第05讲 一次函数的应用（8个知识点+8种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第05讲 一次函数的应用（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点2．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点3．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点4．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点5．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 知识点6．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点7．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点8．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 题型强化 题型一．待定系数法求一次函数解析式 1．（2022秋•蒙城县期末）有一个一次函数的图象，小丽、小明两位同学分别说出了它的一些特点： 小丽；随的增大而减小； 小明：当时，． 请你写出满足小丽、小明两位同学要求的一个一次函数表达式 　　． 2．（2022秋•固镇县校级月考）如图，直线的函数关系式为　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•蜀山区校级月考）如图，直线与轴、轴分别交于点，，且，． （1）求直线的函数表达式； （2）若是第一象限内的直线上一点，当的面积为6时，求点的坐标． 题型二．待定系数法求正比例函数解析式 4．（利辛县校级月考）若点在正比例函数的图象上， 则此函数的解析式为　　． 5．（2020秋•烈山区期中）一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•淮北期末）已知中，其中与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 题型三．一次函数与一元一次方程 7．（2023秋•蜀山区期中）如图，直线与轴交点的横坐标为1，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 8．（2021秋•全椒县期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程的解是 　　． 9．（2022秋•蜀山区校级月考）画出一次函数的图象，并利用图象求： （1）一元一次方程的解； （2）当时，的取值范围． 题型四．一次函数与一元一次不等式 10．（2024春•洛阳期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•淮北月考）已知一次函数和． （1）若当时，，则的值为 　； （2）若当时，，则的取值范围为 　　． 12．（2023秋•全椒县期末）如图，直线分别交轴，轴于点，．直线分别交轴，轴于点，，与直线相交于点，已知． （1）求直线的表达式； （2）求时，的取值范围． 题型五．两条直线相交或平行问题 13．（2023秋•青阳县期末）已知直线与直线相交于轴上一点，则　　． 14．（2023秋•明光市期中）若直线与直线相交于点，则点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2020秋•瑶海区校级月考）已知，直线与直线． （1）求两直线与轴交点，的坐标； （2）求两直线交点的坐标； （3）求的面积． 题型六．根据实际问题列一次函数关系式 16．（马鞍山期末）中国电信公司电话收费标准：前3分钟（不足3分钟按3分钟计算）为0.2元，3分钟后每分钟收0.1元，则通话时间分钟与通话费用之间的函数关系是　　 A． B． C． D． 17．（淮南期末）小明将元存入银行，年利率为，利息税为，那么年后的本息和元与年数的函数关系式是　　（不计算复利）． 题型七．一次函数的应用 18．（2022秋•泗县期中）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系．若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为．则当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为 　　． 19．（2023秋•霍邱县期末）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为　　 A． B． C． D． 20．（2024春•江阳区校级期中）某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， （1）求出与之间的函数关系式； （2）要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？ （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润． 题型八．一次函数综合题 21．（2023秋•瑶海区校级期末）已知，如图点，，点为轴上一点，当最大时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•埇桥区期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，点为直线上一个动点． （1）点坐标为　　，点坐标为　　； （2）求直线的解析式； （3）当时，求点坐标． 23．（2022秋•庐阳区校级月考）如图长方形的边长，．刚开始时与轴重合．将长方形沿轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边与直线交于点，与直线交于点，边与直线交于点，与直线交于点，设运动时间为（秒． （1）当时，用含的表达式表示的长 　　； （2）当为定值时，时间的取值范围为 　　． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·安徽安庆·期末）点，都在直线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）若一次函数，随的增大而减小，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 4．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交点的横坐标为1，则关于的方程的解为（    ）    A． B． C． D． 6．（20-21八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数y=ax-1与y=mx+4的图象交于点A(3，1)，则关于x的方ax-1=mx+4的解是（） A．x=-1 B．x=1 C．x=3 D．x=4． 7．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（    ） A．