专题22.6 实际问题与二次函数（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题22.6 实际问题与二次函数 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数解决拱桥问题】 1 【考点二 利用二次函数解决销售问题】 8 【考点三 利用二次函数解决投球问题】 13 【考点四 利用二次函数解决喷水问题】 20 【考点五 利用二次函数解决图形问题】 27 【考点六 利用二次函数解决图形运动问题】 33 【过关检测】 40 【典型例题】 【考点一 利用二次函数解决拱桥问题】 例题：（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·三模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． (1)水面的宽度______m； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）商丘古城位于河南省商丘市睢阳区，是一座历史文化名城，可以追溯到4500年前，尧封阏伯为火正，也就是传说中的火神．阏伯的封号为“商”，商丘由此而来．商丘古城是当今世界上现存的唯一一座集八卦城、水中城、城摞城三位一体的大型古城遗址．如图为商丘古城西城门，其形状可以用抛物线来表示，如右图建立平面直角坐标系，x轴为水平地面，城门在距O点水平距离3米处为城门的最大高度9米． (1)求此抛物线的表达式； (2)为宣传古城，政府部门在距离O点1米处修建了一排竖直排放的宣传栏，宣传栏的顶部交抛物线于点C，准备在抛物线的右侧修建一组射灯P，且满足点P到点B和点C的距离相等． ①请在抛物线上标出点P的坐标（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； ②求出点P的坐标． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图①，是一座抛物线型拱桥，小明学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是2． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小明想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小明找到点P的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小明重新设计抛物线，其表达式为当，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围． 【考点二 利用二次函数解决销售问题】 例题：（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值． 【变式训练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）直播带货已成为一种热门的销售方式，某商家在网络平台上直播销售芒果．已知该芒果的成本为4元/，销售价格不高于18元/，且每售卖1需向网络平台支付1元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量（）与销售价格（元/）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数解析式； (2)当每千克芒果的销售价格定为多少元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为多少元？ 2．（2024·河北廊坊·一模）某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表： 销售价格x（元/千克） 2 4 10 市场需求量q/（百千克） 12 10 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克 (1)求q与x的函数关系式； (2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围； (3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克． ①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润售价成本） 3．（2024·湖北十堰·二模）宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表： x … 20 26 28 31 35 … y … 20 14 12 9 5 … (1)求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式； (2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元． ①求2023年该特产的售价； ②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大? 最大利润是多少? 【考点三 利用二次函数解决投球问题】 例题：（2024·河南周口·模拟预测）如图，小贤与小刚在进行篮球的传球训练，小贤在点处，小刚在点处，两人相距6米，小贤给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．已知小贤投出球时手离地面米，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小贤的水平距离（单位：米）与离地高度（单位：米）的数据如下表所示（水平距离水平速度时间）： /米 … 1 2.5 4 5.5 7 … /米 … 3 3.75 4 3.75 3 … (1)求关于的函数解析式． (2)小刚在小贤传球瞬间就作出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功．已知小刚面对篮球后退的过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米．请问小刚能否成功接球？并说明理由． 【变式训练】 1．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 2．（2024·河北秦皇岛·一模）杂技演员抛球表演时，秒后该球离起点的高度为米，已知，其中与成正比，与成正比．当时，，当时，． (1)求与的函数解析式；并求小球达到最高点时的值； (2)求经过多少秒球回到起点的高度？ (3)杂技演员在表演空中抛球时，当把球抛出后，演员必须在球距离起点不小于1．8米的上空完成其他表演动作，否则就容易出现失误，求演员完成其他表演动作的时间最多有多少秒？ 3．（2024·辽宁·模拟预测）乒乓球被誉为我国的“国球”，备受人们喜爱．已知标准乒乓球台（如图1）长为，小明购买了一台发球机辅助练习乒乓球，抛球口B距离台面，如图2，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，收球口C距离台面，乒乓球从抛球口落到左台上的点处弹起越过球网（标准高度为），落在球台右侧点E处并弹起，则发球成功，乒乓球在空中的轨迹分别由三条抛物线的一部分，，组成，反弹后的抛物线与原抛物线关于过反弹点垂直于轴的直线成轴对称，其中段抛物线的对称轴是y轴． (1)求所在抛物线的解析式；（用含n的代数式表示） (2)若发球成功，求n的取值范围； (3)若乒乓球从点E处弹起后运动到点A的正上方F处，且F处的高度与C处的高度相同． ①求n的值； ②若小明在F处击球，使球落在球台左侧的台面上点处后弹起，正好进入收球口，若球在球网正上方距台面的高度h满足，直接写出t的取值范围． 【考点四 利用二次函数解决喷水问题】 例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上    (1)求该抛物线的表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度 【变式训练】 1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 3．