专题3.1 函数的概念及表示法（考点精讲）-【中职专用】2025年职教高考数学一轮复习讲练测（福建专用）

专题3.1 函数的概念及表示法 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的定义域和值域 3 考点二：函数的解析式 7 【考纲要求】 1.了解函数定义，会求函数的定义域。 2.了解f(a)的含义，会求函数值。 3.理解函数的三种表示法，解析法、列表法、图像法。 【考向预测】 1.函数的定义域和值域 2.函数的解析式 【知识清单】 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.函数的表示法 4.分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 【考点分类剖析】 考点一：函数的定义域和值域 例1．已知集合，若，则a的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 例2．集合，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．下列结论正确的有（    ） A．函数的定义域为 B．函数，的图象与轴有且只有一个交点 C．函数的图象与直线有且只有一个交点 D．与是相同函数 例4．在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例5．在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 例6．已知函数满足，当属于时，求的值域（    ）． A． B． C． D． 【变式探究】1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为 ． 3．已知，，则 ． 4．函数的定义域为 ． 5．函数的值域为 ． 6．函数的值域为 考点二：函数的解析式 例1．若函数，则（    ）． A． B． C． D． 例2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 例3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 例5．已知函数，则（    ） A． B． C．3 D． 例6．已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 3．已知是二次函数，且，，则 ． 4．设，，则 ． 5．已知为二次函数且，，则 ． 6．已知:函数，，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 函数的概念及表示法 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的定义域和值域 3 考点二：函数的解析式 7 【考纲要求】 1.了解函数定义，会求函数的定义域。 2.了解f(a)的含义，会求函数值。 3.理解函数的三种表示法，解析法、列表法、图像法。 【考向预测】 1.函数的定义域和值域 2.函数的解析式 【知识清单】 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 2．区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.函数的表示法 4.分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 【考点分类剖析】 考点一：函数的定义域和值域 例1．已知集合，若，则a的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用求得的范围，判断即得. 【详解】由可得，由可得， 依题意，，故得. 故选：D. 例2．集合，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的值域和中的范围，得出的具体范围，再根据集合的交集、并集运算即可求解. 【详解】， 则， 所以， ， 则，解得， 所以， 所以，. 故选：. 例3．下列结论正确的有（    ） A．函数的定义域为 B．函数，的图象与轴有且只有一个交点 C．函数的图象与直线有且只有一个交点 D．与是相同函数 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，判断A的真假；根据函数的概念判断BC的真假；化简函数解析式，根据对应关系判断是否为同一个函数，判断D的真假. 【详解】对A：由且，所以函数的定义域为，故A错误； 对B：根据函数的概念，可判断B正确； 对C：由函数的概念，可得函数的图象与直线至多有一个交点，故C错误； 对D：因为的定义域为，所以，与对应关系不同，所以与不是同一个函数，所以D错误. 故选：B 例4．在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦函数性质，结合图象解题 【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足， 即，结合图象，知道． 故选：B. 例5．在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需判断各函数与题述函数对应法则以及定义域是否相同即可求解. 【详解】解：对于A，（），与（）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 例6．已知函数满足，当属于时，求的值域（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的单调性求值域即可. 【详解】在上单调递增， 所以的值域为：. 故选：A 【变式探究】1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两个集合，再使用并集运算的定义即可得到答案. 【详解】由题，，， 则. 故选：D. 2．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求出使函数有意义的的范围可得答案. 【详解】由得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 3．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据是的取值范围，，然后求交集即可． 【详解】因为，， 所以， 故答案为：． 4．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据根式以及分式的性质即可求解. 【详解】的定义域满足且，解得且. 故答案为： 5．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由得出答案. 【详解】因为，所以，所以函数的值域为. 故答案为： 6．函数的值域为 【答案】 【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域. 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 考点二：函数的解析式 例1．若函数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法，把原式变形即可. 【详解】，. 故选：. 例2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 例3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 例4．已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 例5．已知函数，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式的求法和根式的运算求解. 【详解】，所以， 所以3， 故选：C. 例6．已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法可求的解析式，结合选项可得答案. 【详解】令，由于，则，， 所以，得， 所以函数的解析式为． 故选：B 【变式探究】1．下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相同函数的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是. 故选：D 2．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 【答案】C 【分析】逐项判断两个函数的定义域、表达式和值域是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，，，表达式不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，两函数的定义域，表达式和值域均相同，是同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误. 故选：C. 3．已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 4．设，，则 ． 【答案】 【分析】直接由的定义即可代入得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 5．已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 6．已知:函数，，则 . 【答案】 【分析】由已知的函数解析式，代入法求复合函数的解析式. 【详解】函数，，则. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$