专题22.7 难点探究专题：二次函数中求线段及线段和最值问题（4大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题22.7 难点探究专题：二次函数中求线段及线段和最值问题 目录 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 14 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 27 【考点四 二次函数中的胡不归最值问题】 33 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的平移和性质，首先得到平移后抛物线为，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：平移抛物线，其顶点始终在二次函数上， ∴顶点坐标为，故平移后的解析式为， ∴， ∵直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q， ∴ ∵， ∴当时，长的最大值为． 【变式训练】 1．（23·24上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点B和点C的坐标； （2）设该抛物线的表达式为，将点代入得，再将点代入，求出a的值即可； （3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用解直角三角形，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，； （2）解：设该抛物线的表达式为， 把点代入得：， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， （3）解：设直线函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，用二次函数关系表示是解题的关键． 2．（23·24上·西青·期中）如图，抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为点坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交拋物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）因为抛物线地两点，设解析式为，点在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，， ∴设解析式为， 将代入中，得， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． （2）①二次函数的解析式为， 抛物线与轴的交点的坐标为，． 设点坐标为， ， ， ，． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； ②设直线的解析式为，将，代入， 得， 解得：． 即直线的解析式为． 设点坐标为，，则点坐标为， ， 当时，有最大值． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)线段长度得最大值是，此时的坐标是 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为然后把代入求解即可得到答案； （2）求出直线AC的解析式，然后设，，利用两点距离公式表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3），分和两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将代入表达式，解得， 抛物线的表达式为：， 即：； （2）解：设直线的表达式为：， 将代入表达式，得， 直线的表达式为：； 设，． 则； 当时，有最大值，为， 把代入，得：， ， 线段长度得最大值是，此时的坐标是； （3）解：根据题意，， 当时，有：， 解得（舍去）； 当时，有：， 解得：，（舍去）； 综上所述：当时，满足条件． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，直线：与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求线段的最大值； (3)连接，设与y轴交于点E，若四边形是平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)当时，有最大值，最大值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数性质，平行四边形性质，是解决问题的关键． （1）把代入，解方程组求出a、b、c的值，即得抛物线的解析式，把代入求出m值，即得直线的解析式； （2）设点，点，得，进而根据二次函数的性质即可求解． （3）根据，得到，当四边形是平行四边形时，，得到，解得，，即得点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． ∵直线经过点， ∴， 解得． 故直线的解析式为． （2）设点P的坐标为， 则点Q的坐标为． 由题意得，， ∴当时，有最大值， 最大值为． （3）∵与y轴交于点E， ∴， ∴． 若四边形是平行四边形， 则， ∴． 解得或（舍去）， 当时，， 故点P的坐标为． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在，点N的坐标为或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设，先求得抛物线的对称轴是直线，设直线交x轴于点G，则，轴，作于点F，可证明，再分四种情况讨论即可． 【详解】（1）直线相交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：、， 则抛物线的表达式为， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）如图1，设， ∵轴交直线BC于点D， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴的最大值为． （3）存在，设， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设直线交x轴于点G，则，轴， 作于点F，则，， 如图2，点M在x轴上方，且点N在直线左侧， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图3，点M在x轴上方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图4，点M在x轴下方，且点N在直线右侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 如图5，点M在x轴下方，且点N在直线左侧， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】此题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解一元二次方程，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 例题：（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)若点P为抛物线上一点，轴交直线于点M，求的最小值． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）令，解方程求出A，B坐标，根据B在x轴正半轴得出，然后求出a的值； （2）根据（1）解析式求出顶点坐标，然后由三角形的面积公式求出面积； （3）设，则， ，然后由二次函数的性质求出最小值． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∵点B在x轴正半轴， ，， ∵， ∴， 解得； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴； （3）解：设，则，如图所示： 则 ∵， ∴抛物线开口向上，当时，取最小值． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 【变式训练】 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点． (1)求和的值； (2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值； (3)求线段的最小值． 【答案】(1)，； (2)3； (3)． 【分析】（1）将、的坐标分别代入直线和抛物线即可求解； （2）利用二次函数的性质求得，即可求解； （3）由抛物线的顶点，过作轴的平行线交直线于点，求得，从而求得，于是即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∵抛物线经过点， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∵顶点的纵坐标取得最大值，， ∴当时，顶点的纵坐标取得最大值，此时，， ∴， ∵， ∴直线， 当时，， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线的顶点，过作轴的平行线交直线于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2.（23-24九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为．直线过点（），且平行于轴，与抛物线交于、两点（在的右侧），将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．    (1)当时，求点的坐标； (2)连接、、，若，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点的坐标，再求出点关于直线的对称点，即可得解； （2）用含的式子表示出点坐标，进而表示的函数解析式，过点作轴于点，分别求出点的坐标，进而得到，结合，推出点的坐标，代入，求出的值，即可得解； （3）由（2）求出的长，进而得到的长，取的中点，连接，利用斜边上的中线和勾股定理，求出，根据，得到当三点共线时，的值最小，进行求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴； （2）∵，点和点关于直线对称， ∴， ∴的解析式为： 当时，， ∴， 过点作轴于点，则：， ∴， ∴， ∵直线过点（），且平行于轴，与抛物线交于、两点（在的右侧）， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或， 当时，，两点重合，不合题意； ∴， ∴的解析式为：．    （3）由（2）知，， ∴， ∴，符合题意， ∴， 取的中点，连接，则，    在中，， 在中，， ∵， ∴当三点共线时，的值最小为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．本题的难度较大，对学生的思维较高，属于压轴题． 3．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数． (1)当时，该函数图象的对称轴为直线，与轴相交于点和点，与轴交于点 ①求该函数的表达式； ②点是直线下方的抛物线图象上的动点，于点，当取最小值时，求点坐标； (2)若，已知点，点，若二次函数的图象与线段有交点时，求的取值范围． 【答案】(1)①，② (2)当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【分析】（1）①结合抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，利用待定系数法求解即可；②如图，连接，过作轴交于，求解，结合，可得直线为，设，则，，而，，则,当面积最小，则最小；再进一步求解即可； （2）由题意可得，从而求得抛物线的顶点为，抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数， 把点代入得，， ∴该函数的表达式为； ②如图，连接，过作轴交于， ∵， 当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴, ∴， 而，，则, ∴当面积最小，则最小； ∴当时，面积最小， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴抛物线的顶点为， 把代入得，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为、， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点， 当抛物线过点时，， 解得， 如图，当时，二次函数的图像与线段有交点， 综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，运用数形结合思想是解题的关键． 4．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点 P在抛物线的对称轴上，且使得的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点 D是线段上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线，交直线l于点E，过点E作，垂足为点 F，求线段的最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为： ，直线的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，即可作答． （2）先作图，根据内心定义，得出直线或直线与对称轴的交点即为Q点，求出直线的解析式为，代入，即可作答． （3）运用分类讨论，①当直线l经过点A，时，则根据勾股定理得在中，则有②当直线l经过点时，则根据勾股定理得在中，则有结合二次函数的图象性质，即可作答． 【详解】（1）解:∵抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且． ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为： 当时， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把点A，C的坐标代入， 得 解得 ∴直线的解析式为， （2）解：由可知：对称轴为直线， 连接并延长交于对称轴，交点即为点P， 此时的值最大， 把代入，解得 ∴点P的坐标为， 设点C关于直线对称的点为， 要使得的内心始终在对称轴上， 根据对称性，直线l必经过或经过， 即直线或直线与对称轴的交点即为Q点， 设点直线的解析式为 把点和点C的坐标分别代入 得 解得 根据点和点C的坐标 可求出直线的解析式为， 当时，， 根据对称性，直线与对称轴的交点也为Q，坐标均为， （3）解：由于直线l有两条，分两种情况分析： ①当直线l经过点A，时， 设直线的解析式 把和代入 得 解得 ∴直线的解析式为， 设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线 可得 又∵， 在中，则有 由题可知，， ∴此时不存在最小值， ②当直线l经过点时， 设点D的纵坐标为a，把代入直线和直线 可得 ∴ 在中，则有 令 ∴当时，t有最小值，最小值为 即当点D的纵坐标为时， 则 有最小值为 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，涉及待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称性质，勾股定理，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 2．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，，结合点为第四象限内抛物线上一动点， ，可得，再解方程并检验即可； （3）过点C作且，连接、， 证明， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ，则，， ∴点，则， 设点，， ∵点为第四象限内抛物线上一动点， ， 则， 整理得， 解得：， （不符合题意舍去） ∴， 则点； （3）解：过点C作且，连接、， 则，点， ∵， 则， 则， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 即的最小值． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算、求函数表达式等，确定三角形全等是解题的关键． 3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．    (1)请分别求出k，m，a，b的值； (2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由． 【答案】(1)，，，； (2) (3)或或或． 【分析】（1）待定系数法求k，m，a，b的值； （2）由求出Q点坐标，再利用将军饮马模型求线段的最小值； （3）不确定直角三角形的直角顶点，所以分三类讨论，利用勾股定理建立方程求出P点坐标． 【详解】（1）∵直线过点和点， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线过点和点，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴，，，； （2）过点Q作轴，垂足为N，作关于y轴的对称点，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）存在点P，使是直角三角形，P点坐标为或或或．理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设P点坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴P点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，将军饮马模型，直角坐标系中的直角三角形问题，渗透了数形结合和分类思想，题型常规，难度不大． 【考点四 二次函数中的胡不归最值问题】 例题：（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数解析式及顶点坐标，一次函数解析式，二次函数的性质，解直角三角形等知识； （1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求解； （2）设直线为，把，分别代入解析式即可求得直线解析式，即可求解； （3）以为斜边作（点在轴右侧），使得得，过点作，交轴于，交于点，则，根据，得，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长，在中，，，可得，，进而可求得，即可求解 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， （2）解：设直线为， 把，分别代入得， ． 直线为解析式为 令得， ． （3）解：如图，以为斜边作（点在轴右侧），使得， ， 过点作，交轴于，交于点，则， 根据，得 则，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长， 在中，， ， ， 即的最小值为 【变式训练】 1．