（2023·江西抚州·校联考三模）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．    (1)的值为______； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______； (4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【考点五 利用二次函数解决图形问题】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长的砖墙，然后打算用长的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于）的长方形施工区域．      (1)设施工区域的一边为，施工区域的面积为．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当围成的施工区域面积为时，的长是多少？ (3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用． 【变式训练】 1．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中分别靠现有墙（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设的长为x米． (1)则的长为 　 　米（用含x的代数式表达）； (2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？ (3)直接写出当为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？ 2．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；    (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；      (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．    【考点六 利用二次函数解决图形运动问题】 例题：（2023·江苏·模拟预测）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． (1)当t为何值时，的面积为； (2)求四边形面积的最小值． 【变式训练】 1．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）如图，等腰三角形的直角边，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线运动，点Q沿射线运动，的连线与直线相交于点D．设点P运动的时间为，的面积为S． (1)求S关于的函数关系式． (2)当t为多少时，的面积与的面积相等？ (3)当点P在边上运动时，过点P作于点E．在点P，Q运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．    (1)求当点D落在边上时t的值； (2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)直接写出当是等腰三角形时t的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（   ） A．水面宽度为 B．抛物线的解析式为 C．最大水深为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 二、填空题 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为 元，每日的销售量为 件，每日的利润 ，所以每件降价 元时，每日获得的利润最大为 元． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ． 三、解答题 7．（23-24九年级下·江苏淮安·期末）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ； (2)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少? 8．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 9．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 10．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究： 如图，篮框距离地面，某同学身高，站在距离篮球架处，从靠近头部的O点将球正对篮框投出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线．不计篮框和球的大小、篮板厚度等． (1)求抛物线C的表达式； (2)研究发现，当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改用跳投的方式，出手点O位置升高了，要能保证进球，求L的取值范围．（计算结果保留小数点后一位） 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 12．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）“急行跳远”是田径运动项目之一，运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某中学一名运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度 0 0.75 0.9375 1 0.9375 0.75 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足条件的函数关系式； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，求该运动员两次的成绩哪一次比较好？请说明理由． 13．（2024·湖北十堰·一模）超市销售一种水果，进价为20元/件，经过市场调查发现，该水果的日销售量（件）与当天的销售单价（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件（元/件） 20 30 40 日销售量（件） 400 300 200 (1)求与的关系式； (2)求该水果每天获得的利润（元）的最大值； (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为元，该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元/件，在实际销售过程中，发现该水果每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点， 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．已知轴，，，，点B为抛物线的顶点，点A，B，O，E，M在同一平面内． (1)求水流抛物线的函数表达式； (2)现有一个底面半径为3，高为11的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） (3)在（2）的情况下，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，求出长的取值范围． 15．（2024·河南漯河·二模）2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕．中国女排在决赛中以击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠．爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为（单位：），距击球点的水平距离为（单位：）． 