0.5 B．2 C．3 D．5 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，下列结论正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 二、填空题 11．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知一次函数，若，则函数值的取值范围是 ． 12．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 ．（用“”连接） 13．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集为 ． 14．（21-22八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 三、解答题 15．（21-22八年级上·安徽·期中）直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式． 16．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）已知是的一次函数，且当时，；当时，． （1）求这个一次函数的表达式； （2）若点、是该函数图象上的两点，试比较、的大小； 17．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数解析式． (2)当时，求的值． 18．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）画出函数的图象，并结合图象回答： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)当时，求的取值范围． 19．（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一次函数． (1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ (3)若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 20．（20-21八年级上·安徽合肥·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 21．（22-23八年级上·安徽宣城·期中）已知是的一次函数，当时，，当时，，求： (1)这个一次函数的解析式； (2)当时，求x的值； (3)若x的取值范围是，求的y取值范围． 22．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．    (1) ______， ______； (2)求的面积； (3)根据图象，不等式的解集为 _______． 23．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B、C两点．    (1)求m，n的值，并画出这两个一次函数的图象； (2)计算的面积； (3)结合图象，直接写出函数，的值都大于0时自变量x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一次函数的应用（8个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点2．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点3．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点4．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 知识点5．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 知识点6．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点7．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点8．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 题型强化 题型一．待定系数法求一次函数解析式 1．（2022秋•蒙城县期末）有一个一次函数的图象，小丽、小明两位同学分别说出了它的一些特点： 小丽；随的增大而减小； 小明：当时，． 请你写出满足小丽、小明两位同学要求的一个一次函数表达式 　（答案不唯一）　． 【分析】根据一次函数的性质写出符合题意的表达式即可． 【解答】解：满足小丽的条件，可令， 满足小明的条件，可令函数通过， 符合题意的一次函数表达式（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 2．（2022秋•固镇县校级月考）如图，直线的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】由直线过点和，利用待定系数法求解即可． 【解答】解：设直线的函数关系式为， 由图知，过点和， 则， ， 直线的函数关系式为， 故选：． 【点评】此题考查了利用待定系数法求函数解析式，正确掌握待定系数法的解题方法是解题的关键． 3．（2022秋•蜀山区校级月考）如图，直线与轴、轴分别交于点，，且，． （1）求直线的函数表达式； （2）若是第一象限内的直线上一点，当的面积为6时，求点的坐标． 【分析】（1）先写出、点的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设，则根据三角形面积公式得，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【解答】解：（1），， ，， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）设， 的面积为6， ， 解得， 点的坐标为． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 题型二．待定系数法求正比例函数解析式 4．（利辛县校级月考）若点在正比例函数的图象上， 则此函数的解析式为　　． 【分析】直接将点的坐标代入函数关系式中， 即可得到，继而可得出解析式 ． 【解答】解： 有，且点在正比例函图象上 故有：． 即． 解析式为：． 【点评】对已知点的坐标求一次函数的系数的简单考查， 很简单 ． 5．（2020秋•烈山区期中）一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】利用待定系数法求正比例函数解析式即可． 【解答】解：设正比例函数解析式为， 把代入得，解得， 所以正比例函数解析式为． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为，然后把一组对应值代入求出即可． 6．（2023秋•淮北期末）已知中，其中与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，． （1）求与的函数关系式； （2）若点在这个函数图象上，求的值． 