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)满足条件的点的坐标为：，，， 【分析】本题考查二次函数综合题、待定系数法、面积问题、线段最值问题； （1）将、分别代入得到二元一次方程组，解方程求得和即可； （2）如图1中，作于.先说明,然后在中,有，由垂线段最短可知，当、、共线时，最小，最后求得最小值即可； （3）如图2中，由，过点作的平行线交抛物线于、，根据，再求出直线的解析式，然后联立解方程组即；利用平移可求出、的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得到，， 解得， 故答案为，． （2）如图1中，作于． ∵，， ∴， 在中，． ∵， 根据垂线段最短可知，当、、共线时最小，最小值为， 在中， ∵,，则， ∵， ∴， ∴的最小值为． ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ （3）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴过点作的平行线交抛物线于，，则，， 设直线的解析式为 ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵ ∴直线的解析式为， 由， 解得或， ∴，， 根据对称性可知，直线关于直线的对称的直线与抛物线的交点、也满足条件， ∵ ∴将向右平移个单位得到的解析式为 由， 解得或， ∴，， 综上所述，满足条件的点的坐标为：，，，． 2．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等： （1）先把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则，故当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长，由对称性求出，再求出点的坐标为，即可得到直线的表达式为，则点的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值为； （3）设，则，，可得，，进而得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接， 点与点关于对称轴对称， ， ， 当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长， 顶点坐标的横坐标为1， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 在中，当时， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，分别代入，得， 解得， 直线的表达式为， 将代入，得， 点的坐标为， ，， ， 的最小值为； （3）解：由（2）知抛物线的对称轴为直线，，直线的函数表达式为， 设， 令，得， ，， ，， ． ，， 当时，的值最大，最大值为，此时点的坐标为． 3．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过原点，则抛物线与原抛物线交于点K，连接，过B作直线交y轴于点E，设F是直线上一点，点K关于直线的对称点为，试探究，是否存在满足条件的点F，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的最大值为，此时 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法、运用二次函数求最值、二次函数的平移,菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先确定点B的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）设，抛物线与y轴的交点，然后确定，则、，进而得到，再根据二次根式的性质求最值即可； （3）设函数沿x轴正方向平移m个单位长度，然后根据函数解析式求出m的值，则平移后的解析式为，然后联立可得；再求得直线的解析式为，设，易得四边形是菱形，由平移可得，然后根据列方程求得n的值即可解答． 【详解】（1）解：当时，，解得， ∴， 将点，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，抛物线与y轴的交点， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∴， 当时，，解得或， ∴， ∴，， ∴， 当时，的最大值为，此时． （3）解：存在点F，使得点恰好落在直线上，理由如下： 设函数沿x轴正方向平移m个单位长度， ∵， ∴平移后的函数解析式为， ∵平移后的抛物线恰好经过原点， ∴或（舍）， ∴平移后的函数解析式为， 当时，解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 设， ∵，K与关于对称， ∴四边形是菱形， 由平移可得， ∵， ∴，解得或， ∴或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.7 难点探究专题：二次函数中求线段及线段和最值问题 目录 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 14 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 27 【考点四 二次函数中的胡不归最值问题】 33 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求单线段最大值问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 【变式训练】 1．（23·24上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 2．（23·24上·西青·期中）如图，抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为点坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交拋物线于点，求线段长度的最大值． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，直线：与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求线段的最大值； (3)连接，设与y轴交于点E，若四边形是平行四边形，求点P的坐标． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点二 利用二次函数求单线段最小值问题】 例题：（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)若点P为抛物线上一点，轴交直线于点M，求的最小值． 【变式训练】 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）直线经过点，抛物线经过点，其中和为实数．设抛物线的顶点为，过作轴的平行线交直线于点． (1)求和的值； (2)当抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求线段的值； (3)求线段的最小值． 2.（23-24九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为．直线过点（），且平行于轴，与抛物线交于、两点（在的右侧），将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．    (1)当时，求点的坐标； (2)连接、、，若，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 3．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数． (1)当时，该函数图象的对称轴为直线，与轴相交于点和点，与轴交于点 ①求该函数的表达式； ②点是直线下方的抛物线图象上的动点，于点，当取最小值时，求点坐标； (2)若，已知点，点，若二次函数的图象与线段有交点时，求的取值范围． 4．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点 P在抛物线的对称轴上，且使得的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，已知点 D是线段上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线，交直线l于点E，过点E作，垂足为点 F，求线段的最小值． 【考点三 二次函数中的将军饮马型最值问题】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 2．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．    (1)请分别求出k，m，a，b的值； (2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由． 【考点四 二次函数中的胡不归最值问题】 例题：（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【变式训练】 1．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 2．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 3．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过原点，则抛物线与原抛物线交于点K，连接，过B作直线交y轴于点E，设F是直线上一点，点K关于直线的对称点为，试探究，是否存在满足条件的点F，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$