解． 【详解】（1）解：①把，分别代入可得， ，解得， 则抛物线的解析式为． 把，分别代入可得， ，解得， 则直线的解析式为． ②不等式的解集为或； （2）解：设抛物线与轴交于P，Q两点，令， 解得：，， 故P，Q两点的坐标分别为，． 如图，当直线，经过点时，可得； 当直线经过点时，可得， 的取值范围为， 翻折后的二次函数解析式为． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 的取值范围为：， 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，结合，判定两点是对称点，故对应函数值相等，判定①正确；根据二次函数得到抛物线的对称轴，当时，；当时，；当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；可以判断②正确；根据抛物线与x轴交于不同两点，，得出，从而判定不成立，判定③不正确，解答即可． 本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴两点是对称点，故对应函数值相等， ∴①正确； ∵二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，； 当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； 当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； ∴②正确； ∵抛物线与x轴交于不同两点，， ∴不成立， ∴③不正确， 故选A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断①，由一元二次方程根与系数的关系判断②③，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断④． 【详解】解：的对称轴为， ， ， 抛物线经过， ，即，， 若，则， ，①正确． ， ， ， 与异号， ， 抛物线与轴有2个不同交点，②正确． ， ， 方程中， ， 时，，方程有两个相同实数解，③错误． 抛物线对称轴为直线， 把代入得， 抛物线顶点坐标为， 把代入得， 点坐标为， 设解析式为，把，代入得， 解得， ， 把代入得， 直线经过，④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 1．已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据当时，，，得出当时，再根据图象经过点．得出，，再根据对任意实数，恒有，即恒成立，整理得 ，然后由判别式，求出的值，从而得出结论，解题的关键熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵， ∴当时，， 即， ∴时，， ∵图象经过点， ∴当时，， 即，， 解得：，， ∵对任意实数，恒有， ∴恒成立，即， ∴，即， 解得：， 此时， ∴抛物线的表达式为， 故选：． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即，故A错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误； 将代入，得 ∴ 当时，；当时，， ∵图象开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值， ∴当时，，故C错误； 令，整理得， ∴， ∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确； 故选：D． 3．已知二次函数的图象如图所示，有下列 5 个结论： ①;②;③;④;⑤方程两根的和为2．其中正确的有 ． 【答案】③④⑤ 【分析】此题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键，依次根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①由图象可知：， ∵， ∴， ∴， 故①错误； ②∵图形与x轴有两个交点， ∴， ∴， 故②错误； ③由函数图象可得，当时，， 故③正确； ④当时，y最大，且， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故④正确； ⑤∵， ∴， ∵设方程的两根为， 则， 故⑤正确， 故答案为：③④⑤． 4．已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：由题意，∵有两实根， ． ∴得，． ∴，故①正确． ， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴抛物线的顶点为． 又， ∴，即． ∴． ∴． ∴顶点坐标为，故②正确． ∵， ∴． 又， ， ∴，故③错误． ， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 5．已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程的关系，由于抛物线所经过的M，N两点的纵坐标为，说明抛物线与直线有两个交点，则是方程的两个不相等的根，由根与系数的关系求得便为的长度，再根据的长不小于2，列出a的不等式求得a的取值范围，再结合方程根的判别式与解得情况的关系式求得a的取值范围，便可得出最后结果． 【详解】令，得 化简得 ∵二次函数（是常数，且）的图象过点， ∴， ∴； ∵ ∴，， ∴ 即； ∵的长不小于2 ∴ ， ∴． 故选：B． 6．如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：C． 7．已知二次函数（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立，又时，，则b的值为（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与不等式恒成立问题，由题干给出的条件可知两个条件都满足可以发现二次函数经过一个定点．就可以求出答案； 【详解】解：∵对任意实数x，都有， ∴当时，， 又当时，有， ∴当时，， ∴当时， ， 故二次函数经过点， ∴①， 又时，， ∴②， 有①②得：， 解得：， 故选：B． 8．