【分析】（1）与成正比例，可设，与成正比例，可把看成一个整体，设，利用待定系数法即可求解； （2）把，代入解析式解答即可． 【解答】解：（1）设，，则， 根据题意得， 解得：． ； （2）把，代入解析式， 可得：， 解得：． 【点评】此题考查待定系数法求正比例函数解析式，本题的思想应掌握：要求与之间的关系，先找与、与的关系，再根据条件，求出与之间的关系． 题型三．一次函数与一元一次方程 7．（2023秋•蜀山区期中）如图，直线与轴交点的横坐标为1，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【分析】由直线与轴交点的横坐标为1，可得，故，即可得答案． 【解答】解：直线与轴交点的横坐标为1， ， ， ，即， ， ， 故选：． 【点评】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是求出． 8．（2021秋•全椒县期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程的解是 　　． 【分析】根据交点坐标直接写出方程的解即可． 【解答】解：函数与的图象交于点， 关于的方程的解为． 故答案为． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的方法确定方程的解． 9．（2022秋•蜀山区校级月考）画出一次函数的图象，并利用图象求： （1）一元一次方程的解； （2）当时，的取值范围． 【分析】利用一次函数的关系式画出函数图象，根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可． 【解答】解：列表： 0 3 6 0 画出函数图象（如图） （1）从图象可以看到，直线与轴的交点坐标为， 一元一次方程的解为． （2）由图象可知，当时，的取值范围是． 【点评】本题考查学生对一次函数性质的理解．根据题设所给的一次函数作出函数图象，然后根据一次函数的图象的性质求解． 题型四．一次函数与一元一次不等式 10．（2024春•洛阳期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【分析】写出直线在直线上方部分的的取值范围即可； 【解答】解：由图可知，不等式的解集为； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 11．（2023秋•淮北月考）已知一次函数和． （1）若当时，，则的值为 　　； （2）若当时，，则的取值范围为 　　． 【分析】（1）把代入两个函数式即可得答案； （2）根据，得出，再由，得出，即可得答案． 【解答】解：（1）当时，， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， 故答案为：且． 【点评】本题主要考查了方程，不等式以及函数的关系，数形结合是初中数学需要掌握的基本思想． 12．（2023秋•全椒县期末）如图，直线分别交轴，轴于点，．直线分别交轴，轴于点，，与直线相交于点，已知． （1）求直线的表达式； （2）求时，的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求直线的表达式； （2）先求出点坐标得到的值，则，然后解不等式即可． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， 直线的表达式为； （2）， ， ， ， ， 把代入得， 解得， ， 解不等式得， 即时，的取值范围为． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：通过比较函数值大小得到一元一次不等式，然后解一元一次不等式得到的取值范围．也考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数的性质． 题型五．两条直线相交或平行问题 13．（2023秋•青阳县期末）已知直线与直线相交于轴上一点，则　3　． 【分析】首先求出一次函数与轴交点，再把此点的坐标代入，即可得到的值． 【解答】解：直线与轴相交， ， ， 与轴的交点坐标为， 把代入中：， ． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了两条直线的交点问题，两条直线与轴的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达的． 14．（2023秋•明光市期中）若直线与直线相交于点，则点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】联立两个一次函数解析式，求得点的坐标，据此即可判断． 【解答】解：联立， 解得， 点的坐标为， 点位于第四象限． 故选：． 【点评】本题考查了求两直线的交点或平行问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 15．（2020秋•瑶海区校级月考）已知，直线与直线． （1）求两直线与轴交点，的坐标； （2）求两直线交点的坐标； （3）求的面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）构建方程组确定交点坐标即可； （3）过点作交轴于点，根据计算即可； 【解答】解：（1）在中，当时，，即； 在中，当时，，即； （2）依题意，得， 解得； 点的坐标为； （3）过点作交轴于点； ； ； ． 【点评】本题考查两条直线平行或相交问题、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 题型六．根据实际问题列一次函数关系式 16．（马鞍山期末）中国电信公司电话收费标准：前3分钟（不足3分钟按3分钟计算）为0.2元，3分钟后每分钟收0.1元，则通话时间分钟与通话费用之间的函数关系是　　 A． B． C． D． 【分析】话费三分钟以内的基本话费超过3分钟的时间，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：根据题意可知：超过3分钟的话费为， 则通话时间分钟与通话费用之间的函数关系是：． 故选：． 【点评】本题考查根据实际问题列一次函数关系式的知识，解决本题的关键是理解话费分为规定时间的费用超过规定时间的费用． 17．（淮南期末）小明将元存入银行，年利率为，利息税为，那么年后的本息和元与年数的函数关系式是　，且为整数）　（不计算复利）． 【分析】根据：本息和本金利息，列出函数关系式． 【解答】解：依题意得： 即：． 【点评】本题考查了利用“本息和”列函数关系式，注意利息税的正确使用． 题型七．一次函数的应用 18．（2022秋•泗县期中）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系．若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为．则当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为 　　． 