小华第一次发球时，测得与的几组数据如下表： 水平距离 0 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 (1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离近似满足的函数关系式． (2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． (3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度（单位：）的取值范围是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.6 实际问题与二次函数 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数解决拱桥问题】 1 【考点二 利用二次函数解决销售问题】 8 【考点三 利用二次函数解决投球问题】 13 【考点四 利用二次函数解决喷水问题】 20 【考点五 利用二次函数解决图形问题】 27 【考点六 利用二次函数解决图形运动问题】 33 【过关检测】 40 【典型例题】 【考点一 利用二次函数解决拱桥问题】 例题：（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 【答案】(1)； (2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析； (3)． 【分析】（）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式； （）求出时的值，与作比较即可判断； （）求出点坐标，即可得到答案； 本题了考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 设大孔抛物线的解析式为， 把点代入解析式得，， 解得, ∴大孔抛物线的解析式为； （2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 把代入得，， ∴该巡逻船能安全通过大孔； （3）解：∵， ∴点的纵坐标为， ∴当时，， 解得，， ∴由抛物线对称性可得，， ∴， 答：大孔的水面宽度为． 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·三模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． (1)水面的宽度______m； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)最多可设计赛道5条． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出当时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 解得或， ∴， ∴， （2）解：令，得， ∴ 解得，． 可设计赛道的宽度为， ∵每条龙舟赛道宽度为， 最多可设计赛道5条． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）商丘古城位于河南省商丘市睢阳区，是一座历史文化名城，可以追溯到4500年前，尧封阏伯为火正，也就是传说中的火神．阏伯的封号为“商”，商丘由此而来．商丘古城是当今世界上现存的唯一一座集八卦城、水中城、城摞城三位一体的大型古城遗址．如图为商丘古城西城门，其形状可以用抛物线来表示，如右图建立平面直角坐标系，x轴为水平地面，城门在距O点水平距离3米处为城门的最大高度9米． (1)求此抛物线的表达式； (2)为宣传古城，政府部门在距离O点1米处修建了一排竖直排放的宣传栏，宣传栏的顶部交抛物线于点C，准备在抛物线的右侧修建一组射灯P，且满足点P到点B和点C的距离相等． ①请在抛物线上标出点P的坐标（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； ②求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，线段垂直平分线的实际应用： （1）由题意知，抛物线顶点为，据此把解析式设为顶点式，再根据抛物线经过原点利用待定系数法求解即可； （2）①点P到点B和点C的距离相等，则点P在点P在线段的垂直平分线上，据此作线段的垂直平分线与抛物线在右侧的交点即为点P；②求出点C的坐标，进而求出的中点坐标，则可求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， ∴设二次函数的解析式为， ∵抛物线过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：①如图所示，即为所求； ②由题意得：B点坐标为， 将代入抛物线解析式得：， ∴， ∵P到B，C距离相等， ∴点P在线段的垂直平分线上， 记BC中点为Q，连接PQ， ∴PQ为等腰的中线，． ∴，则P纵坐标为， 设，代入中， 解得：或（舍去）， ∴． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）如图①，是一座抛物线型拱桥，小明学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴与水平线垂直，，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离，，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是2． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小明想在上找一点P，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小明找到点P的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小明重新设计抛物线，其表达式为当，函数y的值总大于等于9，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据题意，设抛物线的解析式为，待定系数法求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求，据此求解即可； （3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得的取值范围即可． 【详解】（1）设抛物线的解析式为 把点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）作A点关于y轴的对称点，连接交于点P，则P点即为所求； 把代入得，得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴P点的坐标为； （3） ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 当时，得： 解得： 当时， 由，得： ， 解得： ∴； 由，得： ， ∴； ∴当时，都成立； 当时，得： 解得： ∴都成立； 综上所述，b的取值范围为 【考点二 利用二次函数解决销售问题】 例题：（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值． 【答案】(1) (2)元 (3)元，元 【分析】（1）依题意设，待定系数法求解即可； （2）当时，，当时，，根据，计算求解即可； （3）设总收益为W元，则，由，可知当时，W有最大值，计算求解即可． 【详解】（1）解：依题意设， 将，代入得，， 解得， ∴． （2）解：当时，， 当时，， ∴； 答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元． （3）解：设总收益为W元，则， ∵， ∴当时，W有最大值． 答：政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024·辽宁·模拟预测）直播带货已成为一种热门的销售方式，某商家在网络平台上直播销售芒果．