1.1空间向量及其运算题型专练-2024-2025学年高二数学同步教学精品课件+练习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1空间向量及其运算—题型专练 题型一 空间向量概念的辨析 1. 已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 2. 给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4. 下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 5. （多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 6. 下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向量的必要非充分条件； ③向量、相等的充要条件是 ④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 题型二 空间向量的线性运算及几何表示 1. 正方体中，化简（    ） A． B． C． D． 2. 已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 3. 已知在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 4. 如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量的共线、共面问题 1、 共线问题 1. 有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)． 2. 已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） B． C． D． 3. 如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 4. 如图，四边形､都是平行四边形且不共面，,分别是､的中点，判断与是否共线？ 5. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 6. 若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 7. 在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则 ． 共面问题 1. （多选）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 2. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 3. 在下列条件中，能使与，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 4. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 5. 已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 题型四 空间向量的数量积运算 1、 求数量积 1. 如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（    ） A． B．1 C． D． 2. 已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 3. 由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4. 如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 5. 某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 6. 如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______． 7. 已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8. 已知球是棱长为1的正四面体的内切球，为球的一条直径，点为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________. 2、 求夹角、模、投影 1. 如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点. (1)求； (2)求； (3)求的长. 2. 如图，正四面体(所有棱长均相等)的棱长为1，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题： (1)求的模长； (2)求，的夹角. 3. 在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 4. 已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 5. 已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6. 在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 3、 证垂直 1. 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    2. 已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 3. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 一、单选题 1．空间任意四个点A、B、C、D，则等于 A． B． C． D． 2．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 3．在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在斜三棱柱中，，，，则 （    ） A．48 B．32 C． D． 7．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 8．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（    ） A． B． C． D． 9．已知球的半径为，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 10．下列说法正确的是（    ） A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 11．如图，在三棱柱中，是的中点.下列表达式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 12．若长方体的底面是边长为的正方形，高为，是的中点，则（    ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 13．已知，，不共面，若，，且三点共线，则 14．在平行六面体中，，，，，，则= 15．已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为 ． 四、解答题 16．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简： （1）； （2），并在图中标出化简结果的向量． 17．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 18．如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，． (1)求证：； (2)求直线BD与AC所成角的大小． 19．如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有. (1)证明：； (2)若，，，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求的面积； （ii）求三棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1空间向量及其运算—题型专练 题型一 空间向量概念的辨析 1. 已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 【答案】C 【详解】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确； 与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确； 与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误； 与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确． 故选：C． 2. 给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 3. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设E,F分别为AD和A1D1的中点， ①+与+不是一对相反向量，错误； ②-与-不是一对相反向量，错误； ③1+1+1+是一对相反向量,正确； ④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个 故选：A 4. 下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 5. （多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 【答案】ABC 【解析】由题可知单位向量有共8个，故A正确； 与相等的向量有共3个，故B正确； 向量的相反向量有共4个，故C正确； 因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误. 故选：ABC. 6. 下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向量的必要非充分条件； ③向量、相等的充要条件是 ④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 【答案】②④ 【解析】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误； 根据相等向量的概念可知，若，则，但，有可能、的方向不同，故是向量的必要非充分条件，②正确； 当、为相反向量时，显然满足，故③错误； 因为A、B、C、D是不共线，所以由，可知且，所以四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则由平行四边形的性质可得，故④正确. 故答案为：②④ 题型二 空间向量的线性运算及几何表示 1. 正方体中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2. 已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， 由于，故，，， ，，， ∴ ， 故选：D． 3. 已知在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故G为CD的中点，如图， 由平行四边形法则可得， 所以. 故选：A. 4. 如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量的共线、共面问题 1、 共线问题 1. 有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)． 【答案】②③④ 【解析】①中，若，根据共线向量的定义，可得或四点共线， 所以①不正确； ②中，若，且和由公共点点，所以三点共线，所以②正确； ③中，由，可得，所以，所以③正确； ④中，由，可得，所以，所以④正确． 故答案为：②③④. 2. 已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 3. 如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】证明：  连接，． ∵ ， ， ∴，∴． 又，∴，，三点共线． 4. 如图，四边形､都是平行四边形且不共面，,分别是､的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 5. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 6. 若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【解析】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 7. 在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则 ． 【答案】/－0.5 【解析】如图，连接，， 则点E在上，点F在上， 易知，且， ∴，即，∴． 故答案为： 2、 共面问题 1. （多选）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点， 故四点共面，故A正确； 对B：，， 故四点不共面，故B错误； 对C：，可得三点共线， 则四点一定共面，故C正确； 对D：，， 故四点一定共面，故D正确. 故选：ACD. 2. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解析】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 3. 