【分析】根据题意，先设出秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间的函数解析式，然后根据题意可知当时，，当时，，代入函数解析式即可求得该函数的解析式，然后将代入求出相应的的值即可． 【解答】解：设秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间的函数解析式为， 由题意可得，当时，，当时，， ， 解得， ， 当时， ， 解得， 即当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为， 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 19．（2023秋•霍邱县期末）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，可得在弹性限度内，与的函数关系式． 【解答】解：根据题意，得， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键． 20．（2024春•江阳区校级期中）某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， （1）求出与之间的函数关系式； （2）要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？ （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润． 【分析】（1）设购进电冰箱台，根据“总利润冰箱利润空调利润”列出函数解析式即可解答； （2）由“购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元”列出关于的不等式组，求得的取值范围即可得； （3）由（2）中相等关系列出新的函数解析式，根据一次函数性质分情况讨论即可得． 【解答】解；（1）设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， 根据题意有：， 整理，得：． 与之间的函数关系式为； （2）购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍， ， 解得：． 总利润不低于16400元， ，即， 解得：， ． 为整数， 的取值可以为34，35，36， 购买方案共有3种． （3）根据题意有：， 整理，得：． 当时，， 此时随的增大而减小， 当时，最大，； 当时，， 此时随的增大而增大， 当时，最大，； 当时，． 最大利润为元． 【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出数量关系是解题的关键． 题型八．一次函数综合题 21．（2023秋•瑶海区校级期末）已知，如图点，，点为轴上一点，当最大时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】作关于轴对称点，连接并延长，的延长线与轴的交点即为所求的点；首先利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得点的坐标． 【解答】解：作关于轴对称点，连接并延长交轴于点， ， 的坐标为， 连接， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为：，， 当，，不共线时，根据三角形三边的关系可得：， 此时取得最大值． 故选：． 【点评】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到点，注意数形结合思想与方程思想的应用． 22．（2023秋•埇桥区期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，点为直线上一个动点． （1）点坐标为　　，点坐标为　　； （2）求直线的解析式； （3）当时，求点坐标． 【分析】（1）分别代入，，求出与之对应的，的值，进而可得出点，的坐标； （2）过点作轴于点，易证，利用全等三角形的性质可得出点的坐标，根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）利用三角形的面积公式结合，即可求出点的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点坐标． 【解答】解：（1）当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为． 故答案为：；． （2）过点作轴于点，如图所示． 为等腰直角三角形， ，． ，， ． 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的解析式为． （3），即， ， ． 当时，， 解得：， 点坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 当时，点的坐标为或． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标；（2）利用全等三角形的性质，求出点的坐标；（3）利用三角形的面积结合，求出点的纵坐标． 23．（2022秋•庐阳区校级月考）如图长方形的边长，．刚开始时与轴重合．将长方形沿轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边与直线交于点，与直线交于点，边与直线交于点，与直线交于点，设运动时间为（秒． （1）当时，用含的表达式表示的长 　　； （2）当为定值时，时间的取值范围为 　　． 【分析】（1）判断出在两直线交的左侧，求出点，的坐标，可得结论； （2）证明当线段，在两直线的交点的同侧时，为定值，求出直线，直线经过两直线交点时，点与重合时的值，可得结论． 【解答】解：（1）由，解得， 两直线的交点坐标为， 当时，线段在交点的左侧， ，， ， 故答案为：； （2）如图，过点作交于点． ，， 四边形是平行四边形， ， 定值， 观察图象可知，当线段，在两直线的交点的同侧时，为定值， 当直线经过点时，， ， 当直线经过点时，， 继续运动当点与重合时，， 观察图形可知，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据函数解析式得到y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵一次函数的图象经过点，，， ∴， 故选：B． 2．（22-23八年级上·安徽安庆·期末）点，都在直线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）若一次函数，随的增大而减小，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．利用函数的增减性可以判定其比例系数的符号，从而确定的取值范围． 【详解】解：一次函数，随的增大而减小， ， ， 观察选项，只有选项符合题意． 故选：D 4．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】解：， 随的增大而减小， 当时，， ， 故选：A． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交点的横坐标为1，则关于的方程的解为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入，推出，把把代入得到， 两边同时除以a，即可求解． 【详解】解：∵直线与轴交点的横坐标为1， ∴该直线经过， 把代入得：， 则， 把代入得： ， 两边同时除以a，得：， 故选：D． 6．（20-21八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数y=ax-1与y=mx+4的图象交于点A(3，1)，则关于x的方ax-1=mx+4的解是（） A．x=-1 B．x=1 C．x=3 D．x=4． 【答案】C 【分析】根据方程的解即为函数图象的交点坐标解答． 【详解】解：∵一次函数y=ax-1与y=mx+4的图象交于点P(3，1)， ∴ax-1=mx+4的解是x=3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程的解． 7．（20-21八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，关键掌握当k相同，且b不相等，图象平行； 设所求一次函数的解析式为 ，根据图象与直线平行可得，将代入即可解答． 【详解】解：设所求一次函数的解析式为 ， 函数的图象与直线平行， ， 又过点，有， 解得， 一次函数的解析式为， 故选：B． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（    ） A．0.5 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了新定义、一次函数的图象及性质． 根据定义分情况列出不等式：①当时，；②当时，，再根据一次函数的性质可得出结果． 【详解】①当，即时，， ∵，y随x的增大而减小， ∴当，y有最大值，为； ②当，即时，， ∵，y随x的增大而增大， ∴当，． 综上所述，，即y的最大值为3． 故选：C 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数，当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，当时，可得，当时，则时，对于任意的x，不一定都成立，当时，则，对于任意的x，都成立，符合题意；当时，则，可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴， 当时，则时，对于任意的x，不一定都成立， 当，即时，则，对于任意的x，都成立，符合题意； 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值， ∴当时，一定成立， ∴， ∴， 综上所述，， 故选：D． 10．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，下列结论正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．根据函数的图象判断即可． 【详解】解：如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，则， 解得，故B正确，符合题意； 由图象可知方程的解是，故A错误，不合题意； 不等式的解集是，故C错误，不合题意； 等式的解集是，故D错误，不合题意． 故选：B． 二、填空题 11．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知一次函数，若，则函数值的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】先求出当，时的函数值，再判断出y随x增大而减小即可得到答案． 【详解】解：当时，，当时，， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数的增减性，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 12．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解即可．掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图像上，且 ， ∴． 故答案为：． 13．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象经过一、二、三象限可得，且与x轴交于点，得出，求不等式的解集相当于是求时x的取值范围，求出与x轴的交点可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大， ∴． 把点，代入即可得到：，即． 不等式的解集就是求函数， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故当时，不等式成立． 则不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握一次函数与不等式的关系式解题的关键． 14．（21-22八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式．以两函数图象交点为分界，直线在直线的下方时，． 【详解】解：根据图象可得：不等式的解集为：， 故答案为：． 三、解答题 15．（21-22八年级上·安徽·期中）直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式． 【答案】． 【分析】先根据一次函数的性质可得，再求出直线与的交点坐标，然后代入一次函数即可得． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 对于函数， 当时，， 将点代入得：，解得， 则直线对应的函数解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 16．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）已知是的一次函数，且当时，；当时，． （1）求这个一次函数的表达式； （2）若点、是该函数图象上的两点，试比较、的大小； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意设出一次函数表达式为，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）根据一次函数的增减性即可判断、的大小． 【详解】（1）设，将，；，分别代入，得， 解得：， 故这个一次函数的表达式为； （2）由，随着增大而减小， 因为， 所以． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，利用一次函数增减性比较函数值的大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数表达式以及一次函数增减性和自变量系数的关系．