已知该芒果的成本为4元/，销售价格不高于18元/，且每售卖1需向网络平台支付1元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量（）与销售价格（元/）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数解析式； (2)当每千克芒果的销售价格定为多少元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当每千克芒果的销售价格定为15元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为5000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设与的函数解析式为，然后结合题意，利用待定系数法求解即可； （2）设销售这种芒果日获利元，可得与的二次函数解析式，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 将，代入， 可得，解得， 所以，与的函数解析式为； （2）设销售这种芒果日获利元，根据题意， 可得， 因为，且销售价格不高于18元/， 所以当时，有最大值，为5000元． 答：当每千克芒果的销售价格定为15元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为5000元． 2．（2024·河北廊坊·一模）某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表： 销售价格x（元/千克） 2 4 10 市场需求量q/（百千克） 12 10 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克 (1)求q与x的函数关系式； (2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围； (3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克． ①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润售价成本） 【答案】(1) (2) (3)① ；② 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解析式是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）由题意可得，进而得出x的取值范围； （3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；②利用二次函数的增减性得出答案即可． 【详解】（1）解：设（k，b为常数且），当时，，当时，，代入解析式得：， 解得： ， ∴q与x的函数关系式为：． （2）解：当产量小于或等于市场需求量时，有， ， 解得：， 又， ∴； （3）解：①当产量大于市场需求量时，可得，由题意得：厂家获得的利润是： ； ②∵当时，y随x的增加而增加． 又∵产量大于市场需求量时，有， ∴当 时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加． 3．（2024·湖北十堰·二模）宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表： x … 20 26 28 31 35 … y … 20 14 12 9 5 … (1)求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式； (2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元． ①求2023年该特产的售价； ②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大? 最大利润是多少? 【答案】(1)每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为； (2)①2023年该特产的售价为28元；②该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，学会构建方程或函数解决问题是关键． （1）用待定系数法求出一次函数关系式即可； （2）①由题意列出一元二次方程，并求解即可；②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意列出二次函数，并求解即可． 【详解】（1）设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为， 由题意得： ，解得， 每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为， （2）①由题意得：， 解得：， 销售单价定为25元到30元之间， ， 2023年该特产的售价为28元； ②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意得： ， 且， 当或30时，的值最大，最大值为（万元）， 该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元． 【考点三 利用二次函数解决投球问题】 例题：（2024·河南周口·模拟预测）如图，小贤与小刚在进行篮球的传球训练，小贤在点处，小刚在点处，两人相距6米，小贤给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．已知小贤投出球时手离地面米，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小贤的水平距离（单位：米）与离地高度（单位：米）的数据如下表所示（水平距离水平速度时间）： /米 … 1 2.5 4 5.5 7 … /米 … 3 3.75 4 3.75 3 … (1)求关于的函数解析式． (2)小刚在小贤传球瞬间就作出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功．已知小刚面对篮球后退的过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米．请问小刚能否成功接球？并说明理由． 【答案】(1) (2)小刚不能成功接球．理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意得，抛物线与轴的交点为，可设抛物线为，又抛物线的对称轴是直线，且过点，可得方程组，求出，即可得解析式； （2）依据题意，设秒时，篮球位于小刚正上方，从而可得球飞行的水平距离为，求出，进而可得，再代入解析式，结合题意即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线与轴的交点为， 可设抛物线为， 又抛物线的对称轴是直线，且过点， ． ． 所求函数的解析式为； （2）解：小刚不能成功接球． 理由：设秒时，篮球位于小刚正上方， 球飞行的水平距离为． ． ． ． ， 小刚不能成功接球． 【变式训练】 1．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方处 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，再将代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， 球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， 当小明带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处． 2．（2024·河北秦皇岛·一模）杂技演员抛球表演时，秒后该球离起点的高度为米，已知，其中与成正比，与成正比．当时，，当时，． (1)求与的函数解析式；并求小球达到最高点时的值； (2)求经过多少秒球回到起点的高度？ (3)杂技演员在表演空中抛球时，当把球抛出后，演员必须在球距离起点不小于1．8米的上空完成其他表演动作，否则就容易出现失误，求演员完成其他表演动作的时间最多有多少秒？ 【答案】(1)，时小球达到最高点 (2)经过2秒球回到起点的高度 (3)完成其他表演动作的时间最多有1.6秒 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）根据题意设，然后利用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求出最值即可； （2）令，求解即可得解； （3）令，求解即可得解． 