在下列条件中，能使与，，一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是； 对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面； 对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面； 对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面； 对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面． 故选：C． 4. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 5. 已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 题型四 空间向量的数量积运算 1、 求数量积 1. 如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， ， 则 , 故选：B 2. 已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为M是棱CD的中点，所以 所以. 故选：D. 3. 由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 4. 如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【解析】由向量投影的概念，表示向量在上的投影， 因为垂直于平面,所以 因为（其中）， 所以. 故选：D. 5. 某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 【答案】-1 【解析】设圆锥底面圆的圆心O，则， 则圆锥的高， ， 当垂直于过P点的母线时，长最小，即为， 故的最小值为， 故答案为：-1 6. 如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______． 【答案】/-0.125 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 7. 已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设中点为,连接,设中点为,则 , 当与重合时，取最小值0.此时有最小值， 故选：A 8. 已知球是棱长为1的正四面体的内切球，为球的一条直径，点为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________. 【答案】 【详解】 如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为， 内切球半径为，取中点为， 则,,所以， 因为， 所以，所以， 因为点P为正四面体表面上的一个动点， 所以，即， 因为, 因为为球O的一条直径，所以, 所以， 因为，所以， 所以， 故答案为: . 2、 求夹角、模、投影 1. 如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点. (1)求； (2)求； (3)求的长. 【答案】(1)4； (2)； (3). 【解析】（1）. （2）因为为平行六面体，所以四边形为平行四边形，∥，， 在三角形中，，，，所以，所以， 又∥，所以. （3）由题意知，，则 ， 所以. 2. 如图，正四面体(所有棱长均相等)的棱长为1，，，，分别是正四面体中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题： (1)求的模长； (2)求，的夹角. 【答案】(1)； (2)90°. 【详解】（1）因为E，F，G是中点，所以， 因此， 因为正四面体所有棱长为1， 所以， 所以； （2）由（1）可知：， 同理，， 所以，的夹角为90°. 3. 在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【解析】（1）因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）因为 ，所以， 因为，所以 . 所以，即两向量的夹角为. 4. 已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【详解】因为，，且，，为单位向量， 则 . 故选：D 5. 已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． 6. 在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 【答案】 【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为， 所以 向量 在向量 方向上的投影向量是 向量 在向量 方向上的投影向量的模是， 故答案为： 3、 证垂直 1. 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【解析】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则， ∴ ， ∴，即． 2. 已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 3. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 一、单选题 1．空间任意四个点A、B、C、D，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量运算法则即可得出． 【详解】． 故选C. 【点睛】本题考查了平面向量运算法则，属于基础题． 2．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，，， ， 与是一对相反向量，①正确；    对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， ， 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 3．在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示， 故选:D. 4．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合向量的加法与减法线性运算，将表示成以为基底的向量，进而得解. 【详解】由题可知，，又因为为中点，所以， . 故选：D 5．如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，， 又，所以，    故选：A. 6．如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【分析】把变成，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【详解】. 故选：C 7．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 8．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出的表达式即可求出的值. 【详解】由题意， 在四面体中， 是四面体 的棱的中点, ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C. 9．已知球的半径为，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，取线段的中点，利用向量的加法法则可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围. 【详解】作出图形，取线段的中点，连接、、、、，可知， 由勾股定理可得，且有， 由向量的加法法则可得，， . ，由向量的三角不等式可得， ，所以，. 因此，的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积取值范围的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查数形结合思想以及计算能力，属于中等题. 二、多选题 10．下列说法正确的是（    ） A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】AD 【分析】利用空间向量的相关概念逐一判断即得解. 【详解】解：向量与是相反向量，长度相等，故选项A正确； 空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，故选项B错误： 空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，故选项C错误； 由空间向量的有关概念与性质易知选项D正确． 故选：AD． 11．如图，在三棱柱中，是的中点.下列表达式化简正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的加减法法则逐个分析判断即可 【详解】对于A，由题意得，所以A正确， 对于B，由题意得，所以B错误， 对于C，由题意得，所以C正确， 对于D，由题意得，所以D正确， 故选：ACD 12．若长方体的底面是边长为的正方形，高为，是的中点，则（    ）    A． B． C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】根据向量的线性运算可先判断B选项是正确的，然后利用向量数量积计算，看其是否为，从而得出A的判断，对于C选项利用等体积法处理，对于D选项，只需求出到平面的距离即可. 【详解】结合几何体可得：，故B选项正确； ，结合长方体中的位置关系可知，，，，于是，即不成立，A选项错误； 根据长方体中的线面关系，平面，于是，C选项正确； ，，，注意到， 故为直角三角形，，设到平面的距离为， 由，解得， 故直线与平面所成角的正弦值为，D选项错误. 故选：BC 三、填空题 13．已知，，不共面，若，，且三点共线，则 【答案】2 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以， 因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得， 所以． 故答案为：2 14．在平行六面体中，，，，，，则= 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以 ， 故. 故答案为：. 15．已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据得到，根据求出，从而得到 【详解】因为，所以， 故， ， 故， . 故答案为： 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的运算，向量中的不等关系把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 四、解答题 16．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简： （1）； （2），并在图中标出化简结果的向量． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）直接利用向量的加法法则运算即可； （2）利用，，结合加法法则即可得到答案. 【详解】（1）由向量的加法法则可得，； （2）因为，，分别是，，的中点， 所以，， 所以. 17．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 则. 18．如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，． (1)求证：； (2)求直线BD与AC所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用圆的直径所对圆周角的性质、圆柱的性质、线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理即可得出； （2）利用已知计算出，的值，再利用（1）的结论及已知求出的值，用向量的数量积公式计算直线BD与AC所成角的余弦，即可得到直线BD与AC所成角的大小． 【详解】（1）证明：是底面圆的直径，，； 由圆柱可得：母线底面，底面，； 又，平面，平面， 又平面，． （2），， ， 由（1）知母线底面，，， 又，， ，由题知，， 设直线BD与AC所成角为，则 ， 而，所以，故直线BD与AC所成角的大小为. 19．如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.    (1)证明：； (2)已知，，，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求的面积； （ii）求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由空间向量的运算可得，，再由线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）（i）由余弦定理求，根据同角的平方关系求出，再由三角形面积公式即可求解； （ii）由（i）得即为与平面所成角，根据及即可求解. 【详解】（1）因为E为边AB的中点，所以. 又，即，即. ， 所以. 又因为，所以，即. 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以.    （2）（i）由余弦定理可得， 所以， 所以. （ii）由（1）可知，平面， 所以即为与平面所成角. 因为，所以，， 所以，得. 设到平面的距离为，点到直线的距离为， 则 . 因为， 又，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$