一次函数增减性：对于一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0），①当k>0时，图象一定经过第一、第三象限，图象从左向右上升，y随x的增大而增大；②当k<0时，图象一定经过第二、第四象限，图象从左向右下降，y随x的增大而减小． 17．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数解析式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． （1）利用正比例函数的定义得到，然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x之间的函数解析式； （2）把代入（1）中的解析式中计算出对应的函数值． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得， 则，即， y与x之间的函数解析式为； （2）解：当时，． 18．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）画出函数的图象，并结合图象回答： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象与轴的交点，即为方程的解； （2）根据函数图象，求得在轴下方时的自变量取值范围即可求解； （3）令，解得，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，，函数的图象如图所示， 方程的解为， （2）根据函数图象可得，不等式的解集为； （3）当时，即， 解得， 根据函数图象可知：当时，． 【点睛】本题考查了画一次函数图象，根据函数图象求方程的解，求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 19．（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一次函数． (1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ (3)若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查对解一元一次方程，一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式或方程是解此题的关键． （1）根据正比例函数的性质得出，求出方程的解即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式； （3）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：． ∵函数为正比例函数， ∴， 解得：， 答：当时，这个函数为正比例函数， （2）解：一次函数， ∵函数y的值随着x值的增大而减小， ∴， 答：当时，函数y的值随着x值的增大而减小． （3）∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 答：当时，函数的图象经过第一、三、四象限． 20．（20-21八年级上·安徽合肥·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【答案】（1）x＝2；（2）﹣1；（3）x＝﹣1． 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为−3时对应的自变量的值即可． 【详解】解：（1）当x＝2时，y＝0， 所以方程kx+b＝0的解为x＝2； （2）当x＝1时，y＝﹣1， 所以代数式k+b的值为﹣1； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣3， 所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键． 21．（22-23八年级上·安徽宣城·期中）已知是的一次函数，当时，，当时，，求： (1)这个一次函数的解析式； (2)当时，求x的值； (3)若x的取值范围是，求的y取值范围． 【答案】(1)一次函数解析式为 (2) (3)y的范围为 【分析】（1）设一次函数解析式为，把已知与的两对值代入求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）把的值代入计算即可求出的值； （3）根据的范围确定出的范围即可． 【详解】（1）设一次函数解析式为， 把，；，代入得：， 解得：，． 则一次函数解析式为； （2）把代入得：， 解得：； （3）由，得到， 则的范围为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 22．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．    (1) ______， ______； (2)求的面积； (3)根据图象，不等式的解集为 _______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查两条直线的交点问题，图象法解不等式，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）将点，代入两个函数求出的值； （2）先求出的坐标，利用三角形的面积公式求出面积即可； （3）图象法解不等式即可． 【详解】（1）解：把代入，得：； 把代入，得：； 故答案为：； （2）由（1）值：，， ∴时，，解得：；，解得：， ∴， ∵， ∴； （3）由图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 23．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B、C两点．    (1)求m，n的值，并画出这两个一次函数的图象； (2)计算的面积； (3)结合图象，直接写出函数，的值都大于0时自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2)的面积是4． (3) 【分析】（1）先根据点A的坐标，用待定系数法求出m，n的值，再分别求解两个函数与y轴的交点坐标，再画两个一次函数的图象即可； （2）根据，，的坐标，再利用三角形的面积公式求解三角形的面积即可； （3）求出两直线与x轴的交点，再结合函数图象可得函数值大于0时，可得自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴， 当，则，即， ∵的图象经过点， ∴， 解得：； ∴； 当，则，即， ∴画函数图象如下：      （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）当，则， ∴与x轴的交点坐标为， ∴当时，， 当，则， ∴与x轴的交点坐标为：， 当时，， ∴函数，的值都大于0时自变量x的取值范围为． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，画一次函数的图象，利用函数图象确定函数值大于0自变量的取值范围，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$