【详解】（1）解：根据题意设， 把，；，代入解析式得： 解得： 与的函数解析式为； ， ， 当时，有最大值5，即时小球达到最高点； （2）解：令， 解得，． 因为是回到起点的高度，所以， 答：经过2秒球回到起点的高度； （3）解：令， 解得，， （秒）， 完成其他表演动作的时间最多有1.6秒． 3．（2024·辽宁·模拟预测）乒乓球被誉为我国的“国球”，备受人们喜爱．已知标准乒乓球台（如图1）长为，小明购买了一台发球机辅助练习乒乓球，抛球口B距离台面，如图2，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，收球口C距离台面，乒乓球从抛球口落到左台上的点处弹起越过球网（标准高度为），落在球台右侧点E处并弹起，则发球成功，乒乓球在空中的轨迹分别由三条抛物线的一部分，，组成，反弹后的抛物线与原抛物线关于过反弹点垂直于轴的直线成轴对称，其中段抛物线的对称轴是y轴． (1)求所在抛物线的解析式；（用含n的代数式表示） (2)若发球成功，求n的取值范围； (3)若乒乓球从点E处弹起后运动到点A的正上方F处，且F处的高度与C处的高度相同． ①求n的值； ②若小明在F处击球，使球落在球台左侧的台面上点处后弹起，正好进入收球口，若球在球网正上方距台面的高度h满足，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或  ② 【分析】（1）先利用待定系数法求出所在抛物线的解析式，再根据题意可知所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，求出其顶点坐标，即可求出所在抛物线的解析式． （2）由题意得，在所在的抛物线上，求出时y的值为．根据题意可得，若发球成功，则n应满足，求出不等式的解集即可． （3）①由所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，可求出所在抛物线的解析式，再将F点的坐标代入表达式中，即可求出n的值． ②设所在抛物线的解析式为，则可得所在的抛物线的解析式为，将、代入中，将代入中，将m、a、k都用含有t的代数式表示出来，即可得到所在的抛物线的解析式．将代入解析式中，求出h的表达式，最后根据，且列不等式组，即可求出t的范围． 【详解】（1）解：由题知：所在抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 设所在抛物线的解析式为， 将代入， 得 ∴所在抛物线的解析式为． 由题知：所在抛物线与所在抛物线关于直线对称， ∴其顶点为， ∴所在抛物线的解析式为：． （2）∵E点和关于直线对称， ∴， ∵，M是的中点， ∴， ∴． 由得， 时，． 若发球成功，则n应该满足， 由②得， 由③得， ∴n的取值范围为． （3）解：①由题意得所在抛物线与所在抛物线关于直线对称， ∴其顶点为， ∴所在抛物线的解析式为：． 由题意得， ∴， 整理得， 解得，， ∴n的值为或． ②设所在抛物线的解析式为，顶点为， 由题知，所在的抛物线与所在的抛物线关于直线对称， ∴其顶点为， ∴所在的抛物线的解析式为． 由题知，经过、，经过 ， ∴， 解得，，． ∴所在的抛物线的解析式为 ， 当时，， 由题意得， 由①得， 由②得， 由③得， ∴t的范围是． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程及不等组的综合，难度较大．读懂题意，正确的求出二次函数的表达式，以及正确的列不等组是解题的关键． 【考点四 利用二次函数解决喷水问题】 例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上    (1)求该抛物线的表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度 【答案】(1) (2)14米 (3)米 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）求出抛物线与x轴正半轴交点的横坐标即可； （3）利用待定系数法求出抛物线的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径为时的最大高度比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴； （2）在中， 令，得， 解得或（舍去）， ∴水柱落地点与雕塑的水平距离是14米； （3）当水柱喷水的半径为时，抛物线经过，，代入，得 ， 解得． ∴， ∴当时，喷水池水柱的最大高度是米； 由（2）知，当水柱喷水的半径为时，， ∴当时，喷水池水柱的最大高度是米． ∵， ∴喷水池水柱的最大高度是米． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，用到了待定系数法、函数的顶点式和最值问题等知识，读懂题意准确计算是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为； (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】(1)，喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （3）根据，求出点的坐标，利用灌溉车行驶时距离绿化带的增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ∴， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，舍去， 喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为； （3）解：∵， 点的纵坐标为， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 3．（2023·江西抚州·校联考三模）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．    (1)的值为______； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______； (4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为米 (3) (4)水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树，理由见解析 【分析】（1）代入抛物线与y轴的交点的坐标即可求解； （2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线解析式，设抛物线上一点P点横坐标为t，作作轴交于点Q，用t表示P点和Q点的坐标，并计算的长度，建立关于t的二次函数，在取值范围内求最大值即可； （3）代入B点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入点、抛物线对称轴及B点横坐标到二次函数解析式，建立不等式进行求解； （4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入到抛物线解析式和直线解析式进行对比即可． 【详解】（1）代入到抛物线解析式，得：； 故答案为：1； （2）设抛物线的解析式为 将点代入，得 抛物线的解析式为 即 坡地经过点 的解析式为 如解图，    设抛物线上一点，过点P作轴交于点Q， 则，的长为 ， 函数图像开口向下，d有最大值 根据顶点公式当时，有最大值 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； 故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； （3）由（2）知，直线的解析式为， 时， ， 抛物线的解析式为，即， 当时，，要使水柱能超过点B则， 解得 故答案为：； （4）不能； 当灌溉装置水平向后移动4米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线OB解析式，得 水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求解二次函数解析式和直线解析式、平移规律求二次函数解析式、根据坐标关系及二次函数求线段最大值是解题的关键． 