如图，二次函数（）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为．则下面的五个结论：①；②；③当时，或；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数与不等式，以及根与系数的关系，掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，即可判断①，特殊值判断②，图象法解不等式，判断③，根与系数的关系，判断④，二次函数最值判断⑤． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， 二次函数交与轴正半轴， ， ， 故①错误； 二次函数的图象与x轴交于A、B两点，且对称轴为直线，点B坐标为． 点A坐标为， 当时，， 故②错误； 由图知，当时， 或， 故③正确； ，， ， ， 故④正确； 二次函数在时取得最大值， 即最大， （为实数且）． （为实数且）． 故⑤正确； 综上所述，正确的有③④⑤共3个， 故选：C． 9．方程的两个不同的根满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与二次函数图象的关系，利用二次函数的图象列不等式组即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，顶点坐标为 ∴抛物线对称轴为直线， ∵两个不同的根满足， ∴，即： 解得：， 故答案为：． 10．抛物线图象如图所示，求解一元二次方程． （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； 【答案】 ， 【分析】本题主要考查利用图像法求出一元二次方程的根，熟练掌握抛物线图像的性质是解题的关键． （1）根据抛物线与直线的两个交点为即可得到答案； （2）根据抛物线与直线的一个交点为即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与轴交于点， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴交于点， ∴抛物线与直线的两个交点为， 方程的根为，， 故答案为：，； （2）解：由图象可得：抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线与直线的一个交点为， 方程的根为， 故答案为：． 11．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线，下面结论：①；②；③；④方程必有一个根大于且小于0．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系．根据函数图象开口向上，可以得到，再根据左同右异，可知，然后根据图象与轴的交点可以得到，从而可以得到的正负，进而可以判断①；根据对称轴是直线，可以判断②；根据图象与轴的交点以及和的关系可以判断③；根据图象与轴的交点，可以得到方程的根的情况，从而可以判断④． 【详解】解：由图象可得， ，，， ，故①正确； 该函数的对称轴为直线， 则， 即，故②正确； 函数图象与轴的一个交点在点和之间，则与轴的另一个交点在和之间， 当时，， ， 即，故③错误； 函数图象与轴的一个交点在点和之间，则与轴的另一个交点在和之间， 方程必有一个根大于且小于0，故④正确； 故答案为：①②④． 12．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③当时，；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程为常数，的根为整数，则t的值只有3个．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的对称轴为即可判断①；根据开口方向、对称轴的位置、与y轴交点位置即可判断②；③由对称性得抛物线与x轴的另一个交点即可判断③；由一元二次方程（t为常数，）的根为整数，可得根只能为、、、0、1，即可判断④． 【详解】解：①由图象可知：对称轴， ∴，故①正确； ②抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， 、b同号， ∴， ∴抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故②错误； ③图象过点，对称轴为直线， ∴图象过， ∵图象开口向下， ∴当时，，故③正确； ④∵，方程的根为整数， ∴根只能为、、、0、1， 第一种情况：根为和1， 第二种情况：根为和0， 第三种情况：两根相等且为， ∴t的值只有3个，故④正确； 故答案为：①③④． 13．已知抛物线的顶点为点A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M为坐标轴上一点，且，则点M的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象上点的特征，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质，通过添加辅助线求解．先将抛物线顶点的坐标求出来，作轴于点，取中点，作直线交轴于点，直线与与坐标轴交点坐标即为所求． 【详解】解：把代入得， 解得或， 点坐标为， ， 点坐标为， 连接，作轴于点，取中点，作直线交轴于点， 则点坐标为，点坐标为即，， ，点满足题意， 直线为线段的垂直平分线， 设直线解析式为，把，，代入解析式得： ， 解得， ， 点坐标为， 点的坐标为或， 故答案为：或． 14．定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征以及新定义问题，根据“优点”定义得出，进而计算即可得出的值，求出直线解析式，根据二次函数的性质并结合题意，计算即可得答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由“优点”定义可知，， 解得或6． 由题意可知，． ∴． ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴直线上的点都是“优点”． 对于直线，当时，；当时，． 设，． 由题意可知，抛物线上至少存在一个“优点”，即转化为抛物线与直线至少有一个交点． 如图1，当抛物线与有且只有一个交点时，联立， 整理，得． ∴． 解得， 此时取得最小值． 如图2，当抛物线过点A时，． 解得， 此时取得最大值． ∴的取值范围为． 