专题1.1 二次函数的定义（5考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（浙教版）

专题1.1 二次函数的定义 目录 【典型例题】 1 【考点一 二次函数的识别】 1 【考点二 二次函数中各项的系数】 3 【考点三 利用二次函数的定义求参数】 4 【考点四 已知二次函数上一点，求字母或代数式的值】 6 【考点五 列二次函数的关系式】 7 【过关检测】 9 【典型例题】 【考点一 二次函数的识别】 例题：（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）下列函数中是二次函数的有（  ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．是二次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点二 二次函数中各项的系数】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ． 【考点三 利用二次函数的定义求参数】 例题：（23-24八年级下·云南·期末）若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若是关于x的二次函数．则m的值为 ． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【考点四 已知二次函数上一点，求字母或代数式的值】 例题：（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【变式训练】 1．抛物线过点（2，4），则代数式的值为（    ） A．14 B．2 C．－2 D．－14 2．若抛物线经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 【考点五 列二次函数的关系式】 例题：（23-24八年级上·上海松江·期末）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用长为30米的栅栏围成一个矩形花坛，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为 （不要求写自变量取值范围）． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为 ． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为 ，整理为 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）下列函数关系式中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 4．（2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 二、填空题 6．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数，当时， ． 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）抛物线经过点，．则m n（填“＞”，“=”或“＜”）． 8．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是二次函数，则m等于 ． 9．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为 ． 10．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 三、解答题 11．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 13．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 14．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 15．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 二次函数的定义 目录 【典型例题】 1 【考点一 二次函数的识别】 1 【考点二 二次函数中各项的系数】 3 【考点三 利用二次函数的定义求参数】 4 【考点四 已知二次函数上一点，求字母或代数式的值】 6 【考点五 列二次函数的关系式】 7 【过关检测】 9 【典型例题】 【考点一 二次函数的识别】 例题：（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）下列函数中是二次函数的有（  ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答． 【详解】①，是二次函数； ②，分母中含有字母，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数. 则二次函数共2个， 故选：B 【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当时，是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； B、是y关于x的二次函数，故本选项符合题意； C、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； D、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 3．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．是二次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：（1）是一次函数，故不符合题意； （2）是二次函数，故符合题意； （3）的分母含自变量，不是二次函数，故不符合题意； （4）当时，不是二次函数，故不符合题意； （5）是一次函数，故不符合题意； （6）是二次函数，故符合题意； （7）当时，不是二次函数，故不符合题意． 故选B． 【考点二 二次函数中各项的系数】 例题：（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键． 根据二次函数各项的系数填空． 【详解】∵二次函数为， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为， ∴，，． 故答案为：，0，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 / 3 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3， 故答案为：；3． 【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ． 【答案】 3 -5 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数，一次项系数， 故答案为：3；-5． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【考点三 利用二次函数的定义求参数】 例题：（23-24八年级下·云南·期末）若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键． 根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义，列出关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）若是关于x的二次函数．则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义：函数，、、为常数）叫二次函数． 利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，求解即可得出答案，熟练掌握形如的函数叫做二次函数，是解此题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，， 解得：， 故答案为：． 【考点四 已知二次函数上一点，求字母或代数式的值】 例题：（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 则代数式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 【变式训练】 1．抛物线过点（2，4），则代数式的值为（    ） A．14 B．2 C．－2 D．－14 【答案】A 【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值． 【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax2+bx-3得 4a+2b-3=4， 整理得8a+4b=14. 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键． 2．若抛物线经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点代入解析式，得到，然后化简，整体代入即可得到答案. 【详解】解：把点代入， 得：， ∵ ； 故选择：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题. 3．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：把代入函数解析式，得 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键． 【考点五 列二次函数的关系式】 例题：（23-24八年级上·上海松江·期末）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】由题意得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用长为30米的栅栏围成一个矩形花坛，其中一边长为x米，面积为y平方米，则y与x的函数关系为 （不要求写自变量取值范围）． 【答案】或 【分析】由篱笆的总长及一边长度，可得出花圃另一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出关于的函数解析式． 【详解】解：篱笆的总长为30米，花圃一边长为米， 花圃另一边长为米． 根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为 ． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为 ，整理为 ． 【答案】 【分析】（1）由矩形的周长求解； （2）由矩形的面积公式求解． 【详解】解：宽， 面积，． 故答案为：，， 【点睛】本题考查矩形的性质，列函数解析式；由矩形的性质得到等量关系是解题的关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】二次函数的常数项为， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）下列函数关系式中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义，可得答案． 【详解】解：A. 分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． B. 当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；     C. 是二次函数，故此选项符合题意； D. 分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 4．（2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①是的反比例函数，故题不符合题意； 是的正比例函数，故②不符合题意； ③，是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 【答案】A 【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出、的长度，再结合阴影部分的面积等于以的长的正方形的面积之差可得，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 则阴影部分的面积为， 即：，为一次函数， 故选：A． 二、填空题 6．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数，当时， ． 【答案】10 【分析】把代入计算即可． 【详解】把代入，得 ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）抛物线经过点，．则m n（填“＞”，“=”或“＜”）． 【答案】 【分析】分别把点和代入得到m、n的值，即可得到答案，熟练掌握抛物线上的点满足函数表达式是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 把代入得， ， ∴， 故答案为： 8．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是二次函数，则m等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可．解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式为． 【详解】解：函数是二次函数， 且， 解得：． 故答案为：2． 9．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】先将点代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【详解】解：将代入函数解析式得，， ∴， ∴ ． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 三、解答题 11．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）把代入函数解析式中得：， 当时，， ∴y的值为． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 13．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特征是解题关键． （1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可； （2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当函数为二次函数时， 则， 即． （2）解：当函数为一次函数时， 则， 解得：． 14．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1) (2)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义； （1）由二次函数的定义得，即可求解； （2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解； 理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； 故时，此函数是二次函数； （2）解：①当时， 解得：； ②当时， 解得：，； ③当时， 解得：，； 综上所述：取或或或或，此函数为一次函数． 15．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$