【考点五 利用二次函数解决图形问题】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长的砖墙，然后打算用长的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于）的长方形施工区域．      (1)设施工区域的一边为，施工区域的面积为．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当围成的施工区域面积为时，的长是多少？ (3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用． 【答案】(1)； (2)当的长是12米时，围成的施工区域面积为； (3)拨款够用．理由见解析 【分析】（1）根据题意可得到S与x的函数关系式为：，自变量x的取值范围是：； （2）当围成的施工区域面积为时：，解一元二次方程即可求得； （3）由，结合，利用二次函数的性质即可求得最大面积，以及所需费用，即可判断. 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 解得：， ∴S与x的函数关系式为：； （2）解：由（1）知：， ∵围成的施工区域面积为， ∴， 解得：（舍去）或， ∴当的长是12米时，围成的施工区域面积为； （3）解：拨款够用．解析如下： ∵， ∵，函数图像的对称轴为直线：， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，施工区域有最大面积， 所需费用为， 答：拨款够用． 【点睛】本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中分别靠现有墙（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设的长为x米． (1)则的长为 　 　米（用含x的代数式表达）； (2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？ (3)直接写出当为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当长为16米时，游乐园的面积是320平方米； (3)当为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米． 【分析】（1）根据的长=篱笆总长得出结论； （2）根据矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和=320列出方程，解方程即可，并根据BE的取值范围得出结论； （3）根据游乐场的面积=矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和列出函数解析式，由函数的性质求出最大． 【详解】（1）解：由题意知，， 设的长为x米，则的长为米， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得， ∵， 解得， ∴， 答：当长为16米时，游乐园的面积是320平方米； （3）解：设游乐场的面积为y平方米， 由题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为360， 答：当为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意用x表示的长． 2．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；    (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；      (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 【考点六 利用二次函数解决图形运动问题】 例题：（2023·江苏·模拟预测）如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． (1)当t为何值时，的面积为； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或时，的面积为； (2)四边形面积的最小值为． 【分析】（1）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论； （2）利用配方法求出函数顶点坐标求得面积的最大值，即得四边形面积的最小值． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； 由题意得：， 解得或， ∴或时，的面积为； （2）解：∵且， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值是． 此时，四边形面积取得最小值，最小值为． 【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出的长是解题关键． 【变式训练】 1．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）如图，等腰三角形的直角边，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线运动，点Q沿射线运动，的连线与直线相交于点D．设点P运动的时间为，的面积为S． (1)求S关于的函数关系式． (2)当t为多少时，的面积与的面积相等？ (3)当点P在边上运动时，过点P作于点E．在点P，Q运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)当，的面积与的面积相等 (3)线段的长度是定值， 【分析】（1）分点在线段上，和点在线段的延长线上两种情况，讨论求解即可． （2）求出的面积，令列式计算即可． （3）过作，交直线于点，证明和都是等腰直角三角形，推出，进而，得到连接，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，得到，即可得解． 【详解】（1）解：∵点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动， ∴在边的运动时间为：； ①当时，， 此时：， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②当时：此时：， ∴； 综上：； （2）解：∵等腰三角形的直角边， ∴， ①当时，，即：， 此方程无解； ②当时，，即：， 整理，得：， 解得：（舍去）； ∴当，的面积与的面积相等； （3）解：线段的长度是定值； 过作，交直线于点， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴，即：， 连接，则四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，是解题的关键．注意分类讨论． 2．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．    (1)求当点D落在边上时t的值； (2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)直接写出当是等腰三角形时t的值． 【答案】(1)2 (2) (3)1或或 【分析】（1）由题意易得，然后可得方程，进而问题可求解； （2）由题意可分当时和当时，进而分类求解即可； （3）由题意可当时，当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：如图，当点D落在边上时，      ． 由，解得， 所以当点D落在边上时t的值是2． （2）解：当时，如图，    ，． ； 当时，如图，    ，， ． 综上，； （3）解：当时，如图，      ， 由，解得； 当时，如图5， ，， 由，解得（负值舍去）；    当时，如图6， ，， 由， 解得，（舍去）． 综上，当是等腰三角形时t的值为1或或． 【点睛】本题主要考查勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、二次函数的综合及等腰三角形的性质是解题的关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴ ∴ 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（   ） A．