故答案为6，． ． 15．在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)见解析 (3) 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：二次函数图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标为； （2）证明： ∴二次函数图象与轴总有两个公共点； （3）解：对称轴直线， ∴即． ∵， ∴， ∵抛物线过， ∴，即， ∵， ∴， 解得，即 ∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ∵， ∴， 当，解得（不合题意舍去）； 当，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 16．如图，抛物线经过坐标原点O和点A，点A在x轴上． (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； (2)连接，，求； (3)若点C在抛物线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1)，顶点B的坐标为 (2)1 (3)C点坐标为或 【分析】（1）把原点坐标代入中求出c的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到B点坐标； （2）先解方程得到，然后根据三角形面积公式求解； （3）设C点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出t，从而得到C点坐标． 【详解】（1）解：把代入得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点B的坐标为； （2）解：当时，， 解得：，， ∴， ∴； （3）解：设C点坐标为， ∵， ∴， 即或， 解方程得： ，， ∴C点坐标为或， 方程无实数解， 综上所述，C点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 17．已知二次函数的图象和x轴有两个交点． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标． (3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质： （1）根据题意，得到，进行求解即可； （2）求出的值，将一般式转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据增减性，求出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点， ∴， 解得：； （2）∵， ∴的最大整数解为：2， ∴， ∴顶点坐标为：； （3）∵， ∴对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，值最小为：， 当时，值最大为：， ∴． 18．在平面直角坐标系中，抛物线（）顶点为Q． (1)求抛物线顶点Q的坐标． (2)在平面内有三点，点C是由点B向下平移4个单位得到的； ①直接写出点C的坐标； ②若抛物线（）与三角形有2个交点，结合图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，平移的性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． （12）由题意知，，进而可得顶点Q的坐标； （2）①由平移的性质求解即可；②由题意知，分抛物线与三角形的边相交；抛物线与三角形的边相交，两种情况作图求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴顶点Q的坐标为； （2）①解：由平移的性质可知，； ②解：由题意知，分抛物线与三角形的边相交；抛物线与三角形的边相交，两种情况求解； 当抛物线与三角形的边相交时，如图1，                   图1 由题意知，当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴； 当抛物线与三角形的边相交时，如图2，                  图2 当时，，解得，； 当时，，解得，； ∴； 综上所述，． 19．已知二次函数． (1)若，试求该二次函数图像与轴的交点坐标． (2)若该二次函数图像的顶点坐标为 ，求证：． (3)若，且当自变量满足时，，求的值． 【答案】(1) , (2)详见解析 (3) 【分析】（1）先把，代入中，求出二次函数的表达式，再求出时x的值，即可得该二次函数图像与轴的交点坐标； （2）根据二次函数的顶点坐标公式求出s和t，即可得证； （3）由 时，，且 时，，可知对称轴在之间，由此可得当时，当 时，进而可求出m的值． 本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数图像上点坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解此题的关键． 【详解】（1）解：若，则该二次函数的表达式为， 由，得， 解得 或 ， ∴该二次函数图像与轴的交点坐标为 ， ． （2）证明：由， 得，， ． （3）解： 时，， 时，， ∴当时，， ， 得． 当 时，， ∴ 解得 或 3， ， ． 20．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． (3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，再根据图象求解即可； （3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴． 当时，， 解得， ∴点． 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 观察图象，得不等式的解集为或； （3）解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点； 当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点， ∴n的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$