水面宽度为 B．抛物线的解析式为 C．最大水深为 D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键． 利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可． 【详解】解：设解析式为， 将抛物线上点， 带入抛物线解析式中得， 解得， 解析式为． 选项A中，，，水面宽度为故选项A错误，不符合题意； 选项B中，解析式为，故选项B错误，不符合题意； 选项C中，池塘水深最深处为点，水面，所以水深最深处为点到水面的距离为米，故选项C正确，符合题意； 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为米，减少为原来的．故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元． 【答案】205 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润，即可知当时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值． 【详解】解： ∴当时，取最大值41， （万元）， 年所获利润的最大值205万元， 故答案为：205． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为 元，每日的销售量为 件，每日的利润 ，所以每件降价 元时，每日获得的利润最大为 元． 【答案】 5 625 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据单件利润=单件售价单件成本，即可得出单件利润；根据每日销售量增加的销售量，即可得出每日销售量；根据总利润=单件利润×销售量，即可得出y关于x的表达式；将y关于x的表达式化为顶点式，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 单件的利润为元， 每日的销售量为件， 每日的利润， ∵，， ∴当时，y有最大值625， ∴每件降价5元时，每日获得的利润最大为625元， 故答案为：，，，5，625． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ． 【答案】 9米/ 162平方米/ 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设的长为米，则的长为米，利用面积公式列出二次函数解析式，求最值即可． 【详解】解：设的长为米，则的长为米 则窗框的面积 ∵ ∴ ∴当时，窗框的面积最大，最大面积为； 故答案为：9米，162平方米． 三、解答题 7．（23-24九年级下·江苏淮安·期末）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ； (2)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少? 【答案】(1)； (2)销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）每件进价是40元，销售单价为元，则每件利润为元，从而根据利润等于每件的利润乘以销售量可得关于的函数关系式； （2）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， 与的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：， ， 解得：． ， 对称轴为，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为：． 销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 8．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过，设的长为，矩形区域的面积为． (1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围； (2)当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意和图形，可以写出y与x的函数关系式，再根据岸堤的可用长度不超过和，可以求得x的取值范围； （2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到当的长度是多少时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是多少． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， ， 岸堤的可用长度不超过， ， 解得， 又， ， ， y与x之间的函数解析式是，自变量x的取值范围是； （2）， 当时，y随x的增大而减小， ， 当时，y取得最大值，此时， 答：的长度是时，矩形区域的面积y取得最大值，最大值是． 9．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【答案】(1) (2)9米 (3)米 【分析】（1）设抛物线表达式为，将点、代入得，计算求解，进而可得抛物线的表达式． （2）由题意知，，由，可知当时，y取得最大值，最大值为9，然后作答即可． （3）当时， ，可求，，根据货箱最宽为，计算求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， 将点、代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为9． ∴在正常水位时桥面距离水面的高度为9米． （3）解：根据题意，当时， ， 解得，， ∴货箱最宽为（米）． ∴若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程是解题的关键． 10．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究： 如图，篮框距离地面，某同学身高，站在距离篮球架处，从靠近头部的O点将球正对篮框投出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线．不计篮框和球的大小、篮板厚度等． (1)求抛物线C的表达式； (2)研究发现，当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改用跳投的方式，出手点O位置升高了，要能保证进球，求L的取值范围．（计算结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型． （1）以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则设其表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）可设抛物线的表达式为，结合题意可知抛物线的抛球点位，，，将其代入求得，则，可知由题意可知，当时，，即， 计算出，时，的值，根据距离蓝框的距离即可求解． 【详解】（1）解：以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则设其表达式为， 将代入，可得：， ∴， ∴抛物线C的表达式为； （2）解：由（1）可设抛物线的表达式为， ∵改用跳投的方式，出手点O位置升高了， 则抛物线的最高点抛物线的基础上升高， ∴抛物线的抛球点位，，， 将其代入，得， 解得：， 由球的运动可知，最高点在抛出点的右侧，则， ∴，则， ∴ ∵当球击在篮框上方及以内范围的篮板上时，球会打板进框， ∴当时，，即， 若，则，解得：， 此时距离蓝框的距离或， 若，则，解得：， 此时距离蓝框的距离或， 即：或 亦即：或． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 【答案】(1)，水流最大竖直高度的长为m (2)水管的高度增加米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设抛物线的解析式为，由A点坐标为，B点坐标为，进而求得a，k后得解，再令，从而求出水流喷出的最大高度； （2）依据题意，设抛物线为，结合此时B为，求出m，从而得抛物线解析式，再令，即可得解． 【详解】（1）由题意，A点坐标为，B点坐标为． 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点A，点B， ∴， ∴． ∴． ∴时，． ∴水流最大竖直高度的长为． （2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线为． 又此时B为， ∴． ∴． ∴抛物线为， 令， ∴， ， ∴水管的高度增加米． 12．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）“急行跳远”是田径运动项目之一，运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系．某中学一名运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度 0 0.75 0.9375 1 0.9375 0.75 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足条件的函数关系式； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，求该运动员两次的成绩哪一次比较好？请说明理由． 【答案】(1)最大值为， (2)第二次的成绩比较好，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与轴的交点问题，掌握待定系数法和求与轴的交点是解题的关键． （1）由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，得，将时，，代入其中，利用待定系数法即可求解； （2）令，分别求出两次的成绩，再比较大小即可． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为， ∴， 即该运动员竖直高度的最大值为， 当时，，代入得， 解得， ∴函数关系式为； （2）解：第二次的成绩比较好， 理由如下：第一次训练：令， 即， 解得，， ∴第一次的成绩为4米， 第二次训练：令，即， 解得，， ∴第二次的成绩为4.4米， ∵， ∴第二次的成绩比较好． 13．（2024·湖北十堰·一模）超市销售一种水果，进价为20元/件，经过市场调查发现，该水果的日销售量（件）与当天的销售单价（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件（元/件） 20 30 40 日销售量（件） 400 300 200 (1)求与的关系式； (2)求该水果每天获得的利润（元）的最大值； (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为元，该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元/件，在实际销售过程中，发现该水果每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1) (2)4000元 (3)22元 【分析】本题考查一次函数解析式的应用、二次函数的应用等知识，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值即可； （3）根据“日销售利润日销售量（销售单价成本单价）”列出函数解析式，求出函数对称轴为，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，且，得出，求解，从而得出结论． 【详解】（1）解：设与的关系式为， 根据题意，将点、代入， 可得，解得， ∴与的关系式为； （2）根据题意，该水果每天获得的利润 ， ∵ ∴当时，该水果每天获得的利润取最大值，最大值为4000元； （3）由题意，可得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，且， ∴，解得， ∴最小值为22． 故答案为：22． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点， 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．已知轴，，，，点B为抛物线的顶点，点A，B，O，E，M在同一平面内． (1)求水流抛物线的函数表达式； (2)现有一个底面半径为3，高为11的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） (3)在（2）的情况下，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，求出长的取值范围． 【答案】(1) (2)水流不能流到圆柱形水杯内，理由见解析； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合，求出，，即可得解； （2）根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； （3）求出当时的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】（1）解：轴，，点为水流抛物线的顶点， 抛物线的对称轴为：． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， 水流抛物线的函数表达式为：； （2）解：不能， 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． （3）解：当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 15．（2024·河南漯河·二模）2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕．中国女排在决赛中以击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠．爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究． 经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为（单位：），距击球点的水平距离为（单位：）． 小华第一次发球时，测得与的几组数据如下表： 水平距离 0 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 (1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离近似满足的函数关系式． (2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由． (3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度（单位：）的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． （1）根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可； （2）将代入抛物线解析式，求得值与2.24比较即可； （3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为，利用二次函数图象上点的坐标特征来求解即可． 【详解】（1）解：由表格，可知抛物线顶点坐标为； 设与之间的函数关系式为． 将代入，得 ， 解得， 经检验，表格中其他数据也满足上述关系． 排球运动过程中距地面的竖直高度与距击球点的水平距离满足的函数表达式为：； （2）能，理由如下： 当时，． ， 小华这次发球能过网； （3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为：． 把，代入， 解得． ． 把代入， 解得． 把，代入， 解得． ． 把代入， 解得． 小华的击球点高度的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$